Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике».
Комбинаторными задачаминазываются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.
Пусть имеется множество, содержащее nэлементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее изkэлементов, называетсяразмещением из n элементов по k элементов:
, где n!=1*2*3*…*n
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно
. Получаем
=
.
Размещения из nэлементов поnэлементов называютсяперестановками из n элементов:
.
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.
Сочетания.Пусть имеется множество, состоящее изnэлементов. Каждое его подмножество, содержащееkэлементов, называетсясочетанием из n элементов по k элементов:
Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно
.
Свойства сочетаний:
Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей».
Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):
.
Пример 1. Подбрасывание игральной кости один раз. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков – чётно. В этом случаеN=6 – число граней куба; М=3 – число граней с чётными номерами; тогда Р(А)=3/6=1/2.
Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2 раза. Событие А состоит в том, что выпало ровно 2 герба. В этом случаеN=4, т.к.
=<ГГ, ГР, РГ, РР>; М=1, т.к. А=<ГГ>. Тогда Р(А)= ¼.
Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара. Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. В этом случаеN=2+3=5 (общее число шаров в урне), М=3 (число чёрных шаров), тогда Р(А)=3/5.
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1;N– число различных цифр,
. Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.
Пример 5. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?
Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов).N– общее число вариантовN=6 6 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем
.
Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров;N– число способов вытащить 2 шара из 7; 
;M– число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; 
.
Сочетания
Решение. Цифра 5 должна стоять на последнем месте.Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке.Следовательно,искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов,т.е. 5!=
Пример.Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Число матчей равно числу неупорядоченных выборок объема 2 из множества, содержащего 16 элементов, т.е. равно . По формуле находим
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд если каждые две команды
Нажимая на кнопку «Задать вопрос», я даю согласие на обработку персональных данных
30 September 2013 Алгебра- Автор: SVETIK85
1.Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд,
если кажждые две команды встречаются между собой один раз. Заранее спасибо.
- 30 September 2013
- Ответ оставил: Ceilon15
- НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
Нажимая на кнопку «Ответить на вопрос», я даю согласие на обработку персональных данных
Последние опубликованные вопросы
Алгебра
Английский язык
Беларуская мова- Беларуская мова
Биология
География
Геометрия
Другие предметы
Другое
Информатика
История
Қазақ тiлi
Литература
Математика
Обществознание
Право
Русский язык
Українська література
Українська мова
Физика
Химия
Экономика
20.03.2020г. гр.836 Практическая работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач»
материал
цель: научиться определять тип выборки, находить число перестановок, число сочетаний, число размещений.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| pr_reshenie_prosteyshih_kombinatornyh_zadach.docx | 61.94 КБ |
Предварительный просмотр:
Практическая работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач».
Цель: научиться определять тип выборки, находить число перестановок, число сочетаний, число размещений.
Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем = .
Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:
Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .
Требования к отчетности:
- Выполнять в рабочей тетради;
- Фотографировать готовые решения;
- Присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.
Абдурашидов И., Бобылев А., Глазунов А., Деркач А., Изин Андрей, Изосимов А., Кирпичников А, Котькорло К., Маненков К., Осауленко Г., Плечев К., Тюлькин И., Ахмедов Д.
Алексеев Н., Близняков М., Горсков В., Джапаров Р., Изин Антон, Кириллов П., Ковалевский Д., Лосев А., Мунтян С.,Пошеченков А., Солдатов И., Тулупов А.
1. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами?
2. Сколькими способами из отряда в 20 человек можно выбрать командира и знаменосца?
3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек?
4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3,4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.
5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.
6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?
7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число для задачи: Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?
б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?
8. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?
1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
2. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать менеджера и заместителя менеджера?
3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 7 человек?
4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2,3, 4 и 5? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.
5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.
6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 5,6, 7 и 8 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 8 будет дана цифра 0?
7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число для задачи: Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?
8. Из 18 объектов нужно отобрать 9 объектов. Сколькими способами это можно сделать?