Как найти сторону параллелограмма если известна одна сторона

Как найти сторону параллелограмма?

Чтобы найти сторону параллелограмма, необходимо наличие некоторых других значений, которые бы были известны. Далее попросту использовать одну из подходящих формул.

Например, по теореме косинусов, это формулы сторон через диагонали и находящийся между ними угол:

Другим решением, являются формулы, где стороны рассчитываются по диагонали и одной из известной стороны:

Вот еще формулы сторон параллелепипеда, через вторую сторону, диагонали и косинус угла:

Стоит напомнить и про формулы длин сторон, через высоту и синус угла:

Так же длину стороны параллелограмма, можно определить если известны площадь и высота:

Как видим, вариантов расчета высоты параллелограмма достаточно много и хотелось напомнить основные характеристики этой геометрической фигуры:

Во первых, параллелограммом называется четырехугольник, имеющий параллельно расположенные противоположные стороны , т. е. находящиеся на параллельных прямых. Квадраты, прямоугольники и ромбы, также являются параллелограммами.

Для нахождения стороны параллелограмма есть более десятка разных формул (они перечислены в ответе автора Бульбозавр), но для решения задач на эту тему, далеко не всегда их можно применить.

На мой взгляд лучше всего разобрать несколько примеров и на практике увидеть, как находить сторону этой фигуры — в наших случаях с помощью уравнений.

Нужно найти стороны параллелограмма, если одна из сторон больше другой в два раза а периметр равен 30 см.

Даже не нужно чертить рисунок, а просто составить уравнение и решить его

периметр(30см) = 2(х+2х) откуда х=5см, следовательно одна сторона равна 5см, другая — 10см.

АВСД — параллелограмм, нужно найти его стороны если — ВМ перпендикуляр к АС, АМ=6см, МС=15см, ВС больше АВ на 6 см

Для решения этой задачи сначала рассматриваем два прямоугольных треугольника АВМ и ВСМ у которых общий катет h.

Согласно Пифагору

h*h=a*a-6*6=b*b-15*15 откуда b*b-a*a=(b-a)(b+a)=225-36=189

по условию задачи b-a=7 тогда b+a=189/7=27

решив эту простенькую систему уравнений найдем стороны a=10см b=17cм

Как найти стороны параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a , b — стороны параллелограмма

H _b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

α , β — углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a , b — стороны параллелограмма

Как найти неизвестную сторону параллелограмма

Параллелограмм – это фигура, у которой противоположные стороны параллельны между собой. Можно найти его периметр (сумму всех сторон) и площадь (произведение длины на ширину), если известны длина двух сторон и угол между ними. Но что делать, если одна из сторон неизвестна и не дан угол?

Предлагаем вам необычный, но очень простой и эффективный способ вычисления неизвестной стороны параллелограмма. Он основан на принципе равенства диагоналей и периметров параллелограммов, состоящих из пары параллельных сторон и общей диагонали.

Важно понимать, что если удалить одинаковое расстояние от каждой из двух параллельных сторон параллелограмма, то создастся новая фигура, которая также является параллелограммом.

Следуя этому принципу, можно провести в параллелограмме диагональ, которая пересекает неизвестную сторону и делит его на два треугольника. Найдя известными данными длину этой диагонали, можно найти периметры двух получившихся параллелограммов. Так как они состоят из одинаковых сторон и имеют равные диагонали, то их периметры также будут равны. Зная периметры этих фигур, можно легко найти длину неизвестной стороны.

Используйте наш секретный способ и вы сможете легко находить неизвестные стороны параллелограмма без труда!

Основные понятия

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны между собой.

Боковая сторона — это сторона параллелограмма, соединяющая две вершины, не являющиеся соседними.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две вершины параллелограмма, не являющиеся соседними.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на противолежащую сторону.

Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Неизвестная сторона — это сторона параллелограмма, длина которой не известна и нужно ее найти.

Секретный способ состоит в нахождении высоты, проведенной на боковую сторону параллелограмма, затем в вычислении длины диагонали, и, наконец, в применении теоремы Пифагора для нахождения неизвестной стороны.

Все эти понятия знакомы из школьной программы по геометрии и важны для решения задач и построения параллелограммов.

Метод поиска неизвестной стороны

Когда мы имеем дело с параллелограммом, иногда нам нужно вычислить длину его неизвестной стороны. Для этого существует несколько способов, но в данном случае рассмотрим наиболее простой и эффективный.

Для начала нам нужно знать, что параллелограмм состоит из двух параллельных сторон и двух скрещивающих их сторон. Также мы должны знать, что противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

Для определения неизвестной стороны нам нужно знать две известные стороны и угол между ними. Затем можно использовать теорему косинусов, чтобы вычислить длину неизвестной стороны.

Для этого применяют следующую формулу: c = √(a² + b² — 2abcosα),

где a и b – известные стороны, α – угол между ними, c – неизвестная сторона.

После вычисления длины неизвестной стороны, мы можем вписать эту информацию в формулу для нахождения периметра или площади параллелограмма.

Используя этот метод, можно без проблем найти неизвестную сторону параллелограмма и решить задачу, которую ранее казалось сложной.

Примеры решения задачи

Рассмотрим пример нахождения неизвестной стороны параллелограмма. Известно, что длина одной стороны параллелограмма равна 6 см, а высота, опущенная на эту сторону, равна 4 см. Искомая сторона параллелограмма находится на расстоянии 3 см от основания высоты. Для решения задачи необходимо применить теорему Пифагора.

Обозначим длину искомой стороны параллелограмма как a. Также обозначим основание высоты как b. Используя теорему Пифагора, получим:

Подставляя известные значения, получим:

Таким образом, длина искомой стороны параллелограмма равна 5 см.

Рассмотрим еще один пример нахождения неизвестной стороны параллелограмма. Известно, что длина одной стороны параллелограмма равна 5 см, а диагональ параллелограмма равна 8 см. Искомая сторона параллелограмма находится на расстоянии 2 см от конца диагонали. Для решения задачи можно использовать теорему Пифагора или теорему косинусов.

Рассмотрим решение при использовании теоремы косинусов. Обозначим длину искомой стороны параллелограмма как a. Также обозначим диагональ параллелограмма как d. И угол между стороной a и диагональю как α. Используя теорему косинусов, получим:

a 2 = d 2 + b 2 — 2db cos α

Подставляя известные значения, получим:

a 2 = 8 2 + 2 2 — 2 * 8 * 2 * cos α

С помощью тригонометрических формул можно выразить cos α через длины сторон параллелограмма:

cos α = (a 2 + b 2 — d 2 ) / 2ab

Подставляя выражение для cos α в первую формулу, получим:

a 2 = d 2 + b 2 — 2db ((a 2 + b 2 — d 2 ) / 2ab)

Разрешая эту формулу относительно a, получим:

a = sqrt(d 2 + b 2 — 2db ((a 2 + b 2 — d 2 ) / 2ab))

Найти онлайн сторону параллелограмма

Параллелограммом называют четырёхугольный многоугольник, две соседние стороны которого равны и параллельны противоположным. Помимо этого, есть ещё несколько важных условий определения фигуры как параллелограмма:

1. В месте пересечения диагонали делятся пополам, а точка, в которой пересекаются диагонали, является одновременно центром этих двух отрезков. При этом она всегда лежит внутри фигуры.
2. Любая диагональ данного четырёхугольника разделяет его на одинаковые треугольники, так как проходит из одной вершины к противоположной, то есть по центру четырёхугольника.
3. Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
4. Углы фигуры, расположенные друг напротив друга, попарно равны. Это условие вытекает из утверждения, что параллельные стороны фигуры равны.
5. Сумма двух односторонних углов равна 180°. Это условие напрямую связано с теоремой о двух параллельных прямых и секущей. И действительно, если рассматривать две противоположные и третью между ними стороны параллелограмма как две параллельные прямые и секущую, то можно заметить, что углы, принадлежащие одной стороне, будут соответствовать односторонним углам, сумма которых, согласно теореме, равна 180°.

Только при выполнении всех условий четырёхугольный многоугольник будет считаться параллелограммом.

• Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и острый угол между ними
• Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и тупой угол между ними
• Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и острый угол между ними
• Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и тупой угол между ними
• Сторона параллелограмма через две диагонали и другую известную сторону

Нахождение длинной стороны через две диагонали и острый угол между ними

Длинную сторону параллелограмма можно найти, зная обе диагонали и острый угол между ними, по формуле:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Допустим, дан параллелограмм, у которого диагонали 7 и 4 см, а угол между ними 68º. Тогда, согласно формуле, сторона будет равна: a = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 3,317 см . Ответ: 3,317 см.

Нахождение короткой стороны через две диагонали и острый угол между ними

Можно вычислить и короткую сторону по формуле:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Теперь необходимо найти другую сторону параллелограмма. Данные останутся те же, что и в прошлой задаче, но в уравнении поменяется знак, так как по отношению к углу поменялась сторона, которую надо найти. Сторона b будет равна: b = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 4.64 . Ответ: 4,64 см.

Нахождение длинной стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Стороны параллелограмма можно найти, зная диагонали и тупой угол между ними. Для этого нужно использовать следующую формулу:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Рассмотрим нахождение сторон всё того же параллелограмма с диагоналями 7 и 4 см. Однако на этот раз возьмём между диагоналями другой угол: β=112º. В таком случае для стороны a минус меняется на плюс, а сама сторона равна: a = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos112º)) / 2 = 3.914

Нахождение короткой стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Аналогично можно найти и короткую сторону, зная диагонали и тупой угол между ними:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Для стороны b так же изменится знак в формуле, но наоборот: плюс на минус. Тогда получается: b = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos112)) / 2 = 4,64 см . Ответ совпал с ответом второй задачи, все опять решено верно, а сторона в воображаемом параллелограмме действительно равна 4,64 см.

Нахождение стороны параллелограмма через диагонали и другую сторону

Как и в случае с прошлыми пунктами, существуют формула, которая позволяет найти сторону параллелограмма с использованием диагоналей и известной стороны. Вот она:

где D, d — диагонали, b — сторона.

Выводится данная формулы из первого следствия теоремы косинусов.

Пример. Используем для следующих задач другой параллелограмм. Эта фигура будет с диагоналями 9 и 5 см и стороной 6 см. Тогда другая сторона данного параллелограмма равна: a = √(9² + 5² — 2 * 6² / 2) = 4,1 см. Ответ: 4,1 см.

Для проверки ответа можем решить обратную задачу, при которой нам не известна сторона b, но известна сторона a = 4,1 см. По обратной формуле получается b = √(9² + 5² — 2 * 4,1² / 2) = 6 см. Ответ совпадает с изначальными данными первой задачи. А значит и этот воображаемый параллелограмм действительно существует.

Нахождение стороны через синус угла и высоту

Высота – это отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины фигуры на противоположную сторону. Есть несколько интересных свойств у неё. Например, высоты, проведенные из острых углов, будут всегда лежать вне фигуры, в то время как высоты из тупых углов всегда лежат внутри. Если из одного угла опустить две высоты, то между ними образуется угол, равный смежному углу параллелограмма. Равными будут те высоты, что заключены между параллельными сторонами четырёхугольника. Найти сторону параллелограмма через эту величину достаточно просто, по формуле:

где: h — высота параллелограмма, sin α — угол.

Стоит заметить, что высота должна быть опущена не к искомой стороне, а к соседней. При этом для формулы сойдет синус любого известного угла параллелограмма.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если высота, опущенная на соседнюю сторону равна 10 см, а острый угол — 30º. Решение: a=10 / 0,5 = 20 см

Нахождение стороны через площадь и высоту

Более подробно о площади и высоте параллелограмма рассказано в пунктах выше. В этом достаточно легко вывести единственную формулу, по которой можно найти сторону. Если площадь является произведением стороны на высоту, то сторона будет равна отношению площади к высоте:

где S — площадь параллелограмма, h — высота.

Причем не имеет значения, к какой стороне опущена высота: к искомой или соседней.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если его площадь равна 20 см, а высота, опущенная на одну из сторон — 5 см. Решение: a = 20 / 5 = 4 см .

Фигура кажется сложной для восприятия из-за того, что её нельзя постоянно наблюдать где-то в повседневной жизни. Однако всё становится проще, если вспомнить, что есть более известные широкой публике частные случаи параллелограмма. Их-то человек обычно наблюдает ежедневно. Это ромб, прямоугольник и квадрат. Причем последний, хоть и наиболее известен, является и наиболее интересным.

Ромб считается частным случаем, потому что представляет собой параллелограмм, диагонали которого в точке пересечения образуют прямой угол. Прямоугольник является частным случаем, потому что это параллелограмм, у которого все углы прямые. У квадрата же положение ещё интереснее, так как его можно назвать не только частным случаем параллелограмма, но и прямоугольника, и ромба. Квадрат – это комбо трёх предыдущих определений. Можно даже сказать, что квадрат одновременно является особенным случаем и для параллелограмма, и для прямоугольника, и для ромба. Все его стороны равны, противоположные стороны параллельны. Все углы являются прямыми, даже образующиеся при пересечении диагоналей, которые к тому же делятся пополам в точке пересечения.