Какой из векторов коллинеарен вектору АВ = (4 ; — 8) Варианты ответов (см вложение)?
Какой из векторов коллинеарен вектору АВ = (4 ; — 8) Варианты ответов (см вложение).
Желательно с решением.
Это вектор СД, т.
Е. координаты этих векторов пропорциональны.
При каких значениях m и n вектор c <3 ; - m ; 2>будет коллинеарен вектору d = n * i + 2j — 4k?
При каких значениях m и n вектор c <3 ; - m ; 2>будет коллинеарен вектору d = n * i + 2j — 4k?
Вектор a одинаково направлен с вектором b(6 ; — 9 ; 12) и |a| = √29?
Вектор a одинаково направлен с вектором b(6 ; — 9 ; 12) и |a| = √29.
Найдите координаты вектора a.
Найти скалярное произведение векторов и определить их взаимное расположение : 1)вектор а (1 ; 3), вектор в ( — 1 ; 3) 2)вектор а (3 ; 4), вектор в (6 ; 1) Упражнение №2?
Найти скалярное произведение векторов и определить их взаимное расположение : 1)вектор а (1 ; 3), вектор в ( — 1 ; 3) 2)вектор а (3 ; 4), вектор в (6 ; 1) Упражнение №2.
Выполнить действия : Найти вектор с , который равен : с = 2 вектор а минус 3 вектор в Очень срочно!
Помогите пожалуйста ответить на вопрос Можно ли считать, нулевой вектор коллинеарен любому вектору?
Помогите пожалуйста ответить на вопрос Можно ли считать, нулевой вектор коллинеарен любому вектору?
! ПОМОГИТЕ?
| a (вектор) |² + | b(вектор) |² — ( ab(вектора) ) * (bc (вектора) )
ЕСЛИ : a (вектор) = ( — 2 ; 0 ; 3) b(вектор) = (2 ; — 2 ; 0) с (вектор) = (2 ; — 2 ; 3)
В ОТВЕТЕ ДОЛЖНА БЫТЬ ОДНА ЦИФРА(ЦЕЛОЕ)!
Найдите скалярное произведение векторов а и б?
Найдите скалярное произведение векторов а и б.
Даны векторы a = (2 ; 3 ; 1) и с = (1 ; 2 ; 0)?
Даны векторы a = (2 ; 3 ; 1) и с = (1 ; 2 ; 0).
Найти координаты вектора — 3a + 2c Желательно с объяснениями, чтоб хоть немного понять как решать подобные задания.
Помогите пожалуйста , контра ща Дано : вектор а( — 12 ; 7) ; вектор в ( — 14 ; 8) , вектор с (вектор а + 2 вектор в) ; вектор d = вектор в — вектор а Найти векторы?
Помогите пожалуйста , контра ща Дано : вектор а( — 12 ; 7) ; вектор в ( — 14 ; 8) , вектор с (вектор а + 2 вектор в) ; вектор d = вектор в — вектор а Найти векторы.
При каких значениях m и n вектор a(3, — 7, m) будет коллинеарен вектору b(6, n, 4)?
При каких значениях m и n вектор a(3, — 7, m) будет коллинеарен вектору b(6, n, 4)?
С решением желательно?
С решением желательно.
Вы зашли на страницу вопроса Какой из векторов коллинеарен вектору АВ = (4 ; — 8) Варианты ответов (см вложение)?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.
Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математика
3) Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству -8 <x< 4?
11
4) Укажите натуральный ряд чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
5) Выполните действия
10000
6) Какое из перечисленных чисел является иррациональным?
3,141592…
7) Вычислите 
6*5/21
8) Какая из перечисленных дробей является смешанной периодической дробью?
2,75(12)
9) Вычислите с точностью до десятых 
0,3
10) Найдите значение выражения 
при a= 2
2/3
11) Упростите 
12) Найдите 
-2
13) Какие числа называются целыми?
натуральные числа, числа противоположные натуральным, и число 0
Ответы на модуль 2 (ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА) по предмету математика.
1) Дано: 
Найдите a*b
32
2) Дано: 
Вычислите 
13
3) Найдите l , если 
3 или -3
4) Что называется скалярным произведением двух векторов?
число, определяемое по формуле 
5) Найдите l , если 
2,5 или -2,5
6) Даны векторы 
и 
Найдите — проекцию вектора на ось вектора
7) Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислите проекцию вектора 
на вектор MN
3
8) При каком значении l векторы MP и KD коллинеарны, если M(-3; 2), P(-1; -2), K(2; 1), D(5;l)?
-5
9) Какие векторы называются коллинеарными?
лежащие на одной прямой или параллельных прямых
10) Векторы называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях
11) Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору 
12) Векторы a и b взаимно перпендикулярны (ортогональны), причем |a|=5 и |b|=12 . Определите 
13
13) Векторы AC=a и BD=d служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор DA через векторы a и b
Ответы на модуль 3 (АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ) по предмету математика.
1) Найдите координаты точки K пересечения прямой 
с плоскостью 2x+ 5y- 3z= 0
2) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x + 3y — 8 = 0 и x — 4y + 5 = 0 и через точку M1(-2; 3)
5x+ 13y— 29 = 0
3) Укажите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; 2; 5) и M2(-1; 3; -2)
4) Даны прямые 
и 
При каком значении a они перпендикулярны?
a= 2
5) Установите взаимное расположение прямых 
и 
прямые перпендикулярны
6) Укажите канонические уравнения прямой 
7) Найдите острый угол между прямыми 
и 
60°
8) Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 
и 
6x— 20y— 11z+ 1 = 0
9) Даны вершины треугольника ABC: A(3; -1),B(4; 2) и C(-2; 0). Напишите уравнения его сторон
3x—y— 10 = 0, x— 3y+ 2 = 0, x+ 5y+ 2 = 0
10) Уравнение 3x— 4y+ 12 = 0 преобразуйте к уравнению в отрезках
11) Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 2 и составляющей с осью Ox угол j= 45°
y=x+ 2
12) Найдите координаты точки пересечения прямых 2x—y— 3 = 0 и 4x+ 3y— 11 = 0
(2; 1)
13) Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 2), M2(4;-1)
3x+y— 11 = 0
Ответы на модуль 4 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.
1) Определите эксцентриситет равносторонней гиперболы
2) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точки А(3;1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой 3x—y— 2 = 0
(x— 2) 2 + (y— 4) 2 = 10
3) Укажите уравнение окружности радиуса R= 8 с центром в точке C(2;-5)
(x— 2) 2 + (y+ 5) 2 = 8 2
4) Определите полуоси гиперболы 
a= 4, b= 1
5) Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x— 4y+ 20 = 0 является касательной к окружности
x 2 +y 2 = 16
6) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой C(-1; 2)
(x+ 1) 2 + (y— 2) 2 = 25
7) Укажите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось b= 3
8) Напишите уравнение эллипса, если даны его полуоси a= 5 и b= 4
9) Укажите уравнение окружности, проходящей через точку (4; 5) с центром в точке (1; -3)
(x— 1) 2 + (y+ 3) 2 = 73
10) Определите полуоси гиперболы 25x 2 — 16y 2 =1
11) Напишите уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox, если даны a= 6 и b= 2
12) Укажите уравнение параболы, с вершиной в точке O и фокусом F(4; 0)
y 2 =16x
13) Укажите уравнение окружности, для которой точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров
(x— 1) 2 + (y— 4) 2 = 8
Ответы на модуль 5 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.
1) Найдите общее решение системы 
2) Вычислите определитель 
-89
3) Найдите ранг и базисные строки матрицы 
2. 1-я строка, 2-я строка
4) Вычислите определитель 
0
5) Найдите А × В, где 
; 
6) Решите систему уравнений методом Крамера 
7) Найдите обратную матрицу для матрицы 
8) Найдите ранг матрицы 
4
9) Определитель системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными равен 5. Это означает, что
система имеет единственное решений
11) Метод Гаусса решения системы линейных уравнений предполагает использование
последовательного исключения неизвестных
12) Система линейных уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение
13) Решите матричное уравнение AX + AXA = B, где 
; 
Ответы на модуль 6 (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) по предмету математика.
1) Найдите предел
3
2) Найдите предел 
5
3) Найдите предел 
5
4) Найдите предел 
1/e
5) Найдите предел 
0
6) Найдите предел 
0
7) Найдите предел 
8) Найдите предел 
1/2
9) Найдите предел 
e — 5
10) Найдите предел 
1
11) Найдите предел 
0
12) Найдите предел 
5/3
13) Найдите предел 
3/5
Ответы на модуль 7 (ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ) по предмету математика.
1) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
0
2) Найдите производную функции f(x)=(1+ cos x)sin x
cos x+ cos 2x
3) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
1/18
4) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
-4/3
5) Найдите производную функции y= sin(2x 2 + 3)
4xcos(2x 2 + 3)
6) Найдите производную функции y=(3e x +x)× cos x
(3e x + 1) × cos x— (3e x +x) × sin x
7) Для функции 
найдите y(49)
1/14
8) Найдите производную функции 
9) Найдите производную функции y=2 tg x
10) Найдите производную функции 
11) Найдите скорость тела, движущего по закону S=3t-5
3
12) Дана функция 
Решите уравнение 
13) Найдите производную функции y=xe x —e x
xe x
Ответы на модуль 8 (ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ) по предмету математика.
1) Число f(x0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a;b], если
для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) <= f(x0)
2) Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=x 2 — 3x+ 1
убывает при x<3/2, возрастает при x>3/2
3) Найдите точки максимума (минимума) функции y=- 5x 2 — 2x+ 2
(-0,2;2,2) точка максимума
4) Каково необходимое условие возрастания функции?
если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a;b), то f(x)>=0 для всех xиз этого интервала
5) Определите поведение функции y= 2x 2 при x= 1
возрастает
6) В каких точках выпукла или вогнута кривая y=x 2 — 3x+ 6
вогнута во всех точках
7) Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=- 2x 2 + 8x— 1
убывает при x> 2, возрастает x< 2
8) Найдите точку перегиба кривой 
(0; 0)
9) Найдите точки перегиба кривой y=x 4 — 12x 3 + 48x 2 — 50
(2; 62) и (4; 206)
10) Найдите точки максимума (минимума) функции y=x 2 — 2x
(1;-1) точка минимума
11) Вертикальные асимптоты к графику функции 
имеют вид
x= 4, x= 0
12) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x 2 на промежутке [-1; 3]
yнаиб= 9, yнаим= 0
13) В каких точках выпукла или вогнута кривая y= 2 — 3x—x 2
выпукла во всех точках
Ответы на модуль 9 (ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ) по предмету математика.
1) Найдите частные производные функции двух переменных 
2) Найдите частные производные второго порядка функции z=x 3 y 4 +ycos x
3) Найдите предел функции 
при x->0, y->0
0
4) На каком из рисунков изображена область определения функции 
5) Найдите частные производные функции двух переменных z=xe y +ye x
6) Найдите частные производные функции z=x 2 × ln y
7) Найдите полный дифференциал функции z=x 2 y+xy 2
dz=(2xy+y 2 )dx+(x 2 +2xy)dy
8) Какая поверхность называется графиком функции n переменных?
n-мерная гиперповерхность в пространстве R n + 1 , точки которой имеют вид (х1, х2, …, хn, f(x1, х2, …, xn))
9) Укажите полное приращение функции f(x;y)
f(x +Dx; y +Dy)- f(x; y) D-треугольничек.
10) Найдите 
4
11) Укажите частное приращение функции f(x;y)по переменной у
f(x;y +Dy)- f(x;y)
12) На каком из рисунков изображена область определения функции 
13) Найдите область определения функции 
xy<=1, x 2 не =y 2
Ответы на модуль 10 (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) по предмету математика.
1) Найдите 
x 2 +С
2) Найдите 
3) Найдите 
4) Найдите 
5) Найдите 
6) Найдите 
7) Найдите 
8) Найдите 
9) Найдите 
10) Найдите 
если при x= 2 первообразная функция равна 9
11) Найдите 
12) Найдите 
если при x=0 первообразная функция равна 0
arctg x+x
13) Найдите 
Ответы на модуль 11 (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ) по предмету математика.
1) Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=9t 2 -2t-8. Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения
48 м
2) Вычислите определенный интеграл 
9
3) Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
0,24 кГм
4) Вычислите определенный интеграл 
5) Вычислите определенный интеграл 
e p -1
6) Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y=4x— 5, x=-3, x=-2 и осью Ox
15
7) Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v= 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
490 м
8) Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y=5x, x=2 и осью Ox
10
9) Вычислите определенный интеграл 
2
10) Вычислите определенный интеграл 
4*2/3
11) Вычислите определенный интеграл 
2/3
12) Вычислите определенный интеграл 
0,24
13) Вычислите определенный интеграл 
0,25
Ответы на модуль 12 (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) по предмету математика.
1) Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?
частным решением
2) Найдите общее решение уравнения (x+y)dx+xdy=0
3) При решении каких уравнений используют подстановку 
при решении однородных уравнений
4) Найдите общее решение уравнения xy 2 dy=(x 3 +y 3 )dx
y 3 =3x 3 ln| Cx |
5) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли
6) Найдите общее решение уравнения y — 9y = e 2 x
7) Найдите общее решение уравнения 
y=-2lnx+ Cx+ C1\
8) Найдите частное решение уравнения ds=(4t-3)dt, если при t= 0 s= 0
s=2t 2 -3t
9) Найдите общее решение уравнения y—y= 0
y= C1e x + C2e — x
10) Найдите общее решение уравнения 
y=x 2 + Cx
11) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение
x 2 y=xy+y 2
12) Найдите общее решение уравнения y— 4y+ 3y= 0
y= C1e x + C2e 3x
13) Найдите общее решение уравнения y = cos x
y=-cos x+ Cx+ C1
Ответы на модуль 13 (РЯДЫ) по предмету математика.
1) Исследуйте сходимость ряда
сходится
2) Найдите интервал сходимости ряда x+2x 2 +3x 3 +4x 4 +…+nx n +…, не исследуя концов интервала
(-1; 1)
3) Найдите радиус сходимости ряда 
R=1
4) Разложите в степенной ряд f(x)= arctg 3x
5) Исследуйте сходимость ряда 
расходится
6) Исследуйте сходимость ряда
сходится
7) Найдите интервал сходимости ряда 
8) Исследуйте сходимость ряда 
расходится
9) Исследуйте сходимость ряда alt=»1″ width=»300″ height=»30″ />
расходится
10) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
11) Разложите в степенной ряд f(x)= sin 2x
12) Исследуйте сходимость ряда
расходится
13) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
Ответы на задачник по предмету математика.
1) Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1, -1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
x — y + 3z — 11 = 0
2) Вычислить определитель D, разложив его по элементам второго столбца.
-20
3) Вычислить J= ∫cos(lnx) dx/x
sin(lnx)+ C
0
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x 2 , y 2 = 4x.
16/3
6) Найти производную функции y =ln sinx
ctg x
7) Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n — единичные векторы и угол между m и n равен 120 о
120
8) Найти наименьшее значение функции y = x 2 – 6x + 5 на отрезке (1,2).
-3
X1=2, X2=3, X3=-2.
10) При каком положительном значении параметра t прямые, заданные уравнениями
3tx — 8y + 1 = 0 и (1+t)x — 2ty = 0, параллельны?
Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору ав 4 8
Вопрос по математике:
Какой из векторов коллинеарен вектору АВ=(4;-8)
Варианты ответов (см вложение). Желательно с решением. Заранее спасибо!
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
- 07.08.2016 20:30
- Математика
- remove_red_eye 13971
- thumb_up 40
Ответы и объяснения 1
Это вектор СД, т.к
АВ = 6 СД, т.е. координаты этих векторов пропорциональны
- 08.08.2016 19:56
- thumb_up 23
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору ab 4 8
Какой из векторов коллинеарен вектору АВ=(4;-8)
Варианты ответов (см вложение). Желательно с решением. Заранее спасибо!
Какова масса осадка, выпавшего при взаимодействии хлорида бария с раствором серной кислоты, массой 20г и массовой долей кислоты 19,6%.
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
СРОЧНО НАДО ПОЖАЛУЙСТА ЗАРАНЕЕ СПАСИБО И БЛАГОДАРЕН.
Какова масса осадка, выпавшего при взаимодействии хлорида бария с раствором серной кислоты, массой 20г и массовой долей кислоты 19,6%.
Упр.413 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Коллинеарные вектора
Определение: Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Коллинеарны ли векторы? Примеры.
Задача №1 Дан вектор а= и b= . При каких n и m вектора коллинеарны?
Решение:
Вектора коллинеарны, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Значит можем составить пропорцию: 15/18 = m/12 = 1/n, откуда находим неизвестные n = 1,2 m = 10
Как найти вектор, коллинеарный вектору
Чтобы понять, что значит коллинеарные векторы, сперва надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Иначе одной маленькой буквой: $\overline$ (рис. 1).
Рисунок 1. Обозначение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Далее рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными.
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой. Кроме того, понятие коллинеарность наблюдается в случается параллельности векторов (рис.2).
Рисунок 2. Коллинеарность векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также введем определение векторного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$\overline х\overline =\begin \overline&\overline &\overline \\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end $
Признак коллинеарности через пропорциональность или как определить коллинеарность векторов по координатам
Главное условие коллинеарности векторов: чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны друг другу.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline $ и $\overline $, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующие равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Так как векторы $\overline $ и $\overline $ коллинеарны, то они будут либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Без ограничения общности, будем считать, что они будут сонаправлены, то есть $\overline ↑↑\overline $. Умножим один из этих векторов на действительное, большее нуля, число $r$, так, чтобы длины векторов $r\overline $ и $\overline $ были равны между собой. По определению умножения векторов на число, получим, что $r\overline ↑↑\overline $. Но тогда, по определению равенства векторов, получим, что $r\overline =\overline $. Из этого равенства получим, что
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Достаточность: Пусть верны равенства $α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$. Докажем, что векторы $\overline $ и $\overline $ будут коллинеарными.
Из данных равенств следует, что $r\overline =\overline $.
Имеются два случая:
В этом случае, по определению умножения вектора на число, получим, что $r\overline ↑↓\overline $.
В этом случае получим, что $r\overline ↑↑\overline $.
Тогда, в обоих случаях получаем доказательство коллинеарности векторов $\overline $ и $\overline $.
Ответ: теорема доказана.
Как проверить коллинеарность векторов $(3,-1)$ и $(9,-3)$.
Доказательство.
Разложим второй вектор:
Получаем, что координаты этих векторов пропорциональны друг другу, что, по теореме 1, и доказывает наше утверждение.
Признаки и свойства коллинеарности векторов через их произведение
Чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline $ и $\overline $, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать, что $\overline х\overline =\overline $.
Так как векторы коллинеарны, то, по теореме 1, верны равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Найдем $\overline х\overline $ по формуле
$\overline х\overline =\begin \overline&\overline &\overline \\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end =\begin \overline&\overline &\overline \\rβ_1&rβ_2&rβ_3\\β_1&β_2&β_3\end =r\begin \overline&\overline &\overline \\β_1&β_2&β_3\\β_1&β_2&β_3\end =r\cdot \overline =\overline $
Достаточность: Пусть верно равенство $\overline х\overline =\overline $, докажем, что векторы $\overline $ и $\overline $ коллинеарны. Так как векторное произведение равняется $\overline $, то его длина также равняется нулю. Следовательно, угол между $\overline $ и $\overline $ равняется $180^\circ$ или $0^\circ$. То есть, чтобы они были коллинеарны, векторы должны лежать на одной или параллельных прямых.