1. Степень с отрицательным показателем
a b − n = b a n , в частности 1 a − n = a n , a ≠ 0 .
1 . 2 3 − 2 = 3 2 2 = 9 4 ; 2 . 3 − 2 = 1 3 2 = 1 9 ; 3 . 1 5 − 3 = 5 3 = 125 .
Свойства степеней с натуральными показателями верны и для отрицательных целых показателей.
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно сложить: a s ⋅ a t = a s + t .
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно вычесть a s : a t = a s − t .
a − 3 : a − 7 = a − 3 − ( − 7 ) = a − 3 + 7 = a 4 .
3. При возведении степени в степень показатели нужно перемножить: a s t = a s ⋅ t .
Свойства отрицательных степеней. Как умножать отрицательные степени. Деление отрицательных степеней. Степени чисел
Свойства отрицательных степеней рассмотрим при следующих условиях:
Тогда можно указать следующие свойства степени с отрицательным показателем:
Свойства отрицательных степеней рассмотрим на примерах. Из примеров будет понятно как использовать свойства отрицательных степеней.
Как умножать отрицательные степени?
Как умножать отрицательные степени? Точно так же как и положительные. Здесь речь идет о целых степенях.
Пример умножения отрицательных степеней:
Ещё пример на умножение чисел с отрицательными степенями:
Деление отрицательных степеней
Деление отрицательных степеней делается так же как и деление положительных степеней.
Деление отрицательных степеней опирается на свойства отрицательных степеней.
Отрицательная степень числа
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a 5 — 8 = a -3 .
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
| a 5 | = | 1 | . |
| a 8 | a 3 |
| a -3 = | 1 | . |
| a 3 |
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| x 2 |
| 1 | = x -2 . |
| x 2 |
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| (m + n) 2 |
| 1 | = (m + n) -2 . |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
Отрицательная степень
Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».
Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.
Как возвести число в отрицательную степень
Запомните! 
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести число в положительную степень.
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
a −n =
| 1 |
| a n |
,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).
Примеры возведения в отрицательную степень.
- 6 −2 =
1 6 2 =
1 36 - (−3) −3 =
1 (−3) 3 =
1 −27 = −
1 27 - 0,2 −2 =
1 0,2 2 =
1 0,04
Запомните!
Любое число в нулевой степени — единица.
Примеры возведения в нулевую степень.
- (
2 3 ) 0 = 1
- (−5) 0 = 1
Как найти 10 в минус 1 степени
В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:
Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».
Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «
| 1 |
| 10 |
» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
=
| 1 |
| 10 |
Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
=
| 1 |
| 10 |
= 0,1
По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.
Запомните!
Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».
Проверим правило выше для « 10 −2 ».
Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».
Рассмотрим « 10 −1 ».
Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».
То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.
Как возвести в отрицательную степень дробь
Запомните!
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» дробь;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести дробь в положительную степень.
Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.
Перевернем дробь «
| 10 |
| 3 |
» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3
Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
= 0,027
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».
(−5) −2 = (−
| 1 |
| 5 |
) 2 =
Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.
Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».
(−5) −2 = (−
| 1 |
| 5 |
) 2 =
| 1 2 |
| 5 2 |
=
| 1 |
| 25 |
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.
Запомните!
Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .
Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .
Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−
| 2 |
| 3 |
) » в « −3 » степень.
По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 =
Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.
Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .
Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 = −
| 3 3 |
| 2 3 |
= −
| 27 |
| 8 |
Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 = −
| 3 3 |
| 2 3 |
= −
| 27 |
| 8 |
= − 3
| 3 |
| 8 |
Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.
Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .
(−
| 9 |
| 11 |
) −2 = (−
| 11 |
| 9 |
) 2 =
| 11 2 |
| 9 2 |
=
| 121 |
| 81 |
= 1
| 40 |
| 81 |
Свойства отрицательной степени
Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.
В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.