Как найти точку касания касательной и окружности в геометрии
Когда окружность и прямая пересекаются в единственной точке, то прямая называется касательной к окружности в этой точке. Точка пересечения прямой и окружности в этом случае называется точкой касания. Как же найти эту точку?
Шаги поиска точки касания
- Найти центр окружности — это будет точка, откуда отсчитываются все радиусы.
- Найти уравнение прямой, которая проходит через точку, где должна находиться точка касания и центр окружности. Для этого можно воспользоваться формулой: y — y0 = k(x — x0), где k — коэффициент наклона прямой, x0 и y0 — координаты центра окружности.
- Решить систему уравнений прямой и окружности. Для этого подставить уравнение прямой из пункта 2 в уравнение окружности: (x — x0)^2 + (y — y0)^2 = r^2. Решить получившееся уравнение относительно x, т.е. найти его корни.
- Подставить найденные значения x в уравнение прямой из пункта 2, чтобы найти соответствующие значения y координат точки касания.
Пример
Пусть дана окружность с центром в точке (3,4) и радиусом 5, а также прямая y = x — 2. Найти точку касания прямой и окружности.
- Центр окружности: x0 = 3, y0 = 4.
- Уравнение прямой: y — 4 = 1*(x — 3).
- Подставляем уравнение прямой в уравнение окружности: (x — 3)^2 + (x — 3 — 2)^2 = 25.
- Решаем уравнение: (x — 3)^2 + (x — 5)^2 = 25. Находим корни x: x1 = 3, x2 = 7.
- Подставляем найденные значения x в уравнение прямой: для x1, y1 = 1, для x2, y2 = 5.
- Получаем две точки касания: (3,1) и (7,5).
Теперь, зная координаты точки касания, можно решить различные задачи в геометрии, например, найти угол между касательной и радиусом в точке касания или длину линии, которую проходит касательная до окружности.
Касательные к окружности
В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».
И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.
В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».
Касательные к окружности. Коротко о главном
Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.
Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:
Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:
Внешнее касание
Внутреннее касание
Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <
Касательные к окружности. Определения и основная теорема
Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.
Такая прямая называется касательной к данной окружности.
Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.
Ну вот, и точно так же:
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.
Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?
Самая важная теорема гласит, что:
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.
Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.
Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
Поэтому:\( \displaystyle \angle 1=90<>^\circ -\angle 4\).
Но \( \displaystyle \angle 2=\angle 1\) (\( \displaystyle OA\) и \( \displaystyle OB\) – радиусы)\( \displaystyle \angle 2=90<>^\circ -\angle 4\).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).
\( \displaystyle OB\) – радиус.
\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).
Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Касательная к окружности
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Касательная к окружности»
Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.
Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Сегодня мы особо рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.
Давайте, на рисунке укажем касательные к окружности и назовем точки касания.
Здесь касательными к окружности будут прямые b и d, точками касания будут точки C и F.
Теперь давайте из центра окружности проведем радиусы к точкам касания. По рисунку можно предположить, что радиусы, проведенные к точке касания будут перпендикулярны касательной.
Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.
Пусть прямая p – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.
Предположим, что касательная p не перпендикулярна радиусу ОА. Тогда радиус ОА – наклонная к прямой p. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую p. Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой p меньше радиуса, то есть прямая и окружность пересекаются в двух точках. Но тогда прямая p – секущая, а по условию, она – касательная.
Таким образом, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, не подтвердилось.
То есть мы доказали свойство касательной к окружности. Сформулируем ее:
Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Задача. Радиус 
окружности с центром 
делит хорду 
пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку 
, параллельна хорде .
Доказательство.
равнобедренный
медиана и высота
Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К.
Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК.
и 
Что и требовалось доказать.
Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством:
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Доказательство.
и 
, 
– общая, 
– как радиусы 
Следовательно, 
, 
Что и требовалось доказать.
Это свойство запомнить не сложно, достаточно вспомнить героя сказок – Буратино. Его круглое личико мы примем за окружность. А стороны его колпачка – за касательные, проведенные из одной точки. Очевидно, что стороны колпачка равны, и если мы проведем линию из центра колпачка вертикально вниз, то углы тоже будут равны.
Задача. Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке 
. Найдите 
.
Решение. Выполним чертеж.
− равносторонний
(по свойству отрезков касательной)
(по свойству касательной)
(по свойству углов равнобедренного треугольника)
Ответ: 
Теперь, давайте попробуем сформулировать и доказать признак касательной.
Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство.
По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности, что и требовалось доказать.
Задача. Через данную точку 
окружности с центром провести касательную к этой окружности.
Построим прямую ОА. Через точку А проведем прямую p перпендикулярно прямой ОА. По признаку касательной, эта прямая будет касательной к окружности в точке А.
Задача. К окружности с радиусом 
проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное 
. Найти длину отрезка касательной от точки до точки касания.
Решение. Сделаем чертеж.
Рассмотрим треугольник АОB. 
(по свойству касательной) 
(по теореме Пифагора)
; 
Ответ: 
Задача. Доказать, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.
Решение. Выполним чертеж.
По свойству касательных, углы между диаметром и касательными равны 
.
Значит, по признаку параллельности прямых, получаем, что касательные параллельны.
Задача. Отрезки 
и 
являются отрезками касательных к окружности с центром , проведенными из точки . Найти 
, если середина отрезка 
лежит на окружности.
Решение. Выполним чертеж.
, 
(по свойству касательных)
Рассмотрим треугольник ОАМ. По свойству касательной – это прямоугольный треугольник с катетом равным радиусу и гипотенузой, равной двум радиусам.
и 
(по свойству отрезков касательных) 
Ответ:
Давайте повторим главное:
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойство касательной к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Еще раз сформулируем свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Сформулируем признак касательной.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Касательная к окружности
Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.
 |
Свойство касательной
Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.
Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что \( \small l ⊥ OM .\)
Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.
 |
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и \( \small \angle 1=\angle 2 .\) Что и требовалось доказать.
Теорема, обратная теореме о свойстве касательной
Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.
Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).
Построение касательной к окружности
Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).
  |
Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.
Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).
  |
Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.