Какая формула площади треугольника называется формулой герона

Площадь треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника , удобно представить в виде следующей таблицы.

Формула для площади треугольника через сторону и опущенную на нее высоту

a – любая сторона треугольника, h_a – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади треугольника через две стороны и угол между ними

a и b – две любые стороны треугольника, С – угол между ними

a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр

Формула для площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла

a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы

Формула для площади треугольника через стороны треугольника и радиус вписанной окружности

a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр

Формула для площади треугольника через стороны треугольника и радиус описанной окружности

a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности

Формула для площади треугольника через углы треугольника и радиус описанной окружности

S = 2R 2 sin A sin B sin C

A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через его сторону

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через его высоту

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через радиус вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через радиус описанной окружности

R – радиус описанной окружности

Формула для площади прямоугольного треугольника через катеты

Формула для площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий острый угол

a – катет, φ – прилежащий острый угол

Формула для площади прямоугольного треугольника через катет и противолежащий острый угол

a – катет, φ – противолежащий острый угол

Формула для площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

Достроив треугольник ABC до параллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

ЗАМЕЧАНИЕ . Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

В силу теоремы синусов справедливо равенство

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6 . Площадь треугольника можно найти по формуле:

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

В силу теоремы синусов справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

Рассмотрим рисунок 8.

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство

Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

Площадь треугольника по 3 сторонам формула и калькулятор

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки называют вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

На рисунке мы видим три вершины, которые обозначены буквами A, B и C.

Также на рисунке изображены 3 стороны треугольника. Их можно обозначать по вершинам, которые их ограничивают. Например, сторона AB, сторона BC и сторона AC. Но для удобства вершины можно обозначать короче. В примере на рисунке сторону AB можно обозначить как b, BC как c, а AC как a.

Формула для вычисления площади треугольника по 3 сторонам

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона.

a, b, c — длины сторон треугольника,

p — полупериметр треугольника.

Примеры решения задач по нахождению площади треугольника

Перед тем, как искать площадь треугольника по трем сторонам, необходимо найти его полупериметр. Для этого сложим длины его сторон и разделим сумму на 2:

Теперь, зная полупериметр, можем воспользоваться формулой Герона и найти площадь треугольника:

Ответ: \sqrt <320>\approx 17.88854

Осталось проверить ответ с помощью калькулятора .

Как и в задаче выше начнем решение с нахождения полупериметра треугольника:

Далее подставим значения в формулой площади треугольника и найти ее:

Ответ: \sqrt <216>\approx 14.69694

Осталось проверить ответ с помощью калькулятора .

Формула Герона применяется в различных областях, где необходимо находить площадь треугольника, в том числе:

• В геометрии для вычисления площади треугольников, например, при решении задач на нахождение площади или при вычислении высоты треугольника.
• В архитектуре и строительстве для расчета площади треугольных конструкций, например, крыш, заборов, деревянных конструкций и т.д.
• В физике для определения площади поверхности треугольных объектов, например, площади основания при вычислении объема пирамиды.
• В тригонометрии для решения задач, связанных с треугольниками.
• В механике для вычисления площади треугольной области, ограниченной маятником при расчете периода колебаний.

В целом, формула Герона широко используется в различных областях, где требуется находить площадь треугольника через три стороны, и является одной из наиболее распространенных формул геометрии.

Что можно вычислить по формуле Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Учёный интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

CH – высота треугольника.

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

Если сложить последнее равенство с \(y+x=c\) , то получается

Найдем высоту треугольника.

Так как \(p=\frac12\left(a+b+c\right)\) , то \( b+c=2p-a\) , \( a+b=2p-c\) , \(a+c=2p-b\) , \(a+b+c=2p\) .

С помощью этих равенств найдем высоту.

А так как \(S=\frac12ch\) , то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Примеры решения задач

Задача 1

Рассчитать площадь треугольника, если a=6, b=8, c=6.

Решение

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 2

Вычислить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Решение

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Если AD = 51, AC = 40 и BD = 74, то AO = 20, OD = 37.

По формуле Герона:

Ответ: 1224 см 2 .

Задача 3

В треугольнике ABC три стороны: AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Найти часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

Формула Герона

Дано: АВС, АВ = , ВС = , АС = , — площадь АВС.

Доказать: , где .

Доказательство:

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые (свойство треугольника). Пусть в АВС углы А и В — острые. Тогда основание Н высоты СН лежит на стороне АВ. Пусть СН =, АН =, НВ =.

СНВ и СНА— прямоугольные (т.к. СН — высота), тогда по теореме Пифагора и , откуда , следовательно, , или , при этом (1), тогда , откуда

. (2)

Сложим равенства (1) и (2), получим:

.

При этом , тогда:

Подставляя выражения (4), (5), (6) и (7) в выражение (3), получим:

Следовательно, .

По формуле площади треугольника: , значит,

.

Полученная формула называется формулой Герона.