Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?
Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?
К примеру, (8 — b) на (b — 8)в3степени.
Поменяется знак результата
(8 — b) ^ 3 = — (b — 8) ^ 3 ( приb≠8).
Сумма вычитаемого и разности равна 9 ?
Сумма вычитаемого и разности равна 9 .
Чему равно уменьшаемое?
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 7 — 5х — 2х + 1 2 встепени (1) встепени (8) = 0?
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 7 — 5х — 2х + 1 2 встепени (1) встепени (8) = 0.
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555?
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555.
Может ли уменьшаемое быть целым числом?
Если да, то приведите пример, елси нет, то объясните почему.
Уменьшаемое в три раза больше вычитаемого и разность равна 78 ?
Уменьшаемое в три раза больше вычитаемого и разность равна 78 .
Найдите уменьшаемое и вычитаемое.
Помогите идиоту — девятикласснику?
Помогите идиоту — девятикласснику.
Как грамотно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555?
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555.
Может ли уменьшаемое быть целым числом?
Если да, то приведите пример, если нет, то объясните почему Помогите, никак не пойму.
Как изменится разность двух чисел если уменьшаемое уменьшить на 12 а вычитаемое на 16?
Как изменится разность двух чисел если уменьшаемое уменьшить на 12 а вычитаемое на 16.
2 в степени 7 умножить на 3 встепени 6 деления 6 встепени 5?
2 в степени 7 умножить на 3 встепени 6 деления 6 встепени 5.
Когда уменьшаемое увеличили на 4?
Когда уменьшаемое увеличили на 4.
3 а вычитаемое уменьшили на 1.
1 то разность стала равной 18.
2. На сколько вычитаемое быломеньше уменьшаемого,.
Объясните, пожалуйста, как поменять местами числа в скобках если например стоит (а — 1) + (1 — а) а нужно во второй скобке получить (1 — а) пожалуйста )?
Объясните, пожалуйста, как поменять местами числа в скобках если например стоит (а — 1) + (1 — а) а нужно во второй скобке получить (1 — а) пожалуйста ).
На этой странице находится вопрос Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?, относящийся к категории Алгебра. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Алгебра. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.
Разложение многочленов на множители
В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:
Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:
Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим
ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8
что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести a за скобки, то получим иную запись:
ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156
В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.
При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.
Рассмотрим полином 14ab – 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:
Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:
14ab — 63b 2 = 7b*2a — 7b*9b = 7b(2a-9b)
Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:
7b(2a — 9b) = 7b*2a — 7b*9b = 14ab — 63b 2
Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)
Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)
в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:
b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)
Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10
Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.
Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная c общей не является, так как не входит в первое слагаемое.
Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3 :
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10 )
В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.
Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:
Еще один пример. Необходимо разложить выражение
5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y)
Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому
-(8y — 3x) = -8y + 3x = 3x — 8y
Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):
5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y) = 5t(8y — 3x) + 2*(-1)s(8y — 3x) = (8y — 3x)(5t — 2s)
Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).
Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:
Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:
Этот прием часто используется при решении заданий.
Способ группировки
Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение
Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:
ab — 5a + bc — 5c = (ab — 5a) + (bc — 5c) = a(b — 5) + c(b — 5)
Теперь можно вынести выражение b – 5:
a(b — 5) + c(b — 5) = (b — 5)(a + c)
Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.
Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.
Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:
6xy + ab — 2bx — 3ay = 6xy — 2bx + ab — 3ay = (6xy — 2bx) + (ab — 3ay) = 2x(3y — b) + a(b — 3y)
Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:
Используем эту замену:
2x(3y — b) + a(b — 3y) = 2x(3y — b) — a(3y — b) = (3y — b)(2x — a)
В результате получили тождество:
6xy + ab — 2bx — 3ay = (3y – b)(2x – a)
Ответ: (3y – b)(2x – a)
Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме
x 2 — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z
можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:
x 2 — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z = (x 2 — 3xy + xz) + (2x — 6y + 2z) = x(x — 3y + z) + 2(x — 3y + z) = (x + 2)(x — 3y + z)
Теперь рассмотрим задание повышенной сложности
Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 – 8x +15.
Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:
Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:
x 2 — 8x + 15 = x 2 — 3x — 5x + 15
x 2 — 3x — 5x + 15 = (x 2 — 3x) + (- 5x + 15) = x(x — 3) — 5(x — 3) = (x — 5)(x — 3)
Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:
(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab
Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 – 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:
С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда
(x — 3)(x — 5) = x 2 * 8x + 15
в чем можно убедиться, раскрыв скобки.
Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:
x 2 * 8x + 15 = (2x — 6)(0.5x — 2.5)
Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:
(2x — 6)(0.5x — 2.5) = (x — 3) * 2 * (0.5x — 2.5) = (x — 3)(x — 5)
В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,
невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.
Применение разложение многочленов на множители
Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9
Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 )
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8
за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:
Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):
Теперь выразим искомую нами сумму через х:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022
При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.
Теперь вычислим значение выражения
38.4 2 — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4
Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:
38.4 2 — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4 = 38.4 2 — 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 — 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 — 29.5) + 61.6(38.4 — 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 — 29.5) = 8.9*100 = 890
Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение
81 4 — 9 7 + 3 12
делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:
81 = 9 2 = (3 2 ) 2 = 3 4
Зная это, произведем замену в исходном выражении:
81 4 — 9 7 + 3 12 = (3 4 ) 4 — (3 2 ) 7 + 3 12 = 3 16 — 3 14 + 3 12
3 16 — 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 — 3 2 + 1) = 3 12 * (81 — 9 + 1) = 3 12 * 73
Произведение 3 12 •73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 – 9 7 + 3 12 делится на это число.
Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)
Далее произведем замену 3a = 2a + a:
(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение
(x — y)(x + y) — 2x(x — y)
не является положительным числом.
Решение. Вынесем общий множитель х – у:
(x — y)(x + y) — 2x(x — y) = (x — y)(x + y — 2x) = (x — y)(y — x)
Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:
Тогда можно записать:
(x — y)(y — x) = -(y — x)(y — x) = -(y — x) 2
Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.
Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:
Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.
Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.
Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:
s — 1 = 0 или s + 1 = 0
Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.
Пример. Решите уравнение 5w 2 – 15w = 0.
Решение. Вынесем 5w:
Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:
5w = 0 или (w — 3) = 0
Пример. Найдите корни уравнения k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0.
Решение. Сгруппируем слагаемые:
k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0
(k 3 – 8k 2 ) + (3k– 24) = 0
k 2 (k — 8) + 3(k — 8) = 0
k 2 + 3 = 0 или k — 8 = 0
k 2 = -3 или k = 8
Заметим, что уравнение k 2 = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.
Пример. Найдите корни уравнения
(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21
Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:
(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21
(2u — 5)(u + 3) — 7u — 21 = 0
(2u — 5)(u + 3) — 7(u + 3) = 0
(2u — 5 — 7)(u + 3) = 0
2u — 12 = 0 или u + 3 = 0
Пример. Решите уравнение
(t 2 — 5t) 2 = 30t — 6t 2
(t 2 — 5t) 2 = 30t — 6t 2
(t 2 — 5t) 2 — (30t — 6t 2 ) = 0
(t 2 — 5t)(t 2 — 5t) + 6(t 2 — 5t) = 0
(t 2 — 5t)(t 2 — 5t + 6) = 0
t 2 — 5t = 0 или t 2 — 5t + 6 = 0
Далее решим по отдельности эти уравнения:
t = 0 или t — 5 = 0
Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:
Как поменять местами числа в скобках
Объясните, пожалуйста, как поменять местами числа в скобках если например стоит (а — 1) + (1 — а) а нужно во второй скобке получить (1 — а) пожалуйста )?
Объясните, пожалуйста, как поменять местами числа в скобках если например стоит (а — 1) + (1 — а) а нужно во второй скобке получить (1 — а) пожалуйста ).
Мы выносим минус из второй скобки и получаем (а — 1) — (a — 1).
Вынеси минус и они поменяются местами и знаками.
Пожалуйста помогите?
( Нужно упростить выражения!
Там во втором после 7 целых 19 / 32 за скобкой сверху 1.
Как решать дальше?
Как решать дальше?
Как поменять знак после последнего равно в последней скобке?
Объясните следующее : Как из первой строки получили второе?
Объясните следующее : Как из первой строки получили второе?
Особенно не понятно как в скобке появилось (3 — 4) и куда делся cos²20?
Объясните пожалуйста как дроби в числа переводить, ?
Объясните пожалуйста как дроби в числа переводить, .
Пожалуйста, объясните, откуда здесь (во вторых скобках) появилось число 22 в числителе?
Пожалуйста, объясните, откуда здесь (во вторых скобках) появилось число 22 в числителе?
Как оно получилось?
Помогите ?
Нужно сначала множители в скобках перемножить ( скобку на скобку ) , а потом 3 на каждый множитель в получившейся скобке ?
И второй вопрос : мне нужно отрицательное квадратно уравнение сделать положительным , я умножаю на — 1 и получается мне все знаки нужно поменять?
То что в скобках (второй вариант), пожалуйста, срочно поморочно?
То что в скобках (второй вариант), пожалуйста, срочно поморочно.
Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?
Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое?
К примеру, (8 — b) на (b — 8)в3степени.
Помогите пожалуйста?
Срочно нужно))) Расставьте скобки так, чтобы получить ответ 14 7 * 9 + 15 : 3 — 12.
Объясните мне пожалуйста КАК РАСКРЫВАТЬ ЭТО ЧЕРТОВЫ СКОБКИ Решать не нужно?
Объясните мне пожалуйста КАК РАСКРЫВАТЬ ЭТО ЧЕРТОВЫ СКОБКИ Решать не нужно.
На этой странице сайта размещен вопрос Объясните, пожалуйста, как поменять местами числа в скобках если например стоит (а — 1) + (1 — а) а нужно во второй скобке получить (1 — а) пожалуйста )? из категории Алгебра с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Если разница двух элементов равна 0, то значит они равны друг другу .
А) 3 + 7 * 10 ^ — 2 + 9 * 10 ^ — 3 б) 6 * 10 ^ — 5 + 2 * 10 ^ — 6 + 1 * 10 ^ — 8 в) 5 * 10 ^ 4 + 9 * 10 + 4 + 5 * 10 ^ — 1 + 8 * 10 ^ — 2 г) 7 * 10 + 7 * 10 ^ — 4 + 7 * 10 ^ — 6 д) 7 * 10 ^ 4 + 8 * 10 ^ 3 + 3 + 9 * 10 ^ — 2 е) 8 * 10 ^ 3 + 4 * 10 ^ 2..
Как поменять местами слагаемые в скобке?
Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством. . То есть, если уменьшаемое равно вычитаемому, то их можно поменять местами, при этом разность также будет равна нулю. В остальных случаях (когда уменьшаемое не равно вычитаемому) вычитание натуральных чисел не обладает переместительным свойством.
Как поменять местами в дроби?
Для того чтобы превратить неправильную дробь в мешаное число, нужно числитель разделить на знаменателя и отдельно записать целую часть, а остаток записать в числителе дробной части. .
Как правильно менять знаки?
При знаке минус все знаки, бывшие внутри скобок, при раскрытии нужно поменять на противоположные. При знаке плюс все знаки, бывшие внутри скобок, при раскрытии скобок сохраняются. При знаке минус все знаки, бывшие внутри скобок, при раскрытии нужно поменять на противоположные.
Как перенести из знаменателя в числитель?
5 — знаменатель. Для того чтобы обратить смешанное число в дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем обыкновенной дроби, а знаменатель останется прежним.
Как поменять знак перед скобками?
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс. Для примера приведем выражение (12−3,5)−7 ( 12 − 3 , 5 ) − 7 .
Какие есть свойства вычитания?
- a — 0 = a. Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа. .
- a — a = 0. .
- Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c. .
- Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c). .
- Прибавление разности к числу: а + (b — c) = a + b – c.
Что можно сделать чтобы отнять от суммы двух чисел число?
Чтобы вычесть натуральное число из суммы двух чисел можно сначала вычислить сумму, после чего из нее вычесть данное натуральное число. А можно воспользоваться свойством вычитания натурального числа из суммы двух чисел, если это упростит процесс вычитания.
Как из числа отнять сумму двух чисел?
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое. Здесь важно учесть, что вычитаемое должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему.
Как поставить минус перед дробью?
Вынесение минуса за знак дроби
Сделать это очень просто, если вспомнить правила: «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью; «Минус на минус дает плюс».
Как называется дробь по другому?
Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Как правильно открыть скобки при умножении?
Правило раскрытия скобок при умножении:
Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.
Как называется знак деления?
Знак деления — математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷) или косой черты (∕), используемый для обозначения оператора деления. В большинстве стран используют двоеточие (∶), в англоязычных странах и на клавишах микрокалькуляторов — символ (÷).
Что если перед скобками стоит знак деления?
При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых. К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Вот еще пример раскрытия скобок при делении выражения на число: .
Тождественные преобразования выражений, их виды
Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.
Тождественное преобразование выражения. Что это такое?
Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.
Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.
Проиллюстрируем данное определение примерами.
Если мы заменим выражение x + 3 − 2 на тождественно равное ему выражение x + 1 , то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x + 3 − 2 .
Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.
Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3 .
Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько расположенных подряд тождественных преобразований. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 привели к виду x + 3 , а его – к виду 3 + x .
Тождественные преобразования и ОДЗ
Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.
При выполнении перехода от выражения a + ( − b ) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.
Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.
Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.
Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.
Основные тождественные преобразования
Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.
Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.
Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.
Перестановка местами слагаемых, множителей
Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.
У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.
В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.
В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и — 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + ( — 12 ) · a слагаемые можно переставить, например, так ( — 12 ) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.
Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:
В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.
Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .
Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 — x + 1 x даст x 2 — x + 1 x · x + 1
Раскрытие скобок
Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.
Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x .
Выражение 3 · x — 1 + — 1 + x 1 — x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x — 3 — 1 + x 1 — x .
Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.
Группировка слагаемых, множителей
В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.
При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.
Возьмем выражение 5 + 7 + 1 . Если мы сгруппируем первое слагаемое с третьим, то получим ( 5 + 1 ) + 7 .
Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.
В произведении 2 · 3 · 4 · 5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению ( 2 · 4 ) · ( 3 · 5 ) . А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение ( 2 · 3 · 5 ) · 4 .
Слагаемые и множители, которые группируются, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Правила группировки были подробно разобраны в теме «Группировка слагаемых и множителей».
Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно
Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a числа b можно рассматривать как прибавление к числу a числа − b . Равенство a − b = a + ( − b ) можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.
Возьмем выражение 4 + 3 − 2 , в котором разность чисел 3 − 2 мы можем записать как сумму 3 + ( − 2 ) . Получим 4 + 3 + ( − 2 ) .
Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2 можно заменить суммами как 5 + 2 · x + ( − x 2 ) + ( − 3 · x 3 ) + ( − 0 , 2 ) .
Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.
Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a : b = a · ( b − 1 ) .
Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.
Частное 1 2 : 3 5 можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3 .
Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.
В случае с выражением 1 + 5 : x : ( x + 3 ) заменить деление на x можно на умножение на 1 x . Деление на x + 3 мы можем заменить умножением на 1 x + 3 . Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .
Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a : ( b − 1 ) .
В выражении 5 · x x 2 + 1 — 3 умножение можно заменить делением как 5 : x 2 + 1 x — 3 .
Выполнение действий с числами
Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.
Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.
Преобразуем выражение 3 · 2 3 — 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ,выполнив все возможные действия с числами.
Решение
Первым делом обратим внимание на степень 2 3 и корень 4 и вычислим их значения: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .
Подставим полученные значения в исходное выражение и получим: 3 · ( 8 — 1 ) · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Теперь проведем действия в скобках: 8 − 1 = 7 . И перейдем к выражению 3 · 7 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Нам осталось выполнить умножение чисел 3 и 7 . Получаем: 21 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Ответ: 3 · 2 3 — 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x )
Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.
Возьмем выражение 3 + 2 · ( 6 : 3 ) · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 .
Решение
Первым делом проведем замену частного в скобках 6 : 3 на его значение 2 . Получим: 3 + 2 · 2 · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 .
Раскроем скобки: 3 + 2 · 2 · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11 .
Сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: ( 3 − 2 + 11 ) + ( 2 · 2 · 4 ) · x · y 3 .
Выполним действия в скобках: ( 3 − 2 + 11 ) + ( 2 · 2 · 4 ) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3
Ответ: 3 + 2 · ( 6 : 3 ) · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3
Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.
Вынесение за скобки общего множителя
В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.
В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · ( 7 + 3 ) .
Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.
Приведение подобных слагаемых
Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.
Рассмотрим выражение 1 + 4 · x − 2 · x . Мы можем вынести буквенную часть x за скобки и получить выражение 1 + x · ( 4 − 2 ) . Проведем вычисление значения выражения в скобках и получим сумму вида 1 + x · 2 .
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями
Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.
Рассмотрим выражение 3 + x . Здесь число 3 может быть заменено суммой 1 + 2 . Так мы получим выражение ( 1 + 2 ) + x , тождественно равное исходному.
Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором степень a 5 мы можем заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a · a 4 . Это нам даст выражение 1 + a · a 4 .
Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.
Рассмотрим преобразование суммы 4 · x 3 + 2 · x 2 . Здесь слагаемое 4 · x 3 мы можем представить как произведение 2 · x 2 · 2 · x . В результате исходное выражение принимает вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 . Теперь мы можем выделить общий множитель 2 · x 2 и вынести его за скобки: 2 · x 2 · ( 2 · x + 1 ) .
Прибавление и вычитание одного и того же числа
Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.
Рассмотрим выражение x 2 + 2 · x . Мы можем прибавить или отнять от него единицу, что позволит нам в последующем провести еще одно тождественное преобразование — выделить квадрат двучлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1 .
Как поменять местами вычитаемое и уменьшаемое
Числа. Вычитание натуральных чисел. Свойства разности.
Вычитание (убавление) — одна из 4-х арифметических операций (умножение, деление, сложение, вычитание), обратная сложению. Обозначают при помощи знака минус «−». Это действие, при помощи которого по сумме и одному из слагаемых можно найти второе слагаемое.
Число, из которого вычитают, называют уменьшаемое, а число, которое вычитаем, — вычитаемое. Итог действий вычитания называется разность.
Пусть нам известно: сумма 2-х чисел c и b равно a, значит, разность a−c будет b, а разность a−b будет c.
Удобней всего производить вычитание методом «в столбик».
Таблица вычитания.
Для более легкого и быстрого осваивания процесса вычитания просмотрите и запомните таблицу вычитания до десяти для 2 класса:
Свойства вычитания натуральных чисел.
- Вычитание, как процесс, НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a.
- Разность одинаковых чисел равна нулю: a−a=0.
- Вычитание суммы 2-х целых чисел из целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c.
- Вычитания числа из суммы 2-х чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
- И все другие свойства вычитания целых чисел (натуральных чисел).
Рассмотрим некоторые из них:
Свойство вычитания двух равных натуральных чисел.
Разность 2-х одинаковых натуральных чисел равна нулю.
где a – любое натуральное число.
Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.
Из выше описанного свойства видно, что для 2-х одинаковых натуральных чисел переместительное свойство вычитания работает. Во всех других вариантах (если уменьшаемое ≠ вычитаемому) вычитание натуральных чисел не имеет переместительного свойства. Или, если сказать по другому, уменьшаемое и вычитаемое не меняют местами.
Когда уменьшаемое больше вычитаемого и мы решили поменять их местами, значит, мы будем вычитать из натурального числа, которое меньше, натуральное число, которое больше. Эта система не соответствует сути вычитания натуральных чисел.
Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.
Вычесть из указанного натурального числа нужную сумму 2-х натуральных чисел — это тоже самое, если из указанного натурального числа вычитать 1-е слагаемое нужной суммы, далее из расчитанной разности вычесть 2-е слагаемое.
При помощи букв это можно выразит таким образом:
где a, b и c – натуральные числа, обязательно должны выполняться условия a>b+c или a=b+c.
Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.
Вычитать из суммы 2-х чисел натуральное число – тоже самое, что и вычитать число из одного из слагаемых, и далее складывать разность и другое слагаемое. Вычитаемое число НЕ может быть больше слагаемого, из которого это число вычитаем.
Пусть a, b и c – натуральные числа. Значит, если a больше или равно c, равенство (a+b)−c=(a−c)+b будет соответствовать истине, а если b больше или равно c, то: (a+b)−c=a+(b−c). Когда и a и b больше или равно c, значит оба последних равенства имеют место, и их можно записать вот так:
Как в скобке поменять местами уменьшаемое и вычитаемое? К примеру, (8-b) на (b-8)в3степени
Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть пятёрок.
помогите пожалуйста срочно разобраться. Если можно чертеж
с углом 4 3. Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть
Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины-три пятёрки, а у игоря-шесть пятёрок.
Начертите круговую диаграмму точка радиус круга 6 см. На клумбе выросла 20 гладиолусов, 8 астр и 8 хризантем.
Постройте столбчатые диаграммы у Пети по математике четыре пятёрки У Зины три пятёрки а Игоря шесть пятёрок
Вычитание натуральных чисел
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.
Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько осталось денег, можно вытащить кошелек и пересчитать их. Но можно поступить по-другому: из той суммы, которая была в кошельке, отнять ту сумму, что была потрачена в магазине. Разница этих чисел , то есть, на сколько единиц изначальная сумма денег больше той суммы, которую потратили, и будет остатком денег.
Разность (или остаток) – это такое число, которое получится, если от одного числа отнять другое, то есть, от всех единиц одного числа отнять все единицы, которые содержатся в другом числе.
Уменьшаемое – это то число, от которого мы отнимаем единицы другого числа.
Вычитаемое – это число, которое мы вычитаем из другого числа. То есть, то число, на количество единиц которого мы уменьшаем другое число.
Вычитание – это арифметическое действие, которое выполняется для получения разности двух или нескольких чисел.
то есть, совершить действие вычитания – это найти такое число, которое получится, если от данного числа отнять определенное количество единиц другого числа.
Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!
Про действие вычитание также говорят, что нужно из одного числа вычесть другое , или одно число уменьшить на другое .
Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.
Поэтому, уменьшаемое натуральное число всегда больше или равное вычитаемому. Другими словами, мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное .
Связь вычитания и сложения
Действие вычитание непосредственно связано с действием сложение .
Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.
А когда мы ищем разность, мы из одного числа (уменьшаемое) отнимаем некоторое количество единиц (вычитаемое), которые входят в его состав , и получаем другое количество единиц . То есть, получаем число ( разность ), которое также составляло уменьшаемое , пока от него не отняли вычитаемое . Поэтому разность и имеет второе название – остаток – то, что осталось от числа, после вычитания его части.
Из этого мы можем сделать вывод, что, если сложить обратно обе части одного числа (разность и вычитаемое), то мы получим уменьшаемое .
Поэтому, вычитание и сложение – это взаимно обратные действия. Если нам известна сумма двух слагаемых, мы можем превратить ее в разность двух чисел, и наоборот, разность можно перевести в сумму.
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности . То есть, разность и вычитаемое – это слагаемые .
Когда мы складываем числа, слагаемые нам известны , и нужно вычислить их сумму . А когда мы вычитаем , нам даются сумма (уменьшаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, а второе слагаемое (разность) нам нужно вычислить .
Рассмотрим это на примере. Мы нашли разность 8-5=3 . Это означает, что мы разложили одно данное нам число 8 на два: 5 (данное нам уменьшаемое ) и 3 (найденная нами разность ). Но мы знаем, что состав числа – это слагаемые , которые в сумме дают нам это самое число . Поэтому, найденную нами разность чисел мы можем превратить в сумму чисел , сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8 .
Свойства разности натуральных чисел
Свойства разности натуральных чисел состоят из:
- Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
- Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
- Правило вычитания разности из числа;
Рассмотрим каждый пункт подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму из числа
Чтобы найти разность числа и суммы чисел нужно из данного числа вычесть последовательно каждое слагаемое суммы.
То есть, сначала мы находим разность между данным числом и первым слагаемым, потом от этой полученной разности отнимаем второе слагаемое, третье, и так далее до последнего слагаемого суммы.
Действительно, так как сумма – это объединение всех слагаемых , то очевидно, что, отнимая последовательно каждое слагаемое , каждое ее составляющее число, мы в конце концов отнимем всю сумму .
Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Я запишу это в виде разности:
406 -( 12 + 64 + 5 ) = 325
и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:
406 — 12 = 394;
394- 64 = 330;
330- 5 = 325 .
Как видите, все верно.
Как вычесть число из суммы
Чтобы найти разность суммы чисел и некоторого числа, нужно отнять это число от какого-нибудь подходящего слагаемого этой суммы.
То есть, мы сначала находим разность одного из слагаемых и данного числа, а потом складываем получившийся результат последовательно с остальными слагаемыми.
Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.
Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:
325 +81 = ( 191 + 65 + 150 )
Превращаю выражение в разность:
( 191 + 65 + 150 )-81 = 325
и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:
191 -81 = 110;
110+ 65 = 175;
175+ 150 = 325
или
150 -81 = 69;
69+ 191 = 260;
260+ 65 = 325 .
Я недаром написал в правиле, что нужно отнимать от подходящего слагаемого суммы , потому что, если оно будет меньше вычитаемого , то оно нам не подходит. Так, в нашем примере 65<81 .
Отсюда следует, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел , а только к той, в которой хотя бы одно из слагаемых больше, чем вычитаемое .
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.
Если уменьшаемое увеличить на некоторое количество единиц, то и разность увеличится на такое же количество единиц.
Если уменьшаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то и разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое увеличить на некоторое количество единиц, то разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то разность увеличится на такое же количество единиц.
Если сразу оба числа, и уменьшаемое, и вычитаемое, увеличить или уменьшить на одно и то же количество единиц, то разность не изменится.
Правила вычитания разности
Если нужно вычесть из числа разность других чисел, можно воспользоваться одним из двух способов:
1. Прибавить к данному числу вычитаемое, и из получившейся суммы вычесть уменьшаемое;
2. Вычесть из данного числа уменьшаемое, а потом результат этого действия сложить с вычитаемым.
Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.
Рассмотрим на примере 22 -( 17 — 3 ).
Для начала вычислим обычным способом: сперва узнаем разность в скобках (это будет 17-3= 14 ), а потом вычтем 14 из 22 . Получится 22-14=8 .
22 -( 17 — 3 ) = 8
Теперь вернемся к исходному примеру и отнимем от 22 не разность 17-3 , то есть, не 17 без 3 единиц, а все число 17 .
22 — 17 = 5
Но мы ведь отняли больше, чем нужно было , поэтому нам нужно вернуть лишне взятые 3 единицы обратно, а именно, прибавить их к полученному результату.
5+ 3 = 8
Попробуем решить другим путем : увеличим и уменьшаемое (данное число), и вычитаемое (разность в скобках) на одно и то же число 3 . Получим:
22 +3-( 17 +3- 3 )
Так как 22+3=25 , а 3-3=0 , то в итоге получается:
25- 17 +0 = 8
Как видите, оба способа показали верный результат.
Вычитание однозначного числа
Вы сможете без каких-либо трудностей совершать вычитание любых чисел , если сперва хорошо натренируете себя вычитать однозначные числа в уме из однозначных и двухзначных.
А поскольку вычитание – это действие обратное сложению, тогда необходимо просто выучить на память все суммы однозначных чисел . Пользуясь ими, мы легко сможем получить необходимые вам разности.
Например, нам нужно найти разность чисел 17 и 8 . Для этого нам необходимо вспомнить, какое число при сложении с числом 8 дает сумму 17 ? Это число 9 , потому что 8+9=17 . Значит, если от 17 отнять 8 , мы получим: 17-8=9 .
Хорошо натренировавшись в нахождении разности чисел из суммы однозначных чисел, можно переходить к более сложным случаям вычитания . Подробно эти приемы рассмотрены в разделе рубрики «Устный счет».
Вычитание в столбик многозначных чисел
Так же, как и сложение, разность многозначных чисел удобно находить, используя вычитание в столбик .
Вычитание в столбик – это способ нахождения разности чисел при помощи их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим), и последующего вычисления.
Давайте найдем разность чисел 52063-4825 .
Запишем их друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел , т.е. единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. После этого, под вторым слагаемым проводим горизонтальную черту, а между слагаемыми ставим знак действия, т.е. минус. У нас получилась такая запись:
Вычитание в столбик выполняется подобным способом, как и при сложении , только теперь мы отнимаем единицы от единиц, десятки от десятков и так далее.
От 3 единиц в уменьшаемом мы не можем отнять 5 единиц вычитаемого, поскольку 3<5 . Поэтому, мы раскладываем соседние 6 десятков на 5 десятков и 1 десяток. Этот десяток содержит 10 единиц, которые мы складываем с 3 имеющимися в уменьшаемом единицами. Теперь у нас есть 13 единиц, и мы можем отнять от них 5 , получим 8 единиц. Записываем их под чертой в разряде простых единиц , а над цифрой разряда десятков в уменьшаемом ставим одну точку, чтобы не забыть , что 1 десяток единиц мы оттуда уже забрали.
Переходим к десяткам . У уменьшаемого в разряде десятков мы уже забрали 1 десяток , о чем нам напоминает поставленная точка . Поэтому, мы отнимаем 2 десятка вычитаемого не от 6 , а от 5 десятков , потому что 6-1=5 .
5>2 , значит, действие вычитания возможно : 5-2=3 . Пишем цифру 3 под чертой в разряде десятков , и переходим к сотням.
Сотен в уменьшаемом у нас нет , поэтому мы смотрим, сколько в числе содержится тысяч ? Их тоже 0 . Смотрим следующий разряд . Здесь у нас 5 десятков тысяч. Из них мы берем 1 десяток тысяч (ставим точку над цифрой 5 в уменьшаемом), что составляет 10 тысяч единиц. Из них (из взятых в десятках тысячах ) мы занимаем 1 тысячу для того, чтобы закончить вычитание в разряде сотен (ставим точку над цифрой 0 в разряде тысяч уменьшаемого).
1 тысяча единиц – это 10 сотен. Кроме этих занятых, больше в уменьшаемом сотен нет. В вычитаемом 8 сотен, поэтому находим разность сотен уменьшаемого и вычитаемого : 10-8=2 . Пишем результат под чертой в разряде сотен.
В разряде тысяч уменьшаемого у нас осталось 9 тысяч единиц (потому что 1 тысячу мы отдали для разряда сотен в качестве 10 сотен). Отнимаем от нее 4 тысячи вычитаемого, получаем: 9-4=5 , которые записываем под чертой в разряде тысяч.
Десятков тысяч в уменьшаемом осталось 5-1=4 (помните, мы для разряда сотен занимали?), в вычитаемом их нет совсем , то есть, 0 . Поэтому мы просто сносим цифру 4 в результат под черту в разряд десятков тысяч.
После нахождения разности чисел способом вычитания в столбик записываем ответ в строчном примере:
50063-4825 = 45238.
Как проверить действия сложение и вычитание?
После того, как вы закончили арифметическое действие, нужно проверить правильность ответа , то есть, удостовериться, что вычисление было сделано без ошибок .
Проверить сложение можно двумя способами: обратным сложением и вычитанием.
Обратное сложение означает, что мы меняем слагаемые местами, и складываем их еще раз. Если результат будет такой же, как и после первого сложения, значит, вычисление было верным.
Например, в уроке сложение чисел мы находили сумму: 5728+803 = 6531 . Проверим правильность результата способом обратного сложения :
Как видите, сложив слагаемые в другом порядке, мы получили тот же самый результат, а значит, вычисление было правильным .
Проверка сложения вычитанием – это способ, при котором нужно из суммы, которую получили после выполнения действия сложение, отнять одно из слагаемых. Если результат этого вычитания будет равен второму слагаемому (или сумме остальных слагаемых, если их больше двух), значит сложение было выполнено верно.
Проверим эту же сумму вычитанием : отнимем от результата 6531 слагаемое 5728 .
И этот способ проверки показал правильность нашего решения.
Проверить вычитание также возможно и сложением, и другим вычитанием.
Проверка вычитания сложением основана на взаимосвязи вычитания и сложения. Зная, что уменьшаемое – это сумма, а остаток и вычитаемое – это слагаемые, мы можем сложить между собой вычитаемое и остаток, и, если получим в результате уменьшаемое, значит, мы правильно сделали действие.
Вот так выглядит проверка вычитания сложением на примере вычисленной на этом уроке разницы 50063-4825 = 45238 :
Проверка вычитания вычитанием также основывается на взаимосвязи вычитания и сложения, а также на переместительном законе сложения. Так как уменьшаемое – это сумма двух слагаемых: вычитаемого и остатка, и сумма не зависит от порядка сложения слагаемых, то очевидно, что мы можем отнять от уменьшаемого остаток . Если результат этого действия будет равен вычитаемому , значит наша первая разность вычислена верно.