Как показать диапазон в математике

Что такое диапазон в математике?

У вас есть два разных способа определения диапазона в математике. Если вы ведете статистику, «диапазон» обычно означает разницу между самым высоким и самым низким значениями в наборе данных. Если вы выполняете алгебру или исчисление, под «диапазоном» понимается набор возможных результатов или выходных значений функции.

Диапазон в статистике

Если вас попросят найти диапазон в статистике, вас просто попросят найти самое высокое и самое низкое значения в вашем наборе данных, а затем найти разницу между ними. Каждый раз, когда вы слышите «разницу», это ключ, который вы собираетесь вычесть, поэтому формула, которую вы будете использовать:

самое высокое значение — самое низкое значение = диапазон

подсказки

Не забудьте указать любые единицы измерения (футы, дюймы, фунты, галлоны и т. Д.), Которые могут быть добавлены в ваш набор данных.

Пример 1. Представьте, что вы заглянули в тетрадь своего учителя и увидели, что процентные доли учащихся в классе составляют <95, 87, 62, 72, 98, 91, 66, 75>. Фигурные скобки часто используются для включения набора данных, поэтому вы знаете, что все в фигурных скобках принадлежит друг другу.

Каков диапазон этого набора данных или, другими словами, диапазон оценок учеников? Сначала определите самую высокую точку данных (98) и самую низкую точку данных (62). Затем вычтите самое низкое значение из наибольшего значения:

Таким образом, диапазон этого конкретного набора данных составляет 36 процентных пунктов.

Диапазон функции

Когда вы начнете изучать функции в математике, вы столкнетесь со вторым определением диапазона. Чтобы понять диапазон, нужно думать о функциях как о маленьких математических машинах. Набор значений, которые вы можете поместить в математическую машину, называется доменом (еще одна очень важная концепция). Набор возможных результатов, как только вы проверяете эти значения с помощью математической машины, называется кодоменом. И набор фактических результатов или результатов, которые вы получаете, называется диапазоном.

Есть несколько важных отношений между диапазоном и областью, которые вам необходимо понять. Во-первых, каждое значение в домене соответствует только одному значению в диапазоне вашей функции. Если какие-либо значения в домене соответствуют более чем одному значению в диапазоне, у вас может быть связь между двумя наборами данных, но технически это не классифицируется как функция. Однако более одного значения домена могут соответствовать одному значению в диапазоне этой функции.

Один из лучших способов понять это — представить свой собственный математический класс. Учащиеся в классе представляют область (или информацию, которая входит в функцию), в то время как сам класс является функцией или «математической машиной». Ваши итоговые оценки представляют диапазон, или то, что вы получаете после запуска элементов домена (учащиеся) с помощью функции (урок математики).

Если вы посмотрите на этот пример, то сможете интуитивно увидеть, что каждый ученик получит только один итоговый балл после окончания урока. Каждое значение в домене соответствует только одному значению в диапазоне. Однако более одного студента могут получить одинаковые оценки. Например, в вашем классе может быть два или три ученика, которые очень усердно учились и сумели набрать 96 процентов в качестве итоговой оценки. Несколько значений в домене могут соответствовать одному значению в диапазоне.

Пример 2. Представьте, что вы имеете дело с функцией x 2 , с доменом, ограниченным <-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4>. Каков диапазон этой функции?

Хотя вы узнаете более продвинутые способы нахождения диапазона позже, на данный момент самый простой способ найти диапазон этой функции — применить функцию к каждому элементу домена и отслеживать ваши результаты. Другими словами, вставьте каждый элемент домена, по одному, как x в функцию x 2 . Это дает вам набор результатов:

Но, как видите, некоторые элементы там повторяются. Вспоминая пример математических оценок как функции, ничего страшного; более одного ученика могут получить одинаковую оценку, или более одного элемента домена могут «указывать» на один и тот же элемент в диапазоне. Но вы не хотите записывать повторяющиеся элементы, когда задаете диапазон. Итак, ваш ответ просто:

Что такое приложение по математике?

Приложения по математике могут показаться сложными, но на самом деле они очень просты. Однако слово «приложение» имеет несколько значений, что может сбить его с толку. Добавление числа к любой из сторон уравнения может включать в себя либо добавление, либо умножение. Аннексия может быть полезна при попытке решить алгебру.

Что такое дельта в математике?

По мере развития математики в течение истории математикам требовалось все больше и больше символов для представления чисел, функций, наборов и уравнений, которые выходили на свет. Поскольку большинство ученых имели некоторое понимание греческого языка, буквы греческого алфавита были легким выбором для этих символов. В зависимости .

Что такое факторинг в математике?

Если вы знаете основы умножения и деления, вы уже знаете все навыки, которые вам необходимо учитывать. Числовые коэффициенты — это просто любые числа, которые можно умножить для создания этого числа. Вы также можете разложить число, разделив его на несколько раз. Хотя факторинг больших чисел поначалу может показаться сложным, но .

Числовые промежутки. Геометрическая интерпретация числовых промежутков на координатной прямой. Системы и совокупности неравенств.

Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами — неравенства. В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть — значения выражения или числовой промежуток.

Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием переменной. Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы — значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.

Введём понятие числового промежутка. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.

— это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).

Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).

Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.

Виды числовых промежутков

Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[

Вид промежутка (название)	Геометрическое изображение (на числовой прямой)	Обозначение	Запись с помощью неравенств (для краткости всегда цепочками)
Интервал (открытый)	(a;b)	a < x < b
Сегмент (отрезок)	[a;b]	a ≤ x ≤ b
Полуинтервал (полусегмент)	[a;b)	a ≤ x < b
Полуинтервал (полусегмент)	(a;b]	a < x ≤ b
Луч	[a;+∞)	x ≥ a
Луч	(-∞;b]	x ≤ b
Открытый луч	(a;+∞)	x > a
Открытый луч	(-∞;b)	x < b
Множество всех чисел (на координатной прямой)	(-∞;+∞), хотя здесь следует указать конкретное множество-носитель алгебры, с которым производится работа; пример: ℝ	x ∈ ℝ (обычно говорят о множестве вещественных чисел, для представления комплексных чисел используют уже комплексную плоскость, а не прямую)
Равенство	[a;a] или x=a	x = a (частный случай нестрогого неравенства: a ≤ x ≤ a — интервал длины 1, где оба конца совпадают — отрезок, состоящий из одной точки)
Пустое множество	∅	Пустое множество тоже является промежутком — у переменной x нет значений (пустое множество). Обозначение: x∈∅⇔x∈ .

С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин интервал ("interval") — открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.

С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано — Коши (можно узнать больше в "Википедии").

Системы и совокупности неравенств

Система неравенств

Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной — это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами — двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше — как интервал и отрезок. И то, и то является системой неравенств.

Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения — это частный случай).

Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется .

Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам: x > a x > b (1) x > a x < b (2) x < a x > b (3) x < a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.

Представим для каждого случая графическое решение.

Итак, что же получается? В случае (1) решением является промежуток (a;+∞). В случае (2) решение — промежуток (a;b). Случай (3) — это пример открытого луча (-∞;a). В случае (4) же решения отдельных неравенств не пересекаются — система не имеет решений.

Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).

Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза "И" для неравенств

Совокупность неравенств

Однако, бывают и другие случаи. Так кроме пересечения множеств решений бывает их объединение: если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо .

Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности "[". Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).

Если фигурная скобка — и, то скобка совокупности — это, условно, говоря простым языком, эквивалент союза "ИЛИ" для неравенств (хотя это, конечно, будет логическое или, включающее случай, удовлетворяющий обоим условиям).

Итак, — это значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство, обращается в верное.

Множество решений, как совокупности, так и системы неравенств, можно определить через две основные бинарные операции для работы с множествами — пересечение и объединение. Множество решений системы неравенств — это пересечение множеств решений неравенств, её составляющих. Множество решений совокупности неравенств — это объединение множеств решений неравенств, её составляющих. Это тоже можно проиллюстрировать. Допустим у нас есть система и совокупность из двух неравенств. Множество решений первого обозначим A, а множество решений второго обозначим B. Прекрасной иллюстрацией будет диаграмма Эйлера-Венна.

A ∪ B — решение системы неравенств A ∩ B — решение совокупности неравенств fedor1113
К остальным темам

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Каждый числовой промежуток характеризуется:

• названием;
• наличием обычного или двойного неравенства;
• обозначением;
• геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

• Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x < a или x > a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — ( x < a ) или больше a — ( x > a ) .

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x < a обозначается виде промежутка ( − ∞ , a ) , а для x > a , как ( a , + ∞ ) .

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x < a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат ( − 3 , ∞ ) . То есть это все точки, лежащие правее, чем — 3 .

Если имеем неравенство вида x < 2 , 3 , то запись ( − ∞ , 2 , 3 ) является аналогичной при задании открытого числового луча.

• Числовой луч. Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида ( − ∞ , a ] и [ a , + ∞ ) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞ ) , тогда получаем луч такого вида:

• Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a < x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде ( a , b ) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример интервала − 1 < x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала ( − 1 , 3 , 5 ) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

• Числовой отрезок. Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a ≤ x ≤ b . Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [ a , b ] , значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

• Полуинтервалы. Это промежуточные интервалы с включением приграничных точек. Они записываются при помощи двойных неравенств вида a < x ≤ b или a ≤ b < c , где ( a , b ] и [ a , b ) . Изобразим на координатной прямой.

Если имеется полуинтервал ( 1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 < x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Таблица числовых промежутков

Промежутки могут быть изображены в виде:

• открытого числового луча;
• числового луча;
• интервала;
• числового отрезка;
• полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Числовые промежутки

Числовые промежутки или просто промежутки — это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

Название	Изображение	Неравенство	Обозначение
Открытый луч		x > a	(a; +∞)
		x < a	(-∞; a)
Замкнутый луч		x ⩾ a	[a; +∞)
		x ⩽ a	(-∞; a]
Отрезок		a ⩽ x ⩽ b	[a; b]
Интервал		a < x < b	(a; b)
Полуинтервал		a < x ⩽ b	(a; b]
		a ⩽ x < b	[a; b)

В таблице a и b — это граничные точки, а x — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок — (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности .

Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так: [2; +∞) и (-∞; 2], читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух . Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх .

Интервал и полуинтервал

Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх .

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3). Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два .