Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, . x_n) = X T AX.

Выражение X T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY) T = Y T ⋅ C T .

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, . λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁ = 6, λ₂ = 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁ = 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂ = 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, . x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, . x_n используется неравенство L (x₁, x₂, . x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, . x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, . x_n) < 0 называется отрицательно определенной.

Необходимые и достаточные условия положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы квадратичная форма L = X T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, . n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где — новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), — собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где — матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия — гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение — к виду или Это эллипс.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Ортогональное преобразование квадратичной формы

На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.

Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду:

, где – собственные числа матрицы (тоже действительные).

Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы :

Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.

Напоминаю распространённую матричную запись , где:
и – матрица ортогонального преобразования.

Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:

Это не опечатка – пример уже десятый!

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти матрицу соответствующего преобразования.

Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа:

Очевидно, что , таким образом:

– квадратичная форма в каноническом виде.

Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы :

1) Если , то получаем систему линейных уравнений:
, откуда следует, что .

Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):

2) Если , то имеем систему:
, из которой следует, что

Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина:

Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:

Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:

– координаты на ;
– координаты на .

Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.

Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
, ч.т.п.

Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: .

Ответ: ,

Полученный результат можно проверить:

1) непосредственной подстановкой в форму :

2) либо с помощью знакомой формулы:
– получив «каноничную» матрицу.

Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.

А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:

Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить .

Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:

С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.

Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).

Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.

В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование .

Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.

По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: .

Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон .

Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле .

Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат :

Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.

Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному 🙂

Ответ:

Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.

Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.

Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.

После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:

Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.

Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:

Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:

В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
, определяющее поворот на угол , но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).

Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам .

Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду:

Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол :

Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:

И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе :

Ответ:

Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.

Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:

– привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.

Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.

Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).

На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти соответствующее преобразование

Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель раскрою по 1-й строке:

напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:

решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:

таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:

Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
– чтобы красивее записать канонический вид:

Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:

1-2) Если , то получаем систему:
, которая фактически состоит из одного уравнения.

Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец:

Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем:
– первый вектор фундаментальной системы;
и для :
– второй вектор.

Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:

, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.

Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:

откуда выражаем и находим:

Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:

и в качестве второго:

Как на ладони видно:
– что полученные векторы действительно ортогональны

С третьим собственным вектором всё прозрачно:

3) Если , то получаем систему:
из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Пусть
Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.

И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам :

Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:

Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен:

Но подставлять всё это в что-то не хочется 🙂 Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:

Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.

И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда.

В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:

– данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.

Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:

– откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид.

Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.

И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:

Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду

Не пропускайте, это несколько другой тип 😉 Да и вычислений заметно меньше.

Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.

Квадратичные формы – держат нас в форме!

Решения и ответы:

Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

Решим квадратное уравнение:

– собственные числа, таким образом:
– форма – в каноническом виде.

Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:

1) Если , то:
, пусть
Таким образом:
.
Разделим каждую координату на длину:

Таким образом, матрица линейного преобразования:

Выполним проверку прямой подстановкой в :

, что и требовалось проверить.

Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел:
,

Пример 14. Решение: запишем матрицу квадратичной формы и найдём её собственные числа:

так как каноничная парабола определяется уравнением , то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:

Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
.

Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:

1) Если , то:
, пусть

2) Если , то:
, пусть
Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.

Таким образом, матрица линейного преобразования:
, которое по формулам приводит уравнение к виду:

Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной не приведёт нас каноническому виду .

И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.)

Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:

избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на :

«собираем» полный квадрат при переменной :
и проводим замены .

Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:

– собственные числа, таким образом:

– форма в каноническом виде.

Найдём собственные векторы:

1-2) Если , то получаем систему:
, из которой очевиден собственный вектор .
Второй вектор найдём для из соотношения .
Пусть

3) Если , то:

Пусть
Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам:

Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому:

другие векторы нужно нормировать:

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:

Проверим результат прямой подстановкой в форму :

сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые:

, что и требовалось проверить.

3.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Наиболее простым является такой вид квадратичной формы, который не содержит произведения координат , т.е. представляет собой сумму квадратов.

Вид квадратичной формы

называется каноническим видом квадратичной формы.

Матрица В в этом случае является диагональной матрицей:

.

Возникает вопрос, какое преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду?

Пусть , где А – симметричная матрица. Известно, что А имеет собственный ортонормированный базис. Обозначим его . Тогда

1. , .

2. , если .

3. , .

Пусть теперь G – матрица перехода от стандартного ортонормированного базиса к базису , т.е. G – ортогональная матрица.

Теорема. При линейной замене переменных квадратичная форма принимает вид

,

где – собственные числа матрицы А.

Действительно. Преобразование запишем в векторной форме

.

Мы воспользовались тем, что скалярное произведение

.

Подведем итог сказанному.

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

1. Выписываем матрицу А квадратичной формы.

2. Находим собственные числа матрицы А: .

3. Составляем ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы А.

4. Составляем ортогональную матрицу перехода G, столбцами которого служат собственные векторы .

5. Замена позволяет записать квадратичную форму в новых координатах в виде суммы квадратов, т.е. в каноническом виде .

6. Обратное преобразование , и так как G – ортогональная матрица и , то .

Примеры смотри в тренинге умений.

Замечание. Мы рассмотрели здесь лишь один способ приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к сумме квадратов. В зависимости от этих способов квадратичная форма может иметь различные канонические виды. Но несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы неизменными остаются важные характеристики их коэффициентов.

К ним относится, во-первых, ранг квадратичной формы, который равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Ранг равен числу ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Выполняется также закон инерции: сохраняется число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы, не зависимо от способа приведения ее к сумме квадратов.

3.4 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

В курсе аналитической геометрии мы изучали эллипс, гиперболу и параболу, которые являются кривыми второго порядка. Напомним их уравнения:

– эллипс,

– гипербола,

, или , – парабола.

При выводе уравнений этих кривых была так подобрана система координат, что уравнения получились “простого”, канонического вида.

Если система координат выбрана произвольно, то уравнение кривой второго порядка имеет общий вид:

, (*)

где . Левая часть этого уравнения состоит из двух частей. Первая часть – квадратичная форма от переменных х, у, с симметричной матрицей

.

Определитель этой матрицы равен .

Оказывается, знак этого определителя, а так же знаки коэффициентов при квадратах А и С играют решающую роль при выяснении вопроса о типе кривой, заданной общим уравнением.

Вторая часть имеет вид

и представляет собой линейную функцию.

Часть линейной функции, не содержащая константу, – линейная форма.

Таким образом, левая часть уравнения (*) есть сумма:

квадратичная форма + линейная форма + константа.

Левая часть уравнения (*) есть многочлен второй степени от х и у. Какие же кривые на плоскости может определить алгебраическое уравнение (*) с условием, что хотя бы один из коэффициентов А, В или С отличны от нуля?

Оказывается, что уравнение определяет уже известные нам эллипс, гиперболу или параболу; кроме того возможны случаи (вырожденные):

1. пара пересекающихся прямых ,

2. пара параллельных прямых ,

3. пара совпадающих прямых ,

4. точка или пустое множество .

В аналитической геометрии доказывается теорема, что других возможностей, кроме перечисленных, быть не может.

Среди невырожденных кривых эллипс и гипербола называются центральными, они имеют единственный центр симметрии, парабола центра не имеет. Канонический вид кривой не содержит произведения координат, а для центральных кривых не содержит и линейной формы.

Важной задачей является задача приведения кривой второго порядка к каноническому виду. Изменением системы координат, а именно поворотом координатных осей и параллельным сдвигом, общее уравнение кривой второго порядка (*) можно привести к каноническому виду.

Только после этого можно говорить о типе кривой.

Определитель матрицы квадратичной формы

не меняется при сдвиге и повороте координатной системы, говорят, что он является инвариантом этих преобразований. В связи с этим линии второго порядка классифицируют по следующим типам:

1) эллиптический, при ;

2) гиперболический, при ;

3) параболический, при .

Такую же классификацию применяют к уравнению (*). Доказывается, что эллипс имеет уравнение эллиптического типа, гипербола – гиперболического, парабола – параболического. Условия эти лишь необходимые, но не достаточные (уравнения эллиптического типа может определить, например, вырожденный в точку эллипс , или пустое множество ).

Не вдаваясь в дальнейшие подробности, опишем алгоритм приведения общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. Используем при этом наше умение привести к каноническому виду квадратичную форму. Итак, имеем уравнение

Найдем сначала определитель и определим тип кривой. Пусть оказалось, что имеем центральную кривую эллиптического или гиперболического типа. Тогда:

1. Находим центр кривой из системы уравнений

.

2. Переносим начало координат параллельным сдвигом осей в точку , обозначим новые координаты точек .

Очевидно, , откуда , . После подстановки в уравнение (*) вместо х, у их выражений через , получим уравнение

,

где . В результате квадратичная форма не изменится, а члены, содержащие первые степени переменных и , пропадут!

3. Далее следует произвести поворот координатных осей , вокруг начала на угол  (>0 – против часовой стрелки) так, чтобы в уравнении исчез смешанный член . Как найти угол , т.е. как направить новые координатные оси? Новые оси направим вдоль собственных векторов , квадратичной формы, найдем матрицу перехода С к новому базису, и преобразуя координаты в с помощью матрицы С, получим в новых координатах уравнение в каноническом виде:

,

где ₁, ₂ – собственные числа матрицы (см. умение 5 и соответствующий пример тренинга и рисунок 8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель , и мы имеем случай параболический, центра нет. Тогда следует действовать по плану:

1. Находим собственные числа ₁, ₂ (при этом одно из них равно нулю) и собственные векторы , квадратичной формы. Поворачиваем исходную координатную систему ХОУ вокруг начала (0,0), направляя новые координатные оси и по собственным векторам , . Новые координаты точек и старые (х,у) связаны формулами

,

где С – матрица перехода от исходного стандартного базиса к базису , .

2. После подстановки в уравнение (*) вместо х, у их выражений через получим или , где придется честно пересчитать.

3. Выделяя в полученном уравнении “полный квадрат” (см. юниту по аналитической геометрии), найдем вершину параболы . Перенесем начало координат в вершину параболы с помощью параллельного сдвига осей и . В новых координатах , где

получим каноническое уравнение параболы или .

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Метод собственных векторов:

Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =\sum\limits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$\beginx_1\\\vdots\\x_n\end=U\beginx_1’\\\vdots\\x_n’\end.$$

Пример.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$

Решение.

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin11-\lambda&8&2\\8&5-\lambda&-10\\2&-10&2-\lambda\end=$$ $$=(11-\lambda)(5-\lambda)(2-\lambda)+2\cdot 8\cdot (-10)+2\cdot 8\cdot (-10)-$$ $$-2\cdot(5-\lambda)\cdot 2-(11-\lambda)\cdot(-10)\cdot(-10)-8\cdot 8\cdot(2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2(2+5+11)-\lambda(10+22+55)+110-160-160-20+$$ $$+4\lambda-1100+100\lambda-128+64\lambda=$$ $$=-\lambda^3+18\lambda^2+81\lambda-1458=-\lambda(\lambda^2-81)+18(\lambda^2-81)=$$ $$=(\lambda-9)(\lambda+9)(-\lambda+18)=0.$$

Отсюда находим собственные числа:

$$\lambda_1=9,\quad \lambda_2=-9, \quad\lambda_3=18.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin2&8&2\\8&-4&-10\\2&-10&-7\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin2&8\\8&-4\end=-8-64=-72\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin2&8&2\\8&-4&-10\\2&-10&-7\end=56-160-160+16-200+448=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin2&8\\8&-4\end=-72\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin2x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-4x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin2x_1+8x_2=-2c\\8x_1-4x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\beginc\\-c/2\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin1\\-1/2\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin20&8&2\\8&14&-10\\2&-10&11\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin20&8\\8&14\end=280-64=216\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin20&8&2\\8&14&-10\\2&-10&11\end=3080-160-160-56-2000-704=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin20&8\\8&14\end=216\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin20x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1+14x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin20x_1+8x_2=-2c\\8x_1+14x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-c/2\\c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-1/2\\1\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=18$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-18E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-7&8&2\\8&-13&-10\\2&-10&-16\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-7&8\\8&-13\end=91-64=27\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin-7&8&2\\8&-13&-10\\2&-10&-16\end=-1456-160-160+52+700+1024=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-7&8\\8&-13\end=27\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin-7x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-13x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin-7x_1+8x_2=-2c\\8x_1-13x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-2c\\-2c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-2\\-2\\1\end.$

Таким образом, мы нашли вектора

В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат: