Функции у которых нет предела

Предел последовательности и предел функции по Коши

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется 😉 Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся:

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:

– квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;

– квантор существования, – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

– знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

А теперь попытайтесь прочитать строку целиком.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

Определение предела последовательности

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.

Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .

Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Из чего следует, что какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Начинающим рекомендую 2-3 раза перечитать вышесказанное + параграф понятие предела последовательности предыдущего урока, где я объяснил то же самое, но без математических значков.

Закрепим материал практикой:

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой -окрестности точки .

Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т. е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Если выбранная окрестность достаточно великА, то в правой части неравенства мы получим ноль или даже отрицательное значение, в этом случае все члены последовательности войдут в -окрестность с первого же номера.

Если же «эпсилон» достаточно малО, то для любой сколь угодно малой -окрестности точки найдётся натуральное значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство .

Вывод: число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Используя определение последовательности, доказать, что

Решение: по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух. ).

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при достаточно больших «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части неравенства в бОльшую сторону (а в предыдущем примере мы, к слову, могли заключить правую часть ещё и в модуль).

И округляем результат:

Вывод: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять, вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»:

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно). Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции: «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют), принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне: число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки ». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »:

Используя определение предела, доказать, что

Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен)

После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли -окрестность, ТАКАЯ что из неравенства следует неравенство ?»

Конечно, существует, например, . В этом случае из неравенства следует (формально оно же само). Следует отметить, что в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства тем более следует, что (из того, что «в кармане меньше 50 рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное» значение, в данном примере .

Вывод: для любой, сколько угодно малой -окрестности точки нашлась окрестность точки , такая, что из неравенства следует неравенство . Таким образом, по определению предела функции. Ч.т.д.

Небольшое задание для самостоятельного решения.

Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения 😉

Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них.

Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется двумя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции равен «плюс бесконечности» при , если для любого сколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность: (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность: (синяя стрелка):

Сокращённая запись: , если

Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно:

Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы , для открытых к бесконечности – буквы . Ответы в конце урока.

Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе.

Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучению непрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначала учимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т.д.

Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё.

Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю!

Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено:

Преобразуем неравенство:

(подумайте, почему)
Для всех «эн»: , поэтому:

Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что выполнено . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.

Формулировка предела:
, если

Пример 5: Решение: функция определена на всей числовой прямой. Используя определение , докажем существование предела в точке .
Рассмотрим произвольную -окрестность и проверим, найдётся ли -окрестность, такая что из неравенства следует .
Преобразуем неравенство с «эпсилон»:

В качестве искомой окрестности выбираем .
Вывод: для любой, сколь угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что , следовательно, по определению. Ч.т.д.

Примеры функций, не имеющих предела

Приведите примеры функций, имеющих строго определенное и варьируемое количество аргументов?
Приведите примеры функций, имеющих строго определенное и варьируемое количество аргументов?

Вычисление предела методом эквивалентных функций
Есть предел \lim_ \frac<\sin(3 + x) - \sin(3 - x) > <\ln (1 - x^<2>— x)> Требуется его.

Нахождения предела произведения двух функций в точке a
Как в Maple найти предел произведения двух функций в точке a

С++ примеры функций , похожи C#
С++ примеры функций , похожи C# короче более детально что хочу узнать ))) это функции С++ что.

Сообщение от Fedorys

Добавлено через 1 минуту
Но это не будет

Примеры использования функций
Доброго времени суток! Асы программирования, подскажите пожалуйста, где можно найти рабочие.

Примеры на ограниченность функций
Не могли бы помочь, пожалуйста, с примерами. 1) Если последовательность ограничена, то она.

Примеры хэш-функций
Народ, подскажите пожалуйста примеры простейших хэш-функций, очень простых! Думаю несложный.

Примеры API функций на VBA
Уважаемые форумчане здравствуйте! Большая просьба прислать ссылки на разные примеры связанные с.

Примеры на непрерывность суммы функций
Не могу подрбрать примеры, помогите, пожалуйста. 1) Если сумма двух функций непрерывна в.

Примеры функций высших порядков
Приведите, пожалуйста, примеры функций высших порядков (фильтрация, свертка, отображение):)

II Частные случаи. Важные понятия

А) Предел на бесконечности ().

Определение 2.

.

Аналогичное определение и для .

Пример 3.,. Рассмотрим. Тогда для последовательности значений функциибудем иметь:, т.к.б.б., аограничена, значит, т.е.. Это означает, что.

Нетрудно убедиться, что и . Для тех функций, для которых, можно писать. Напротив, писатьнельзя, ибо, а.

Геометрическая иллюстрация: конечный предел функции на означает наличие у графика функции горизонтальной асимптоты на(на).

В) Бесконечно малые функции ().

Определение 3.Функциюназывают бесконечно малой (б.м.) в точке(или: при) и пишут «при», если, т .е.

.

Например, в предыдущем пункте мы показали, что при.

Основной результат дает следующая теорема.

Теорема 1.Функцияимеет в точкепределтогда и только тогда, когда разностьесть б.м. при:

при.

С) Бесконечно большие функции ().

Определение 4.Функциюназывают бесконечно большой (б.б.) в точке(при), еслиили, т.е.

 б.б. последовательность опреде-ленного знака.

Все свойства б.м. и б.б. последовательностей остаются справедливыми и для б.м. и б.б. функций. Приведем лишь некоторые из них.

Теорема 2.Для того, чтобы функциябыла бесконечно большой в точкенеобходимо и достаточно, чтобы функциябыла бесконечно малой в этой же точке.

1) Если при, аограничена в некоторой окрестности точки, то произведениепри.

2) Если б.б. в точке, атакова, что, то произведениеесть б.б. функция при.

Например, в точке, а многочленесть б.б. на, ибо.

Эталонные б.б. и б.м. функции приведем в таблице.

Так же как и б.б. последовательности, б.б. функции можно упорядочить по их порядку роста: при

.

III Односторонние пределы

Рассмотрим функцию . Для произвольной б.м. последовательностиположительных чисел рассмотрим последовательность. Как произведение ограниченной на б.м., она сходится к нулю. Соответствующая последовательность значений функциине имеет предела. Это означает, чтоне существует. Однако,иимеем, а дляи  .

Такая ситуация характерна для многих функций, у которых нет предела в какой-либо точке, что и привело к появлению понятия односторонних пределов.

Определение 5.Пусть

.

Тогда число называют правым пределом (пределом справа или правосторонним пределом) функциив точкеи пишут:или.

Определение левого предела аналогично, только требование заменяют требованием. Обозначения:

или.

Если , то иногда вместопишут. Например,,.

Сформулируем теорему, на которой базируется использование односторонних пределов.

Теорема 3.Для существования пределанеобходимо и достаточно существования порознь и равенство односторонних пределов:.

IV Теоремы о пределах функций

Теорема 4.Пусть у функциисуществует. Тогда в некоторой окрестности точки(за исключением, быть может, самой точки). Более того,.

Теорема 5.Пусть у функциисуществует конечный предел при. Тогда в некоторой окрестности точкифункцияограничена.

Теорема 6. Функцияимеет предел в каждой точке числовой прямой, причем.

Теорема 7 (операции над пределами). Пусть функциииимеют в точкеконечные пределыисоответственно. Тогда в этой точке имеют конечные пределы и функции: 1); 2); 3); 4); 5)(при). При этом имеют место следующие равенства:

,

(здесьсимвол арифметической операции).

Для доказательства рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к.

В силу существования пределов функций исоответствующие последовательности значений функцийиимеют пределыи. Тогда, используя теорему 2 §7, получим, что последовательностьсходится к. Согласно определению предела функции это означает, что.

Теорема 8 (предельный переход в неравенствах).Пусть функциииимеют в точкеконечные пределы и в некоторой окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки). Тогда и. В частности, если(), то и().

Теорема 9.Еслии в некоторой окрестности точки(за исключением, быть может, самой точки), то.

Теорема 10 (о замене переменной).Пусть хотя бы одна из функцийилиявляется строго монотонной и пусть существуют пределыи. Тогда и у сложной функциисуществует предел в точке, причем

.

Теорема 11 (пределы элементарных функций).Пустьэлементарная функция и точкавместе с некоторой окрестностью. Тогда(в силу непрерывности элементарных функций).

Теорема 12.Всякая ограниченная монотонная на промежутке функция имеет в каждой точке промежутка конечные односторонние пределы.

,

.

а) ; б).

Путем деления числителя и знаменателя на самое быстрорастущее слагаемое, перейдем от б.б. функций к б.м. функциям и получим результат:

а) ;

б) .

Замечание.Кроме определения предела функции на «языке последовательностей», существует (равносильное) определение предела функции на т.н. «языке». Некоторые из теорем о пределах удобнее доказывать именно на этом языке.

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

• Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
• Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
• Курсовая работа от 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
• Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.