Найдите все пары ( x y) , для которых выполняется неравенство
Для начала дам одну удобную формулу для расчета ординаты вершины параболы через ее абсциссу, чтобы разбавить чем-нибудь интересным слишком скучную задачку. Можете показать своему учителю.
Пусть имеется произвольный квадратный трехчлен:
Найдем абсциссу его вершины:
Теперь найдем ординату его вершины и преобразуем ее к удобному виду:
Последняя формула иногда является удобной при расчете ординаты вершины параболы.
Рассмотрим квадратный трехчлен (параболу):
Ветви данной параболы идут вниз, ибо коэффициент .
Значит в вершине данной параболы достигается НАИБОЛЬШЕЕ значение.
Найдем координаты вершины данной параболы:
Как видим, наибольшее значение данной параболы равно: , а достигается оно при .
Рассмотрим подкоренную параболу справа:
(Не путайте обозначения букв вершин! Тут многочлен зависит от , поэтому АБСЦИССА вершины (не ОРДИНАТА!) будет обозначаться как , а ордината, как и в предыдущем случае, , чтобы не запутаться в обозначениях.)
Ветви данной параболы идут вверх, ибо коэффициент .
Значит в вершине данной параболы достигается НАИМЕНЬШЕЕ значение.
Найдем координаты вершины данной параболы:
Как видим, наименьшее значение данной параболы равно: , а достигается оно при .
Таким образом, наименьшее значение для подкоренной функции справа равно:
Откуда видно, что НАИБОЛЬШЕЕ значение левой части нашего неравенства совпадает с НАИМЕНЬШИМ значением правой части нашего неравенства, иначе говоря, левая часть часть неравенства не может быть больше правой.
Другими словами случай, когда:
невозможен.
Остается рассмотреть вариант, когда:
Равенство наступает только когда левая и правая часть равна , то есть когда:
Таким образом, пара является единственным решением данного неравенства.
Найдите все пары (x, y), для которых выполняется неравенство 12x-2x²-13> =корень из 3y²-24y+73
всех решенных 60+70+80+90=300. значит, в среднем один школьник решил 300: 100=3 . т.к. 4 не решил никто, значит, максимум, каждый школьник решил 3 : или 1,2,3 или 1,2,4 или 1,3,4 или 2,3,4. награду получили только те, кто решил 3 и 4 , т.е. 1,3,4 и 2,3,4. если получивших награду обозначить х, то (60-х) — кол-во учеников, решивших 1,2,3 , а (70-х)-решивших 1,2,4 . получаем равенство(60-х) + (70-х) + х = 100х = 30было награждено 30 человек
Найдите все пары (x, y), для которых выполняется неравенство 12x-2x²-13> =корень из 3y²-24y+73
Рисунок к заданию во вложении.
Дано: -3<a<-2
-1<b<0
1) а+b< 0 — верно: (-)+(-)=(-)
2) -4< a-1< 0 — верно: -3<a => -4<a-1; a<-2 => a-1<-3, значит a<0.
3) a²b < 0 — верно: (-)²=(+), (+)*(-)=(-)
4) -b< 0 — неверно: -(-)=(-)*(-)=(+) => -b>0
Выбрать наименьшее из чисел:
1) a-1 — a<-2 => a-1<-3
2) b-2 — b<0 => b-2<-2
3) ab — (-)*(-)=(+) => произведение ab — это положительное число
4) -b — -(-)=(-)*(-)=(+) =Ю=> -b — положительное число.
Наименьшее из чисел — это а-1, которое меньше -3.
12*x-2*x^2-13>=sqrt(3*y^2-24*y+73)
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_ <1>= frac
$$x_ <2>= frac <- sqrt
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 12$$
$$c = – sqrt <3 y^<2>– 24 y + 73> – 13$$
, то
Уравнение имеет два корня.
или
$$x_ <1>= – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <1>= – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <1>= – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
Данные корни
$$x_ <1>= – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
$$x_ <2>= frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ <0>leq x_<1>$$
Возьмём например точку
$$x_ <0>= x_ <1>– frac<1><10>$$
=
=
$$- frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + frac<29><10>$$
подставляем в выражение
$$- 2 x^ <2>+ 12 x – 13 geq sqrt <3 y^<2>– 24 y + 73>$$
2
/ ______________________________
______________________________ | / __________________ | __________________
/ __________________ | / / 2 | >= / 2
109 / / 2 |29 / 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y | / 73 – 24*y + 3*y
— – 3*/ 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y – 2*|– – ———————————-|
5 10 4 /
Тогда
$$x leq – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3 wedge x leq frac<1> <4>sqrt <- 8 sqrt<3 y^<2>– 24 y + 73> + 40> + 3$$