Как число представить в виде дроби и наоборот?
Представить число в виде дроби не сложно и такая задача часто встает при переводе смешанных дробей в обыкновенные или при операциях между целыми числами и дробями. Для этого мы просто делим исходное число на 1 и при необходимости домножаем числитель и знаменатель полученной дроби на одно и то же число, как правило то, которое стоит в знаменателе дроби с которой это целое число складываем. Например надо сложить 5 и 7/8. Число 5*8 и делим на 8 получив дробь 40/8, которую легко сложить с дробью 7/8.
Получить из дроби число можно только в том случае, если эта дробь неправильная, то есть выделить из нее целую часть. В том же примере дробь 47/8 можно представить как сумму двух дробей 40/8+7/8 и первую дробь обратно превратить в число 5.
Деление и дроби. Запись числа в виде дроби
На этом уроке поговорим о том, как любое натуральное число можно представить в виде дроби и как при делении получаются дробные числа.
Как поделить то, что не делится?
Марина, Лена и Соня собрались пить чай с пирожными, но пирожных было только два, поэтому каждое пирожное разрезали на три части, а потом каждая девочка взяла себе по одной части от каждого пирожного. У всех получилось поровну.
А еще у нас получилась дробь. У каждой девочки будет по $\frac<2><3>$ пирожного.
С помощью дробей можно разделить на равные части любое натуральное число.
Нам нужно поделить $3$ яблока на четверых. Как это сделать? Разрезать каждое яблоко на $4$ части, а потом дать каждому одинаковое количество кусочков. Сколько кусочков будет у каждого?
Как целое число представить в виде дроби?
Неправильную дробь, у которой над и под дробной чертой одинаковые числа: 2/2, 11/11, 8/8 и другие, можно превратить в 1, потому что дробь — это частное, которое получается при делении числителя на знаменатель. Значит это и есть целое.
В математике целое принято принимать за единицу: отрезок, круг, яблоко, дом и т.д.
Рассмотрим несколько упражнений.
1. Назовите и запишите, какая часть круга закрашена?
Сколько всего пятых долей в целом круге?
2. На сколько частей разделили отрезок?
Сколько третьих долей во всем отрезке?
3. Строительные трубочки разделили на части.
Сколько частей в каждой трубочке? Сколько всего вторых долей в желтой трубочке? Сколько всего четвертых долей в красной трубочке? Сколько всего шестых долей в зеленой трубочке? Сколько всего восьмых долей в желтой трубочке? Сколько всего двенадцатых долей в последней красной трубочке?
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.
Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:
Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?
Основной алгоритм
На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:
-
Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например:
Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:
Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной
Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?
Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.
Более быстрый способ
В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
- Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
- Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac<<<10>^
>>$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями. - По возможности сократить полученную дробь.
Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: $<<10>^
Ещё один пример:
Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на $<<10>^
Наконец, последний пример:
Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\[\begin
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».