Линейные уравнения
В этом уроке мы подробно познакомимся с линейными уравнениями. Узнаем, что такое уравнение, какие бывают виды, научимся их решать и поговорим про равносильные преобразования. Уравнения — это одна из важнейших тем по алгебре в 7-м классе, она закладывает основы для будущего изучения алгебры в старших классах и институте. Без уравнений также не обойтись и при изучении точных наук, таких как физика, химия, информатика и т.д.
Что такое уравнения
Уравнение — это равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных переменных.
Разберемся на примерах:
- $$1+2=3;$$ Перед нами верное равенство: левая часть от знака равно равна правой. Но здесь нет неизвестных переменных, одни числа. Поэтому это равенство не будет уравнением.
- $$1+3=6;$$ Это тоже не будет уравнением, так как нет неизвестной. Тем более это неверное равенство. Левая часть не равна правой части.
- $$1+x=5;$$ А вот это равенство уже можно назвать уравнением: есть переменная \(x\). И здесь уже непонятно, равна ли левая часть равенства правой или нет. Все зависит от того, что подставить вместо переменной \(x\). Достаточно легко догадаться, что если вместо \(x\) подставить число \(4\), то равенство будет верным: $$1+4=5;$$ $$5=5;$$ Если подставить любое другое число, то будет уже неверное равенство.
- $$3(2x^2-6)-6x^2+7x=3+x;$$ Такое равенство тоже будет являться уравнением, так как есть неизвестная \(x\) и даже не одна. Вот только подобрать сходу число, которое нужно подставить вместо \(x\), чтобы равенство стало верным, не так то просто.
Научиться решать уравнения — значит при помощи математических правил находить такие значения переменной \(x\), чтобы при их подстановке в исходное уравнение получалось верное равенство. Значения переменных, при которых равенство становится верным, называют корнями уравнения.
Важно понимать, что корнями уравнения могут быть сразу много значений \(x\) или ни одного. Если невозможно найти такое значение \(x\), чтобы равенство стало верным, то говорят, что такое уравнение не имеет корней.
Именно этим мы и будем заниматься: изучать правила, которые помогут нам решать любые уравнения, находить их корни или доказывать, что корней нет.
Существует большое количество типов уравнений:
- Линейные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Однородные уравнения
- Уравнения с модулем
- Смешанные уравнения
- Системы уравнений
Но начнем мы с самого простого типа: линейных уравнений.
Линейные уравнения: определение и решение
Сегодня мы познакомимся с линейными уравнениями. Узнаем, как их решать. Разберём и простые примеры, и довольно хитрые. Это один из важнейших уроков в курсе алгебры 7 класса.
1. Краткая вводная по уравнениям
— это любое равенство, в котором присутствует хотя бы одна переменная.
- Равенство $5-3=2$ — это не уравнение. Да, оно верное, но в нём нет переменной.
- Равенство $5+3=2$ — тоже не уравнение. Оно ещё и само по себе неверное.
- А вот равенство $5-x=2$ или $5+3x=2$ — это уравнения. В них есть переменная $x$.
Мы знаем, что равенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Чтобы проверить это, достаточно вычислить выражение, стоящее с каждой стороны от знака «равно» и сравнить полученные значения: если числа слева и справа одинаковые, то равенство верно. А если числа получились разные — равенство неверное.
С уравнениями всё сложнее. Их нельзя просто взять и вычислить, потому что мы не знаем, какое значение принимает переменная. Но если вместо переменной подставить какое-либо число, то уравнение превращается в обычное равенство — и дальше всё легко.
Пример 1. Рассмотрим уравнение: $x+5=8$.
Если подставить $x=10$, получим равенство $10+5=8$, которое, очевидно, не верно.
Но если $x=3$, то получится $3+5=8$ — это верное равенство.
Итак, есть значения переменных, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. А есть значения, при которых равенство получается неверным. Это позволяет ввести понятие корня уравнения.
Определение. — это такое значение переменной, при подстановке которого это уравнение обращается в верное числовое равенство.
— значит найти все его корни, либо доказать, что таких корней нет.
Существует бесчисленное множество разных уравнений. Одни решаются легко, другие вообще не решаются.
Умение решать такие уравнения — это сложный и очень ценный навык. И сегодня мы начнём осваивать этот навык. Для этого рассмотрим самый простой вид уравнений — линейные.
2. Что такое линейное уравнение
Определение. называется уравнение вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — числа, $x$ — переменная.
Также линейными называют все уравнения, которые сводятся к виду $ax+b=0$ путём элементарных преобразований. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Линейные уравнения:
\[\begin
x+5 &=18 \\ 2x &=8 \\ 7-\left( x-3 \right) &=x-6 \end \] А вот эти уравнения не являются линейными:
\[\begin
< ^<2>> &=0 \\ \frac<5> &=1 \\ \left| x \right| &=64 \end \]
Ещё раз: линейные уравнения могут выглядеть очень по-разному. Но все они сводятся к виду $ax+b=0$ с помощью элементарных преобразований. По таким преобразованиям у нас будет отдельный урок, а сейчас просто вспомним, что это такое.
2.1. Элементарные преобразования уравнений
Существует ровно три вида преобразований, которые называются элементарными:
- 1.Прибавить к обеим частям уравнения одно и то же выражение.
- 2.Умножить обе части уравнения на одно и то же выражение, отличное от нуля.
- 3.Поменять местами выражения, стоящие слева и справа от знака равенства.
Замечательное свойство всех этих преобразований состоит в том, что они не меняют корни уравнения. Но при этом зачастую позволяют получить уравнение, разрешённое относительно переменной, т.е. уравнение вида $x=a$, где $a$ — некоторое числовое выражение, которое уже не содержит переменную $x$.
Пример 3. Решите уравнение: $x+5=18$.
Вычтем из обеих частей пятёрку:
\[\begin
x+5-5 &=18-5 \\ x &=13 \end \] Получили $x=13$ — это и есть корень.
Иногда переход от уравнения $x+5=18$ к уравнению $x=18-5$ называют «переносом слагаемого их левой части в правую». Мы тоже будем так говорить. Но помните: во «взрослой» алгебре (а именно такой мы будем заниматься с 7 по 11 класс) никаких «переносов» нет. Есть только прибавление слагаемых (пускай и противоположных к исходным).
3. Решение простых уравнений
Итак, у нас есть уравнение $ax+b=0$. Первое, что хочется сделать — это перенести слагаемое $b$ вправо, а затем разделить всё на $a$:
С первым шагом проблем возникнуть не должно: мы вправе прибавлять к обеим частям уравнения любое выражение, в т.ч. $-b$:
А вот дальше начинаются проблемы. Если коэффициент $a\ne 0$, то снова никаких проблем: мы вправе поделить обе части уравнения на любое ненулевое выражение, в т.ч. на это самое $a\ne 0$:
Большинство уравнений действительно так и решаются. Взгляните на примеры:
Пример 4. Решите уравнение: $5x=10$.
Просто делим обе части уравнения на 5:
\[\begin
5x &=10 \\ x &=2 \end \] Получили $x=2$ — это и есть искомый корень.
Пример 5. Решите уравнение: $-8x=48$.
Всё то же самое, просто делим на отрицательное число:
\[\begin
\frac<-8x> <-8>&=\frac<48> <-8>\\ x &=-6 \end \] Корень уравнения: $x=-6$. То, что он отрицательный, нисколько не должно нас смущать.
Но что делать вот с такими уравнениями?
\[0\cdot x=10;\quad 0\cdot x=0\]
В первом случае корней вообще нет. Потому что при любом значении $x$ мы умножаем это значение на ноль и получаем ноль, который никак не может равняться 10.
Во втором уравнении корнем наоборот будут все числа. Потому что опять же любое число при умножении на ноль даст ноль — и именно этот ноль от нас и требуется.
3.1. Основной алгоритм
Итого мы получаем три варианта развития событий. Пусть дано уравнение $ax+b=0$. Тогда:
- 1.Если $a\ne 0$, то уравнение имеет один корень: $x=-/\;$.
- 2.Если $a=0$, но $b\ne 0$, то корней нет.
- 3.Если же $a=0$ и $b=0$, то корни — все числа.
Вот так всё просто. Однако я не хочу, чтобы вы просто зазубрили эти три пункта и бездумно применяли их, когда видите линейное уравнение. Пожалуйста, помните, как и почему возникают эти правила, что такое элементарные преобразования и какие ограничения в них присутствуют (на самом деле ограничение лишь одно: нельзя умножать и делить на ноль).
Пример 6. Решите уравнение: $7x-2=6+3x$.
Вычитаем из обеих частей $3x$ и добавляем 2:
\[\begin
7x-2 &=6+3x|-3x+2 \\ 4x &=8 \end \] Делим обе части уравнения на 4:
\[\begin
4x &=8|:4 \\ x &=2 \end \] Получили корень уравнения $x=2$.
Пример 7. Решите уравнение: $x-11=x+5$.
Вычитаем из обеих частей $x$ и добавляем 11:
\[\begin
x-11 &=x+5|-x+11 \\ 0 &=16 \end \] Последнее равенство уже не является уравнением. Точнее, является, но это будет уравнение вида $0\cdot x=16$. Коэффициент $a=0$, коэффициент $b=16\ne 0$. Следовательно, корней нет.
При решении настоящих уравнений вовсе не обязательно детально комментировать каждый шаг. Достаточно поставить вертикальную черту справа от уравнения и арифметическими знаками пояснить, что именно вы собираетесь делать.
А в будущем и этих пояснений от вас уже не потребуется.
4. Более сложные соображения
В начале урока мы обнаружили, что далеко не все уравнения сводятся к линейным с помощью элементарных преобразований. Существует множество способов преобразовать уравнение, но нам пока доступны лишь три элементарных преобразования и ещё вот такая хитрость:
Теорема. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Другими словами, если $a\cdot b=0$, то обязательно либо $a=0$, либо $b=0$.
А это уже интересный приём, который значительно расширяет наши возможности!
Пример 8. Решите уравнение: $\left( 2x-6 \right)\left( x+1 \right)=0$.
Произведение равно нулю, поэтому либо $2x-6=0$, либо $x+1=0$. Получили два линейных уравнения. Решим первое из них:
\[\begin
2x-6 &=0 \\ 2x &=6 \\ x &=3 \end \] Теперь решим второе. Тут вообще всё просто:
\[\begin
x+1 &=0 \\ x &=-1 \end \] Итого уравнение имеет два различных корня: $x=3$ и $x=-1$.
Пример 9. Решите уравнение: $x\left( 5x+15 \right)=0$.
Всё то же самое: произведение равно нулю, поэтому либо $x=0$, либо $5x+15=0$. Первое уравнение уже решено, а второе решается по стандартному алгоритму:
\[\begin
5x+15 &=0 \\ 5x &=-15 \\ x &=-3 \end \] Итого вновь два корня: $x=0$ и $x=-3$.
Разумеется, множителей может быть не два, а три и более. Алгоритм решения от этого никак не меняется: приравнять каждый множитель к нулю и решить каждое полученное уравнение отдельно.
5. Практика
Задача 1
Решение. Это линейное уравнение решается через элементарные преобразования:
Ответ: $x=-12$. Уравнение имеет один корень.
Задача 2
\[5\left( x+9 \right)=5x+45\]
Решение. Сначала раскроем скобки.
Это действие не является элементарным преобразованием уравнений. Оно вообще не относится к уравнениям — оно относился к выражениям с переменной (точнее, как мы позже узнаем, к многочленам):
Теперь собираем все слагаемые с переменной $x$ слева, а все числовые слагаемые — справа:
Ответ: все числа. Это уравнение имеет бесконечное множество корней.
Задача 3
\[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]
Решение. Вновь сначала раскроем все скобки и упростим полученное выражение:
\[\begin
Дальше остаётся лишь выполнить элементарные преобразования:
Ответ: $x=0$. Уравнение имеет единственный корень.
Важное замечание
Линейное уравнение вида $ax+b=0$ требует особого внимания при $a=0$. Потому что делить на ноль нельзя.
Однако если $a\ne 0$, но зато $b=0$, то ничего страшного и «нестандартного» не происходит. Получается уравнение $ax=0$, корнем которого является $x=0$.
? И зачем он нужен для решения квадратных уравнений. 
Линейные уравнения
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестную переменную.
Корень уравнения – значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Число 2 является корнем уравнения . Подставив 2 вместо , мы получим, что 4 = 4.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Равносильными называют уравнения, множества решений которых совпадают.
Два уравнения равносильны, если все решения первого уравнения являются решениями второго и все решения второго являются решениями первого. У них одни и те же решения. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Например, уравнения и равносильны. Число 2 является корнем и одного, и другого уравнения, и других корней у них нет.
Записывается это так: ⇔
У нас появился новый символ: ⇔ (читается: равносильно).
Стрелочки и в ту, и в другую сторону. Это значит, что если , то . А если , то .
Линейные уравнения
Линейное уравнение с одной переменной — это вот такое уравнение: . Здесь – переменная, и – числа.
Уравнение – линейное с одной переменной.
Правила решения линейных уравнений:
1) Можем перенести любое слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком.
2) Можем умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
При этом мы получаем уравнение, равносильное исходному.
Пример 1. Решите уравнение: .
Раскроем скобки в левой части уравнения: .
Приведем подобные слагаемые в левой части.
Если из вычесть , получится . Если из вычесть , получится .
Теперь уравнение выглядит так: .
Перенесем слагаемое в правую часть с другим знаком, то есть с «плюсом»:
Наше уравнение имеет один корень.
Пример 2. Решите уравнение: .
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. Общий знаменатель равен 18. Получим: .
Сократив дроби, получим: .
Перенесем все слагаемые с переменной х в левую часть, остальные – в правую:
Пример 3. Решите уравнение: .
После переноса слагаемых и приведения подобных получим уравнение:
Полезная информация для отличников
Как вы считаете — всегда ли линейное уравнение имеет решение?
Мы помним, что линейное уравнение с одной переменной имеет вид: .
Число называют коэффициентом при переменной, число – свободным членом.
Оказывается, при решении линейного уравнения возможны 3 случая:
1) Если , – любое число, то уравнение имеет ровно один корень .
Например, уравнение имеет единственный корень .
2) Если , , то уравнение принимает вид . Это равенство верно при любом , поэтому корнем уравнения будет любое число.
3) Если , , то уравнение принимает вид . При любом значении в правой части уравнения получается ноль, а в левой части – не ноль.
В этом случае уравнение не имеет корней. Например, уравнение не имеет корней.
Текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям.
Часто в математике встречаются задачи, где в условии дан текст. Они похожи на короткие рассказы. Автобус и грузовик едут из одного города в другой. Велосипедист обгоняет пешехода. Две бригады строят дом. Такие задачи обычно решаются с помощью уравнений.
Вот как мы действуем:
1) Выбираем неизвестную величину и обозначаем ее переменной, например, . Часто за переменную обозначают величину, которую надо найти в задаче.
2) Можно сделать рисунок.
3) Выражаем другие неизвестные величины (если они есть) через эту переменную.
4) Вносим данные в таблицу.
5) Составляем уравнение согласно условию задачи.
6) Решаем уравнение.
7) Проверяем ответ с точки зрения здравого смысла. Например, если скорость пешехода оказалась равной 300 км/час, значит, задача решена неправильно.
8) Если все правильно, записываем ответ.
Посмотрим, как решать текстовые задачи с помощью линейных уравнений.
Пример 4.
Расстояние от поселка А до поселка Б автобус проходит за 5 часов, а автомобиль – за 3 часа. Чему равно расстояние между поселками, если скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса? Ответ выразите в километрах.
Обозначим скорость автобуса за км/ч, тогда скорость автомобиля км/ч. Воспользуемся формулой ( — расстояние, – скорость, – время). Тогда расстояние, которое проехал автобус, равно км. Расстояние, которое проехал автомобиль, равно км. По условию задачи, это одно и то же расстояние.
Составим и решим уравнение: .
. Значит, скорость автобуса равна 45 км/ч.
Расстояние, которое он проехал, равно км.
Пример 5. Соседи Кирилл и Федор переносят кирпичи с одного дачного участка на другой в течение одного часа. Кирилл переносит в минуту на 1 кирпич меньше, чем Федор. Всего они перенесли 300 кирпичей. Сколько кирпичей переносит в одну минуту Федор?
Обозначим за количество кирпичей, которые Федор переносит в минуту. Тогда Кирилл переносит кирпичей. Вместе в минуту они переносят кирпичей. А за 1 час, который равен 60 минутам, они перенесут кирпичей. По условию, это 300 кирпичей. Составим уравнение: .
Решая его, найдем . Значит, Федор переносит в минуту 3 кирпича.
Пример 6 (повторение). Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
Такие задачи мы решали в теме «Сплавы, смеси, растворы».
Обозначим массу первого сплава кг.
Тогда масса второго сплава кг, а третьего кг.
Для удобства переведем проценты в дроби:
Тогда по условию задачи в первом сплаве содержится кг меди, во втором — кг, в третьем сплаве содержится кг меди.
Составим и решим уравнение:
Домножим обе части уравнения на 100, чтобы коэффициенты стали целыми.
После преобразований получим равносильное уравнение .
Значит, масса первого сплава равна 6 кг, тогда масса второго сплава равна 10 кг, а масса третьего сплава 16 кг.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Линейные уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Уравнения равные нулю
Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.
Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».
В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как
![\[ax(bx + c)(mx + n) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2e57b7968eec30cf121aa4422863d2c_l3.png)
(множителей может быть больше).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:
![\[ax = 0;bx + c = 0;mx + n = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d39c7fc44a0d0626fa5633f5c3ca3af7_l3.png)
и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.
![\[1)7x(2x - 3)(5x + 4) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-259cc69f21c60412e3b599ec7bd0b8ea_l3.png)
Это — уравнение типа «произведение равно нулю».
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
![\[7x = 0;2x - 3 = 0;5x + 4 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d078bfdb001a8d5c0c95d61ec3a3ae62_l3.png)
![\[7x = 0;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e64a1b7d102818efb3af14701b4427ad_l3.png)
![\[\underline {x = 0} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6797daf6d2919e0952d373ef5c7b31a9_l3.png)
![\[2x - 3 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98d27e3d7858c4737db4d69e47d8235f_l3.png)
![\[2x = 3\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cd4c4ceb691dcd4c76629d08eb44829_l3.png)
![\[\underline {x = 1,5} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d833734870949577a71d0d890d385b6_l3.png)
![\[5x + 4 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72ab959bcbfcde9d1d37be9d4a1af328_l3.png)
![\[5x = - 4\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2afb3230a81219ddc24283bd56f013ac_l3.png)
![\[\underline {x = - 0,8} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1193ef060a45cc4a9aa367739dae49a2_l3.png)
![\[2)(12 - 4x)(7x + 2) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-39fdb1ca3c39f0232d9a0acd6401fe5b_l3.png)
![\[12 - 4x = 0;7x + 2 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e09ae833a5e2e068863b6c57773b7428_l3.png)
![\[12 - 4x = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b59b7b8e798dae95159351e94c10f3bd_l3.png)
![\[ - 4x = - 12\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c4679adbc9bffba1aeda3c472ee1500_l3.png)
![\[\underline {x = 3} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0692d088535d99a667f7ba7d27942a6b_l3.png)
![\[7x = - 2\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e64b2931aa3ef0eefb019688d8fa11c_l3.png)
![\[\underline {x = - \frac{2}{7}} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c920a250f5d9dc00fa3bf76dd884649a_l3.png)
Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».
![\[3){x^3} - 12 - 3{x^2} + 4x = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30aff272bff17dee7265ed8eaa6cf9fc_l3.png)
Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:
![\[({x^3} - 3{x^2}) + (4x - 12) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5db0c0e045af89d7de96242d0cce135c_l3.png)
Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:
![\[{x^2}(x - 3) + 4(x - 3) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bc6c4dfeafb5cf44e398fc7584efa79_l3.png)
Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:
![\[(x - 3)({x^2} + 4) = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-045f1a66478ac52bc2160c88f796935b_l3.png)
Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:
![\[x - 3 = 0;{x^2} + 4 = 0\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1db07b81121c05933afe198d43466f45_l3.png)
Корень первого уравнения —
Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).
В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.
Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.
Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.
15 комментариев
Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.