Как построить точку симметричную данной

Построение

Из определения симметричных точек следует пока лишь, что для любой точки плоскости (слова «кроме центра О» будем в дальнейшем пропускать) однозначно определена симметричная ей точка. Хотелось бы, однако, не просто быть уверенным в ее существовании, но и уметь достаточно быстро ее построить циркулем и линейкой. Самое известное построение вытекает из следующего утверждения:

Пусть точка А лежит снаружи окружности ω с центром О, АМ и АN – касательные к окружности ω; прямые ОА и MN пересекаются в точке В. Тогда точки А и В симметричны относительно окружности ω.

Доказательство этого утверждения совсем не сложно.

Во-первых, точка В лежит на отрезке ОА, поскольку МВ является высотой прямоугольного треугольника ОМА.

Во-вторых, из подобия прямоугольных треугольников ОМА и ОВМ следует пропорция OM / OB = OA / OM, или ОА · ОВ = ОМ 2 , что и требовалось доказать.

Теперь можно построить точку, симметричную любой точке плоскости относительно данной окружности. Чертеж легко воспроизводится, как начиная с окружности и точки А снаружи нее, так и начиная с окружности и точки В внутри нее.

Однако, несмотря на простоту построения, оно, пожалуй, обладает определенным недостатком. Точки А и В названы «симметричными», относительно окружности, а вот само построение в каком-то смысле «несимметрично». Действительно, если точка А лежит снаружи окружности ω, то для построения надо сначала провести касательную, а потом опустить на прямую ОА перпендикуляр из точки касания. Если же данная точка лежит внутри окружности, то построение ведется в обратном порядке; сначала – перпендикуляр, потом – касательная.

Хотелось бы найти такое построение, чтобы оно «работало» совершенно одинаковым образом, независимо от того, как именно расположена исходная точка, внутри или снаружи окружности. Это построение получается из следующей задачи

Задача 2

Пусть К, M, N – произвольные точки на окружности ω; р – серединный перпендикуляр к отрезку MN. Тогда прямые KM и KN пересекают прямую р в точках А и В, симметричных относительно окружности ω.

Как и в предыдущем случае, достаточно найти на чертеже подходящие подобные треугольники.

Необходимо также доказать, что точка О не может лежать между точками А и В.

Используя полученный результат, проводим построение точки, симметричной данной точке А, следующим образом:

Проведем прямую ОА и произвольную секущую, проходящую через точку А, и пересекающую окружность ω в точках М и К.

Опустим из точки М перпендикуляр на прямую ОА и продолжим его до пересечения с окружностью в точке N.

Прямая KN пересекает ОА в искомой точке В.

Л егко видеть, что если на нашем чертеже просто поменять местами буквы А и В, а также М и N, то описание построения вообще не изменится. Последовательность действий останется той же самой, поскольку произвольную секущую КМ можно провести, как из внутренней точки окружности, так и из внешней, а для построения безразлично лежит исходная точка А на отрезке КМ или на его продолжении.

Заметим также, что первый способ построения является вырожденным случаем второго, при котором точки М и К сливаются, а секущая превращается в касательную. Если попытаться аккуратно провести все построения циркулем и линейкой, то преимущества второго способа становятся очевидными. Действительно, отрезок MN можно заменить подходящей дугой окружности с центром, лежащим на прямой ОА. Тогда для построения надо провести всего три прямые и одну окружность.

Сравнение явно не в пользу первого способа, где по ходу построения надо проводить перпендикуляры или делить отрезок пополам, что требует проведения дополнительных прямых и окружностей.

Осевая и центральная симметрии

Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке А относительно данной прямой .

Пусть дана точка А и прямая .

Точку симметричную точке А относительно прямой , можно построить так. Проведем через точку А прямую , перпендикулярную прямой . Для этого используем чертежный угольник. Прикладываем чертежный угольник так, как показано на рисунке ниже и проводим прямую через точку А.

Пусть прямые и пересекаются в точке О. Отложим при помощи линейки на прямой отрезок ОА₁, равный отрезку ОА.

Получаем точки А и А₁, которые симметричны относительно прямой .

Также можно построить фигуры, симметричные относительно прямой.

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .

Пусть дан треугольник АВС и прямая .

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно прямой />(алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой />.

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Если фигура имеет ось симметрии (прямая ) то, все точки этой фигуры, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек.

Центральная симметрия

Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка ММ1 (смотри рисунок ниже).

Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке М относительно данной точки О.

Пусть даны точки М и О. Точку, симметричную точке М относительно точки О, можно построит так. Проведем луч МО.

На луче МО отложим отрезок ОN , равный отрезку ОМ.

Точки М и М₁, которые симметричны относительно точки О.

Также можно построить фигуры, симметричные относительно точки.

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно точки О (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно точки, равны.

Рассмотрим окружность с центром в точке О. Все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно точки О.

В таком случае говорят, что окружность имеет центр симметрии — точку О.

Также центр симметрии имеют такие фигуры, как отрезок, прямоугольник, эллипс.

Конспект урока "Построение точки, симметричной данной, относительно центра симметрии" 7 класс

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Математика — еще материалы к урокам:

Предметы

• Алгебра
• Английский язык
• Биология
• География
• Геометрия
• ИЗО
• Информатика
• История
• Литература
• Математика
• Музыка
• МХК
• Начальная школа
• ОБЖ
• Обществознание
• Окружающий мир
• ОРКСЭ
• Педагогика
• Русский язык
• Технология
• Физика
• Физкультура
• Химия
• Экология

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g.

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g, надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g.

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему.

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g.

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g, достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

8) Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.