Когда совокупность а когда система в неравенствах

Системы неравенств

Система неравенств представляет собой два или более неравенств, объединенных сбоку фигурной скобкой: $$ \begin x^2-3x \le 0, \\ x+6 \gt 9. \end $$ Решить систему неравенств значит найти все такие значения переменной \(x,\) которые удовлетворяют ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем выбрать \(x,\) которые являются решениями сразу всех неравенств. Другими словами, найти пересечение решений.

Учиться решать системы проще всего на примерах:
Пример 1 $$ \begin x-7 \lt 0, \\ x-8 \gt -9. \end $$ Система состоит из двух линейных неравенств. Решим каждое по отдельности: $$x-7 \lt 0;$$ $$x \lt 7;$$ Первое неравенство дает нам любые \(x,\) которые меньше \(7.\) Изобразим это на числовой прямой:

Решим второе неравенство: $$x-8 \gt -9;$$ $$x \gt -1;$$ Тут у нас получились любые \(x\) больше \((-1).\) Тоже рисуем числовую прямую:

А вот теперь самое интересное: перед нами задача не решить все неравенства в системе по отдельности, а решить систему из этих неравенств. Значит нужно найти пересечение решений, то есть такие значения \(x\), которые будут решениями и для первого неравенства, и для второго.

Проще всего найти пересечение при помощи той же числовой прямой. Изобразим на ней решения сразу обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства покажем сверху, а решение второго — снизу:

Из рисунка отлично видно область, где пересекаются решения. Я ее показал штриховкой. Нам остается только записать в ответ заштрихованную область. Так как оба неравенства в системе строгие, то на числовой прямой точки \(x=-1\) и \(x=7\) выколотые, а в ответе они будут в круглых скобках:
Ответ: \(x \in (-1;7).\)

Кто забыл, как правильно расставлять точки и скобки в неравенствах, рекомендую почитать про виды числовых промежутков в числовых неравенствах.

Пример 2 $$ \begin 2x-1 \ge 3, \\ 3x-1 \lt 11. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x-1 \ge 3;$$ $$2x \ge 3+1;$$ $$2x \ge 4;$$ $$x \ge 2;$$ Решаем второе неравенство: $$3x-1 \lt 11;$$ $$3x \lt 12;$$ $$x \lt 4;$$ Ищем пересечение решений на числовой прямой. Решение первого неравенства отмечаем сверху, а решение второго — снизу. Их пересечение обозначим штриховкой:

Обратите внимание на точки. Точка \(x=2\) закрашенная, так как первое неравенство нестрогое, а точка \(x=4\) выколотая, так как второе неравенство строгое.
Ответ: \(x \in [2;4).\)

Разберем теперь систему, где присутствуют не только линейные неравенства. Несмотря на то, что тип неравенств меняется, алгоритм решений будут аналогичен предыдущим примерам:

Пример 3 $$ \begin 4x^2+9x-9 \le 0, \\ \frac <2>\lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$4x^2+9x-9 \le 0;$$ Это квадратное неравенство, его можно решить при помощи параболы или методом интервалов. Мы решим методом интервалов. Находим корни через дискриминант, раскладываем квадратный многочлен на множители и решаем получившееся неравенство методом интервалов:
Итак, выпишем коэффициенты и находим корни через дискриминант: $$a=4; \; b=9; \; c=-9;$$ $$D=b^2-4ac=9^2-4*4*(-9)=81+144=225;$$ $$x_1=\frac<-b+\sqrt><2a>=\frac<-9+\sqrt<225>><2*4>=\frac<-9+15><8>=\frac<3><4>;$$ $$x_2=\frac<-b-\sqrt><2a>=\frac<-9-\sqrt<225>><2*4>=\frac<-9-15><8>=-3;$$ Раскладываем квадратный многочлен на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) — это корни квадратного многочлена; $$4(x-\frac<3><4>)(x+3) \le 0;$$ На числовой прямой отмечаем корни и расставляем знаки:

Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Решением этого неравенства будет интервал с минусом: $$x \in [-3;\frac<3><4>].$$ Теперь решим второе неравенство в системе: $$\frac <2>\lt 0;$$ Дробь будет меньше нуля только в том случае, когда и числитель, и знаменатель разных знаков. В знаменателе положительная двойка, значит числитель должен быть отрицательным: $$x+1 \lt 0;$$ $$x \lt -1;$$ Рисуем числовую ось, на ней отмечаем решение обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства отмечаем сверху, второго — снизу:

Заштрихуем область, на которой оба решения пересекаются, и выписываем ответ:
Ответ: \(x \in [-3;-1).\)

Пример 4 $$ \begin x^2-4x+3 \ge 0, \\ x^2—x-6 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+3 \ge 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_1=\frac<-(-4)+\sqrt<4>><2*1>=\frac<4+2><2>=3;$$ $$x_1=\frac<-(-4)-\sqrt<4>><2*1>=\frac<4-2><2>=1;$$ Раскладываем левую часть неравенства на множители: $$(x-3)(x-1) \ge 0;$$ Решаем методом интервалов:

$$x \in (-2;3);$$ Отдельно решили каждое неравенство в системе, теперь найдем пересечение их решений:

$$x \in (-2;1];$$ Внимательно следите за выколотыми и закрашенными точками. Например, точка \(x=3\) есть и в решении первого неравенства, и в решении второго, но так как в одном из решений она выколотая (в круглой скобке), значит ее не должно быть в ответе системы.
Ответ: \(x \in (-2;1].\)

Пример 5 $$ \begin x^2-4x+4 \le 0, \\ x^2—4x-5 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+4 \le 0;$$ $$D=(-4)^2-4*4=16-16=0;$$ Если дискриминант получается равен нулю, это означает, что перед вами формула полного квадрата: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\) Внимательный читатель мог ее заметить сразу, без нахождения дискриминанта.
Воспользуемся формулой: $$(x-2)^2 \le 0;$$ Квадрат всегда больше или равен нуля. Какое бы значение \(x\) мы не подставили, при возведении в квадрат всегда будет получаться неотрицательное число. Значит это неравенство не имеет решений? Обратите внимание, что неравенство нестрогое: да, левая часть не может быть меньше нуля из-за квадрата, но равняться нулю она может. Значит решением этого неравенства будет единственная точка: $$x=2;$$ при которой левая часть обращается в нуль. При всех остальных значениях \(x\) левая часть неравенства будет положительной, что не подходит.

Решаем второе неравенство: $$x^2—4x-5 \lt 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36;$$ $$x_1=\frac<-(-4)+\sqrt<36>><2*1>=\frac<4+6><2>=5;$$ $$x_2=\frac<-(-4)-\sqrt<36>><2*1>=\frac<4-6><2>=-1;$$ Раскладываем квадратный многочлен множители: $$(x-5)(x+1) \lt 0;$$

$$x\in (-1;5);$$ Оба неравенства из системы решены. Отмечаем их решения на одной числовой прямой:

Так как решение первого неравенства всего лишь одна точка и она лежит внутри решения второго неравенства, то решением всей системы будет только эта одна точка:
Ответ: \(x=2.\)

Часто при нахождении ОДЗ приходится сталкиваться с системами, в которых одно из неравенств либо не имеет решений, либо, наоборот, справедливо при любых \(x.\) Разберем сейчас, как сказываются такие неравенства на корнях всей системы:

Пример 6 $$ \begin 2x^2+3x+9 \ge 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x^2+3x+9 \le 0$$ $$a=2; \; b=3; \; c=9; $$ $$D=3^2-4*2*9=9-72=-63 \lt 0;$$ Итак, мы получили отрицательный дискриминант, это значит, что левая часть неравенства либо всегда положительна при любых \(x\), либо всегда отрицательна. Определить это можно по коэффициенту \(a\) перед \(x^2.\) Если \(a \gt 0,\) левая часть неравенства всегда положительна, если \(a \lt 0,\) то левая часть всегда отрицательна. Подробно про это можно почитать в статье про решение квадратных неравенств: $$a=2 \gt 0;$$ В нашем случае левая часть неравенства будет положительна при любых значениях \(x.\) А значит решением первого неравенства будут любые \(x.\)

Решаем второе неравенство: $$6x^2+2x-8 \lt 0$$ $$a=6; \; b=2; \; c=-8; $$ $$D=2^2-4*6*(-8)=4+192=196;$$ $$x_1=\frac<-2+\sqrt<196>><2*6>=\frac<-2+14><12>=1;$$ $$x_2=\frac<-2-\sqrt<196>><2*6>=\frac<-2-14><12>=-\frac<4><3>;$$ Раскладываем на множители: $$6(x-1)(x+\frac<4><3>) \lt 0;$$ И решаем методом интервалов:

$$x \in (-\frac<4><3>;1);$$ Так как решением первого неравенства в системе были любые \(x,\) то они никак не влияют на решение всей системы. Другими словами, пересечением решений обоих неравенств в системе будет просто решение второго неравенства:
Ответ: \(x \in (-\frac<4><3>;1) .\)

Пример 7 $$ \begin 2x^2+3x+9 \le 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решим аналогичную примеру №6 систему неравенств, только изменим знак первого неравенства с больше или равно на меньше или равно.

В таком случае решение первого неравенства кардинально меняется. Как мы только что выяснили в примере №6, левая часть первого неравенства всегда положительна, она не может быть меньше нуля ни при каких \(x.\)

Таким образом, первое неравенство не имеет корней. А если хотя бы одно неравенство в системе не имеет корней, то и вся система не будет иметь решений, ведь невозможно найти такие значения \(x,\) при которых будут верны все неравенства в системе.
Ответ: Нет корней.

Системы иррациональных неравенств

Рассмотрим непростой пример системы иррациональных неравенств:
Пример 8 $$ \begin x+\sqrt <7>\lt \sqrt<3>, \\ x+\sqrt <6>\lt \sqrt<2>. \end $$ Из первого неравенства получаем: $$x \lt \sqrt<3>-\sqrt<7>;$$ Из второго: $$x \lt \sqrt<2>-\sqrt<6>$$ Правые части обоих неравенств мы посчитать не можем, так как они иррациональные.
Разве что с помощью калькулятора, но пользоваться на математике им нельзя. Поэтому оставляем как есть.

Отметим теперь оба решения на числовой прямой. Но тут мы сталкиваемся с проблемой: какое значение больше — \((\sqrt<3>-\sqrt<7>)\) или \((\sqrt<2>-\sqrt<6>)?\) От этого зависит, какая точка будет правее на числовой прямой.

Обращаем внимание, что оба этих выражения отрицательны, так как: $$\sqrt <7>\gt \sqrt <3>\quad и \quad \sqrt <6>\gt \sqrt<2>;$$ Удобнее работать с положительными числами, поэтому умножим их оба на \((-1):\) $$\sqrt<7>-\sqrt <3>\; ?? \;\sqrt<6>-\sqrt<2>;$$ Не забываем, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства меняется на противоположный. Учтем этот факт в конце. Чтобы сравнить два иррациональных выражения, возведем их оба в квадрат: $$(\sqrt<7>-\sqrt<3>)^2 \; ?? \; (\sqrt<6>-\sqrt<2>)^2;$$ $$7-2\sqrt<3>*\sqrt <7>+3 \; ?? \; 6-2\sqrt<2>*\sqrt<6>+2;$$ $$10-2\sqrt<3>*\sqrt <7>\; ?? \; 8-2\sqrt<2>*\sqrt<6>;$$ Разделим левую и правую часть на \(2\) и перемножим квадратные корни: $$5-\sqrt <21>\; ?? \; 4-\sqrt<12>;$$ Вычтем из обеих частей \(4:\) $$1-\sqrt <21>\; ?? \; -\sqrt<12>;$$ Опять левая и правая части отрицательны — домножаем на \((-1):\) $$-1+\sqrt <21>\; ?? \; \sqrt<12>;$$ Еще раз возводим в квадрат: $$(-1+\sqrt<21>)^2 \; ?? \; (\sqrt<12>)^2;$$ $$1-2\sqrt<21>+21 \; ?? \; 12;$$ $$22-2\sqrt <21>\; ?? \; 12;$$ Вычитаем из обеих частей \(12\) и прибавляем \(2\sqrt<21>:\) $$10\; ?? \; 2\sqrt<21>;$$ И последний раз возводим в квадрат: $$100\; ?? \; 4*21;$$ $$100 \; > \; 84;$$ Получили, что левая часть больше, чем правая. Я писал до этого, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства должен меняться на противоположный, но так как мы умножали по ходу решения целых 2 раза, то знак неравенства остается прежним: $$\sqrt<3>-\sqrt <7>> \sqrt<2>-\sqrt<6>;$$ Возвращаемся к решению системы. Отмечаем на числовой прямой иррациональные выражения. Знаки неравенства строгие, поэтому все точки будут выколотые:

Различие между совокупностью и системой в неравенствах: анализ от квадратных до модулей и иррациональных

В математике, неравенства — это выражения, в которых два выражения связаны символом неравенства, указывающим, что одно выражение больше или меньше другого. Неравенства используются для сравнения относительных значений двух выражений.

Совокупность в неравенствах

Совокупность в неравенствах означает, что выражение состоит из нескольких отдельных неравенств, упорядоченных в определенную последовательность. В совокупности каждое неравенство рассматривается независимо от других, и результат неравенства применяется только к данному конкретному неравенству.

Например, совокупность неравенств может выглядеть следующим образом:

• x > 2
• x < 5
• x ≠ 3

В этом примере совокупность состоит из трех независимых неравенств, где x должно быть больше 2, меньше 5 и не равно 3 одновременно.

Система в неравенствах

Система в неравенствах означает, что выражение состоит из нескольких зависимых неравенств, которые должны выполняться одновременно для всех переменных, входящих в систему. Результатом системы неравенств является область значений, в которой выполняются все указанные неравенства.

Например, система неравенств может быть представлена следующим образом:

• x > 1
• y < 2x
• x + y < 5

В этом примере система состоит из трех зависимых неравенств, где x должно быть больше 1, y должно быть меньше, чем 2x, и сумма x и y должна быть меньше 5.

Различие между совокупностью и системой в неравенствах

Основное различие между совокупностью и системой в неравенствах заключается в степени зависимости между неравенствами и их переменными. В совокупности каждое неравенство рассматривается независимо и имеет свой собственный результат, в то время как в системе неравенств каждое неравенство зависит от других, и решение системы требует выполнения всех указанных неравенств.

Кроме того, при работе с различными типами неравенств, такими как квадратные, модульные или иррациональные, как в данной статье, совокупность и система неравенств могут быть применены по-разному. В случае совокупности каждое неравенство может быть анализировано и решено независимо от других, что облегчает процесс решения. В случае системы неравенств требуется учет взаимосвязи между неравенствами и более сложный анализ общего результата.

В заключение, понимание различий между совокупностью и системой в неравенствах, а также их применение в анализе различных типов неравенств, помогает математикам и исследователям эффективно работать с неравенствами и находить их решения в разнообразных ситуациях.

Совокупность уравнений и неравенств

Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).

Давайте сравним решение системы и совокупности:

\(\begin2x-8>0\\\frac<1><2>x≤3,5\end\)

\( \left[ \begin2x-8>0\\ \frac<1><2>x≤3,5\end\right.\)

Сначала в обоих случаях нужно решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.

\(\begin2x>8 \; |:4\\\frac<1><2>x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2 \end\)	\( \left[ \begin2x>8 \; \;|:4\\ \frac<1><2>x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2\end\right.\)
\(\beginx>4\\x≤7 \end\)	\( \left[ \beginx>4\\ x≤7 \end\right.\)
alt=»решение совокупности» width=»307″ height=»71″ />	alt=»решение совокупности» width=»307″ height=»71″ />
Ответ: \((4;7]\)	Ответ: \((-∞;+∞)\)

То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).

Наглядно эту идею можно представить так:

решение системы решение совокупности

Пример. Решить совокупность: \( \left[ \begin\frac<3>-5>1\\ x^2-7x<0 \end\right.\)

В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а во втором – вынесем за скобку икс.

Теперь в первом умножим обе части на \(3\).

Отметим решения на числовых осях.

«Соединим» решения первого и второго неравенства.

Пример. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin x^2+2x-3=0\\ x^2-4x-21=0 \end\right.\)

Оба уравнения – обычные квадратные с одной переменной. Решая их по отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – неважно), находим корни:
— у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\);
— у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\).
А окончательным ответом будут они все, то есть:

Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы только одно значение: \(-3\) (потому что только оно подходит обоим уравнениям сразу).

Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить

Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности — прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры — система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

1. Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.

Вот примеры совокупности уравнений:

x + 1 = 0 , x 2 — 1 = — 8 x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5

Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5 .

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Приведем пример такой записи:

x + 3 > 0 , 2 · x + 3 ≤ 0 , 5

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части — это целые рациональные первой степени.

Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача — сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

x > 3 x < 8 x < — 5 x ≤ — 2 x 2 = 9 x 2 > 5 ( x — 6 ) · ( x — 8 ) = 0 x ≤ 3 x 2 + 2 · x — 8 > 0

Что такое решение совокупности

Решение — главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение — это значение x , при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

Возьмем неравенство x > 1 , x 2 ≥ 4 · x + 2 . Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она — верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0 > 1 и x 2 ≥ 4 · x + 2 неверна.

Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, — это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

x 2 + y 2 = 4 , x + y > 0 , x ≥ 3

Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3 ( 3 + 0 > 0 и 3 ≥ 3 — верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1 , ни ко 2 , ни к 3 они не подойдут.

В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим — их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.