Как решать двойные неравенства 8 класс

Урок 4

З дравствуйте, ребята. Сегодня мы рассмотрим, как решаются двойные неравенства. Для успешного усвоения материала, рекомендую следовать предложенной инструкции по организации урока.

Откройте тетрадь, запишите дату и тему урока:

" Решение двойных неравенств"

2. Актуализация знаний:

Что называют решением системы неравенств с одной переменной?

Что значит решить систему неравенств?

3. Посмотрите видеоролик по данной теме.

Ответь на вопрос: Какие способы решения применяются для решения двойных неравенств?

4. Посмотрите видеоролик, как решить двойное неравенство способом одновременных преобразований всех частей двойных неравенств.

Двойные неравенства. 2 способа решения

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы .

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных , то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).

Пример: Решите двойное неравенство:

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.

Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

Решаем обычные линейные неравенства : все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

Отметим на числовой оси оба решения

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал , где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Двойные неравенства и их решение

Двойным неравенством называется неравенство вида , где — некоторая функция, — числа (знаки неравенства могут быть и строгие).

Чтобы решить двойное неравенство, записывают систему неравенств . Далее решают каждое неравенство системы и находят их общее решение (пересекают).

Примеры решения двойных неравенств

Задание	Найти решение неравенства
Решение	Запишем равносильную систему неравенств

и эквивалентные ей системы

Решением данной системы будет промежуток .

Это неравенство можно решить и другим способом. Сначала перенесем -7 с противоположным знаком в правую и левую части двойного неравенства и получим

Далее разделим все части неравенства на 2:

Таким образом, .

Задание	Оценить выражение , если
Решение	Из условия известно, как изменяются переменные и . Умножим все части двойного неравенства с на 5, а с — на 7. Получим

и .

Складываем почленно первое и второе неравенства:

Таким образом, выражение может принимать значения из промежутка .

Урок по алгебре «Решение двойных неравенств» (8 класс) обобщение

Образовательная: рассмотреть решение двойного неравенства через систему неравенств; продолжить формировать умения решать системы двух и более неравенств.

закрепить умение решать неравенства с одной переменной , учить искать и находить собственные ошибки; умение читать и записывать числовые неравенства и промежутки. Развивающая: развивать мыслительную деятельность, математическую речь, интуицию;

Воспитательная : создать условия для развития познавательного интереса к предмету и уверенности в своих силах, формирование положительного мотива учения.

Тип урока: урок обобщение знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, листы с заданиями.

Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности.

Как вы думаете, что самое ценное на земле? (ответы учеников).

Этот вопрос волновал человечество не одно тысячелетие. Вот ответ дал ученый Ал – Бируни «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему. Само же оно не приходит».

ІІІ. Актуализация опорных знаний.

1.Чтение таблицы числовых неравенств и промежутков

2. « Найди ошибку!»

3) m ≥ 12 4) -3 k ≤ 3,9; k ≤ -1,3

Ответ: (-∞;12) Ответ: (-∞; -1,3)

Устная работа.

1. Решите систему неравенств:

а) б) в) г)

2. Известно, что 2 < x < 5. Оцените значение выражения:

а) 2 х ; б) – х ; в) х – 3; г) 3 х – 1. 1.Изобразите числовой промежуток на координатной прямой и запишите соответствующее неравенство:

Ответ: a ) -1< x ≤ 4; б) х< 6; в) х ≥8

Закрепление изученного материала.

1.Изобразите числовой промежуток на координатной прямой и запишите соответствующее неравенство:

Ответ: a ) -1< x ≤ 4; б) х< 6; в) х ≥8

2. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:

a ) 0< x < 3; б) х > 12,5; в) -5 < x < -3

Ответ: a ) (0;3); б) ( 12,5; +∞); в) (-5; -3)

3. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

Ответ: a ) ( 0;10); б) ( -2;2); в) (-4;2]

4.Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

a ) [-4;0] ∩ [-1;5] ; б) [-6;6] ∩ [-3;8]; в) (-∞;5) ∩ ( -10;+∞)

Ответ: а) [-1;0]; б) [-3;6] ; в) (-10;5)

III. Объяснение нового материала.

1. На с. 187 рассмотреть пример № 5.

Необходимо, чтобы учащиеся уяснили, что двойное неравенство представляют собой иную запись системы неравенств:

– 1 < 3 + 2 x < 3

Решая систему, получим Полученное решение можно записать как в виде числового промежутка (–2; 0), так и в виде двойного неравенства –2 < x < 0.

2. Двойное неравенство можно решать и другим способом, используя теоремы-свойства числовых неравенств:

– 1 < 3 + 2 x < 3. Прибавляем к каждой части неравенства –3, получим:

– 1 – 3 < 3 + 2 x – 3 < 3 – 3,

– 4 < 2 x < 0. Разделим каждую часть неравенства на 2, получим:

– 4 : 2 < 2 x : 2 < 0 : 2,

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на 4 группы:

1. Решение систем неравенств, содержащих дроби.

2. Решение двойных неравенств.

3. Решение систем трёх (и более) неравенств.

4. Решение заданий повышенной трудности.

I г р у п п а. № 890 (а, в), № 891 (б, г).

а)

; (–∞; 6).

в)

; [0,6; 5].

О т в е т: а) (–∞; 6); в) [0,6; 5].

б)

; (–2; –1).

г)

; .

О т в е т: б) (–2; –1); г) .

II г р у п п а. № 893(б; г), № 894 (а; в), № 895 (а).

б) –1 < ≤ 5 ;

– 3 < 4– а ≤ 15;

– 3 – 4 < – а ≤ 15 – 4;

– 7 < – а ≤ 11;

– 11 ≤ а < 7; [–11; 7).

г) –2,5 ≤ ≤ 1,5 ;

– 5 ≤ 1 – 3 у ≤ 3;

– 5 – 1 ≤ –3 у ≤ 3 – 1;

– 6 ≤ –3 у ≤ 2;

≤ у ≤ 2; .

О т в е т: б) [–11; 7); г) .

а) –1 ≤ 15 a + 14 < 44

; [–1; 2).

в) –1,2 < 1 – 2 y < 2,4

; (–0,7; 1,1).

О т в е т: а) [–1; 2); б) (–0,7; 1,1).

а) –1 < 3 y – 5 < 1;

4 < 3 y < 6;

1 < y < 2.

О т в е т: при 1 < y < 2.

III г р у п п а. № 898 (а, в), № 899 (б).

Обращаем внимание, что в системе три неравенства, значит, решением является пересечение трёх числовых промежутков.

а) ; (8; +∞).

в) ; (10; 12).

О т в е т: а) (8; +∞); в) (10; 12).

б)

; (1; 4).

IV г р у п п а (для сильных в учебе учащихся).

1. При каких значениях а система неравенств не имеет решений?

Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы (4; +∞) (–∞; а ) = .

Это верно, если а ≤ 4.

О т в е т: при а ≤ 4.

x 2 + 2 xa + a 2 – 4 = 0 – квадратное уравнение.

D ₁ = a 2 – ( a 2 – 4) = 4, D ₁ > 0, значит, уравнение имеет два различных корня. Найдём их:

x ₁ = – a + = – a + 2 = 2 – a ;

x ₂ = – a – = – a – 2.

Так как оба корня должны принадлежать интервалу (–6; 6), то одновременно выполняются условия:

; –4 < a < 4.

О т в е т: при –4 < a < 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы неравенств?

– Каков алгоритм решения системы неравенств?

– Какими способами можно решить двойное неравенство?

– В чём сущность решения системы, содержащей три и более неравенств?

Тестирование.

Каждое задание предполагает ответ «да» или « нет».

Является ли число -7 решением неравенства 3х>12?

Является ли число 10 решением неравенства 3х>12?

Является ли неравенство 2х-15>3х+6 строгим?

Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется на противоположный?

Можно ли почленно складывать верные неравенства одного знака?

Существует ли целое число, принадлежащее отрезку [-1,8;-1,6]?

Ответы:1) нет,2) да,3) да,4)нет,5)да,6)нет.

Домашнее задание:

повторить п. 32–35 (подготовка к контрольной работе); № 891 (а), № 895 (б), № 900 (а), № 889.

Рабочие листы
к вашим урокам

Рабочие листы
к вашим урокам

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

• Сейчас обучается 30 человек из 20 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

• Сейчас обучается 45 человек из 29 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

• Сейчас обучается 272 человека из 60 регионов

Игра по математике (9 класс) "Своя игра — знаток ОГЭ"

Выбранный для просмотра документ дополнительный материал.docx

Тестирование.

Каждое задание предполагает ответ «да» или « нет».

Является ли число -7 решением неравенства 3х>12?

Является ли число 10 решением неравенства 3х>12?

Является ли неравенство 2х-15>3х+6 строгим?

Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется на противоположный?

Можно ли почленно складывать верные неравенства одного знака?

Существует ли целое число, принадлежащее отрезку [-1,8;-1,6]?

Тестирование.

Каждое задание предполагает ответ «да» или « нет».

Является ли число -7 решением неравенства 3х>12?

Является ли число 10 решением неравенства 3х>12?

Является ли неравенство 2х-15>3х+6 строгим?

Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется на противоположный?

Можно ли почленно складывать верные неравенства одного знака?

Существует ли целое число, принадлежащее отрезку [-1,8;-1,6]?

Тестирование.

Каждое задание предполагает ответ «да» или « нет».

Является ли число -7 решением неравенства 3х>12?

Является ли число 10 решением неравенства 3х>12?

Является ли неравенство 2х-15>3х+6 строгим?

Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется на противоположный?

Можно ли почленно складывать верные неравенства одного знака?

Существует ли целое число, принадлежащее отрезку [-1,8;-1,6]?

Тестирование.

Каждое задание предполагает ответ «да» или « нет».

Является ли число -7 решением неравенства 3х>12?

Является ли число 10 решением неравенства 3х>12?

Является ли неравенство 2х-15>3х+6 строгим?

Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется на противоположный?

Можно ли почленно складывать верные неравенства одного знака?

Существует ли целое число, принадлежащее отрезку [-1,8;-1,6]?

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) x < 5; б) 1 – 3 х ≤ 0; в) 5( у – 1,2) – 4,6 > 3 у + 1.

2. При каких а значение дроби меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а) б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3 x – 7 < является числовой промежуток (–∞; 4)?

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) х ≥ 2; б) 2 – 7 х > 0; в) 6( у – 1,5) – 3,4 > 4 у – 2,4.

2. При каких b значение дроби больше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а) б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4 х + 6 > является числовой промежуток (3; +∞)?

В а р и а н т 3

1. Решите неравенство:

а) х > 1; б) 1 – 6 х ≥ 0; в) 5( у – 1,4) – 6 < 4 у – 1,5.

2. При каких т значение дроби меньше соответствующего значения выражения т – 6?

3. Решите систему неравенств:

а) б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5 х – 1 < является числовой промежуток (–∞; 2)?

В а р и а н т 4

1. Решите неравенство:

а) х ≤ 2; б) 2 – 5 х < 0; в) 3( х – 1,5) – 4 < 4 х + 1,5.

2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а) б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях т имеет смысл выражение +
+ ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 6 х + 11 >
> является числовой промежуток (1; +∞)?