№707 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Как найти диаметр описанной окружности в равнобедренном треугольнике
Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c
Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и боковая сторона b=c. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника онлайн была выведена формула вычисления радиуса R описанной около любого треугольника окружности:
| \( \small R=\frac . \) | (1) |
где p вычисляется из формулы:
| \( \small p= \frac . \) | (2) |
Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:
| \( \small p= \frac =b+ \frac , \) | (3) |
| \( \small p-a= b- \frac , \) | (4) |
| \( \small p-b= \frac , \) | (5) |
Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:
| \( \small R=\frac \cdot \sqrt \right)\left ( b-\frac \right)>> \) \( \small =\frac >> \) \( \small =\frac > ,\) |
| \( \small R=\frac >. \) | (6) |
Пример 1. Известны основание \( \small a=7 \) и боковая сторона \( \small b=\frac \) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).
Подставим значения \( \small a=7 \) и \( \small b=\frac \) в (6):
 |
Ответ: 
2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A
Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Формула для нахождения радиуса окружности описанной около равнобедренного треугольника по основанию и противолежащему углу аналогична формуле для нахождения радиуса окружности описанной около произвольного треугольника:
 . |
(7) |
Пример 2. Сторона основание равнобедренного треугольника равна:\( \small a=21 \) а противолежащий угол \( \small \angle A=60°.\) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения \( \small a=21 \) и \( \small \angle A=60° \) в (7):
 . |
Ответ: 
3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A
Пусть известны боковая сторона b=c равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами A. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника.
На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известных сторонах и углу между ними:
 . |
(8) |
Подставляя в (8) c=b, получим:
  |
 . |
(9) |
Пример 3. Известны основание \( \small a=21 \) равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами: \( \small \angle A=70°. \) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (9). Подставим значения \( \small a=21; \) и \( \small \angle A=70° \) в (9):
 |
Ответ: 
4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C
Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и прилежащие к ней угол B=C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известной стороне и прилежащим двум углам:
 . |
(10) |
Подставляя \( \small C=B \) в (10), получим требуемую формулу:
 . |
(11) |
Пример 4. Известны основание равнобедренного треугольника \( \small a=14 \) и прилежащий к ней угол: \( \small \angle B=25°. \) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (11). Подставим значения \( \small a=14 \) и \( \small \angle B=25° \) в (11):
 |
Ответ: 
Как найти диаметр описанной окружности в равнобедренном треугольнике
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 22, угол при вершине, противолежащей основанию, равен Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.
Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.
I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле
Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле
соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:
верна и для равнобедренного треугольника.
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:
где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.
III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.
Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда
IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.
Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.
V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.
Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.
I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле
![\[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-158e64eba5db2f64bcca7f90280e8287_l3.png)
Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле
![\[S = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} ,\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-025c05badb55dbbd60de8f0df5dc8b66_l3.png)
соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:
![\[R = \frac{{a{b^2}}}{{4 \cdot \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31b1a3a1a9a14d5b8be281023326a8df_l3.png)
![\[R = \frac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a63fdee7dc60206d5491bcf8b2758a4_l3.png)
![\[R = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a71c5261ea1a84f48374b19dbe0448dd_l3.png)
![\[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }} = \frac{c}{{2\sin \gamma }}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0632e25c07afc22d45825db1c216d5ab_l3.png)
верна и для равнобедренного треугольника.
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:
![\[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }} = \frac{b}{{2\sin \beta }},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f960d59e4a9c8dbe513392d5c5dc3bc7_l3.png)
где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.
III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.
Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда
![\[\cos \angle FAO = \frac{{AF}}{{AO}},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2473907bd6f4395c349e0a17ffa4f34a_l3.png)
![\[ \Rightarrow R = \frac{b}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c0e8f1203331cf0e78757a9e5638acf_l3.png)
IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.
Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.
V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).
Как найти диаметр окружности равнобедренного треугольника(см)?
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Решить задание можно несколькими способами. Можно исходить из теоремы косинусов,
Далее по теореме синусов считаем диаметр.
Можно считать и по другой схеме. Не через вычисление основания — с, а через угол при основании.
Есть и еще один вариант решения задачи.
Диаметр окружности описанной около равнобедренного треугольника находится по формуле: сторона делённая на синус угла противолежащего этой стороне.
Берём угол 120 градусов, синус 120 градусов равен синус 60 градусов, и равен корень из 3 делить на 2. По теореме косинусов можем найти противолежащую сторону. Получили что сторона равна корень из 48. Тогда делим корень из 48 на синус угла 120 градусов и получаем 8 см.