Касательные к окружности
Касательной к окружности называется прямая, имеющая с ней единственную общую точку. Если прямая касается сразу двух окружностей, то она называется их общей касательной. Различают внешнюю и внутреннюю касательные к двум окружностям. Если окружности лежат в одной полуплоскости от их общей касательной, то она называется внешней, если в разных полуплоскостях, то внутренней.
общая внешняя касательная
общая внутренняя касательная
Теорема о касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Обратная теорема о касательной. Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной.
Свойство отрезков касательных. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Свойство ОКРУЖНОСТИ, ВПИСАННОЙ В УГОЛ. Центр окружности, вписанной в угол, находится на биссектрисе угла.
Свойство ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. В четырехугольнике, описанном вокруг окружности, суммы длин противоположных сторон равны.
1. Докажите теорему о касательной.
2. Докажите обратную теорему о касательной.
3. Кресло-качалка, основание которого имеет форму дуги окружности, качается на горизонтальном полу. По какой траектории движется центр окружности?
4. Касательная параллельна хорде окружности. Докажите, что точка касания равноудалена от концов данной хорды.
5. а) Докажите свойство отрезков, касательных к окружности; б) Докажите свойство окружности, вписанной в угол.
6. Докажите свойство описанного четырехугольника. Что можно сказать о биссектрисах всех его углов?
7. Постройте окружность данного радиуса, вписанную в данный угол.
8. Постройте окружность, вписанную в данный угол и касающуюся одной его стороны в данной точке.
9. Даны две параллельные прямые и точка между ними. Постройте окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась данных прямых. Сколько таких окружностей можно провести?
10. В угол вписана окружность. Через точку ее касания с одной из сторон угла провели диаметр. Другой конец диаметра соединили со второй точкой касания окружности. Докажите, что полученный отрезок параллелен биссектрисе угла.
11. Окружность касается всех сторон трапеции. Под каким углом из ее центра видны ее боковые стороны?
12. Окружность вписана в угол, причем расстояние между точками ее касания со сторонами угла равно радиусу. Найдите величину угла.
13. Две окружности вписаны в угол 60°, причем одна проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов.
14. На большем основании трапеции как на диаметре построили окружность. Оказалось, что она проходит через середины ее боковых сторон и касается другого основания. Найдите углы трапеции.
15. Прямая касается окружности радиуса 1 в точке А. Хорда АВ образует с касательной угол 60°. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки В на касательную.
К задаче 15 К задаче 16
16. Окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений двух других его сторон в точках М и К. Докажите, что отрезки AM и АК равны половине периметра треугольника.
17. Сторона квадрата равна 1. Прямая проходит на расстоянии 1/2 от его центра и отсекает от квадрата треугольник. Найдите периметр этого треугольника.
18. (Формула для отрезка касательной окружности, вписанной в треугольник.) В треугольник вписана окружность. Докажите, что расстояние х от его вершины до ближайшей к ней точк а+Ь—с, касания, указанное на рисунке, равно —^— = Р
С > г Д е я, Ь, с — стороны треугольника, ар — половина периметра треугольника.
19. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взяли точку К. В треугольники АВК и СВК вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком ВК, если АК — 2,СК = 5.
20. Окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Найдите указанное на рисунке расстояние х от его вершины до одной из точек касания, если стороны треугольника равны а, Ъ, с.
21. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.
22. Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4, 5. Найдите радиус окружности, касающейся его гипотенузы и продолжений двух катетов.
23. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Через точку ее касания с катетом проведена прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две другие точки касания. Эта прямая разбивает второй катет на два отрезка. Докажите, что меньший из них равен радиусу данной окружности.
24. Каждая из двух окружностей касается боковой стороны треугольника и продолжений двух других. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки равны.
25. Пятиугольник описан вокруг окружности, причем все его стороны равны. Докажите, что все углы пятиугольника тоже равны.
26. Одна из сторон треугольника равна с. В противоположный от нее угол вписаны две окружности, которые касаются данной стороны в двух точках. Найдите расстояние между этими точками, если две другие стороны треугольника равны а и Ъ.
27. В обозначениях предыдущей задачи найдите расстояние между точками касания двух данных окружностей с одной из сторон угла.
28. Две стороны треугольника равны 5 и 7. В угол, образованный этими сторонами, вписаны две окружности, которые касаются третьей стороны треугольника в двух точках. Найдите его третью сторону, если указанные точки делят ее на три равные части.
29. Окружность касается всех сторон четырехугольника ABCD. Продолжения его противоположных сторон АВ и CD пересекаются в точке М, а продолжения сторон ВС и AD — в точке К. Докажите, что BK + BM = DK + DM.
30. Окружность касается двух сторон треугольника и двух медиан, проведенным к этим сторонам. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.
31. Радиус одной из окружностей равен 1. Найдите радиус другой окружности, если длины отрезков их общих внутренней и внешней касательных равны 3 и 5.
*32. На стороне АС треугольника АВС взяли произвольную точку М. В треугольники АВМ и СВМ вписали окружности. Общая внутренняя касательная к этим окружностям, отличная от прямой ВМ, пересекает АС в точке К. Докажите, что точка К не зависит от выбора точки М.
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
Как найти расстояние между точками касания окружности
Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA , со стороной AC , если
а) AB = 5, BC = 7, CD = DA ;
б) AB = 7, BC = CD , DA = 9.
Подсказка
Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника ( x = p — a ).
Решение
а) Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке K , а вписанная окружность треугольника CDA — в точке M . Поскольку расстояние от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника, то
Касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся окружности.
Касающимися окружностями называются такие две окружности, которые имеют лишь одну общую точку. Точка касания окружностей и их центры лежат на одной прямой.
Линией центров называется прямая, проходящая через центры двух окружностей.
Окружности радиусов r и R с центрами и касаются внешним образом тогда и только тогда, когда .
Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами и касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда .
1. Найдите отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов r и R, касающихся внешним образом.
2. Три окружности касаются внешним образом. Расстояние между центрами окружностей равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите радиусы окружностей.
3. Три окружности, радиусы которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания этих окружностей.
4. В полукруг радиуса R вписаны две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга. Найдите их радиус.
Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R − r.
Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
1. Две пересекающиеся окружности имеют общую касательную. Расстояние между точками касания равно 4. Расстояние между центрами окружностей равно 5, а радиус меньшей окружности равен 2. Найдите величину радиуса большей окружности.
2. Две окружности радиуса 32 с центрами и , пересекаясь, делят отрезок на три равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих данных окружностей и касается отрезка .
3. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного вадрата, а для другой – стороной правильного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен 5.
4. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиус окружностей.
Две окружности радиусов r и R (r < R) не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами больше, чем r + R, или меньше, чем R − r.
1.Найдите длины общих касательных к окружностям, радиусы которых равны R и r, а расстояние между их центрами равно ().
2. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная, касающаяся их в точках и и пересекающая стороны угла в точках и . Докажите, что .
1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) // Москва, Брянск, 2013., 195 с.
2. Интернет-ресурс http://www.alexlarin.net/
3. Интернет-ресурс https://math-ege.sdamgia.ru/
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М., Просвещение, 1989., 385 с.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Рекомендуем для прочтения:
Атмосферный воздух его физические и химические свойства, гигиеническое и экологическое значение» План лекции: 1. Физические свойства воздуха — температура, влажность, подвижность воздуха, атмосферное давление и их гигиеническое.
Основные принципы трудового права Принцип права – это краткое отражение сути правовых норм.
Квалификация преступления Термин квалификация происходит от латинского qualificatio – что означает определение качества, оценку чего-либо.
Ход расчета и построения проектных горизонталей Участок улицы, для которого необходимо построить проектные горизонтали, представлен на рисунке 2.
Примеры решения некоторых проблем пациента Приоритетная проблема: боль в эпигастральной области. Сестринский диагноз: боль в эпигастральной области вследствие образования язвы.
Взаимное расположение окружностей
При решении подобных задач полезно вспомнить следующие факты.
- При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.
- При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.
- Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R ≥ r )равно R + r при внешнем касании и R − r при внутреннем.
расположение центров окружностей относительно общей хорды
- В условии задач этого типа фигурируют две пересекающиеся окружности, но не указано расположение центров окружностей относительно их общей хорды.
При решении подобных задач полезно вспомнить следующие факты.
- Пересекающиеся окружности в точках А и В имеют общую хорду АВ.
- Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам
расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности
- В условии задач следующего типа фигурируют две окружности, одна из которых расположена внутри другой и касается хорды окружности большего радиуса
- Вычисления в этой задаче сводятся к применению теоремы Пифагора в треугольнике О1О2С, при этом расстояние О1А находится из теоремы Пифагора для треугольника МАО1
- Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно a, причем R r и a r + R. Найти расстояние между точками касания.
Пусть О1 – центр окружности радиуса R, О2 – центр окружности радиуса r, A1A2 и B1B2 – внешняя и внутренняя касательные соответственно. Из центра меньшей окружности опустим перпендикуляры O2K1 и O2K2 на радиус O1A1 и продолжение радиуса O1B1 соответственно.
Рассмотрим прямоугольные треугольники O1K1O2 (гипотенуза O1 O2 = a , катет O1 K1 = R — r ) и O1K2O2 (гипотенуза O1 O2 = a катет O1 K2 = R +r). Из теоремы Пифагора для этих треугольников получим:
- Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке A, а большую – в точке C. Известно, что AC = 3√2 . Найти BC
Поскольку в условии не сказано о типе касания окружностей (внешнее или внутреннее), то рассмотрим два случая.
- Если окружности касаются внешним образом, то проведем через точку B общую касательную KK1 (она перпендикулярна линии центров). Так как треугольники AO2B и COB1 равнобедренные и ∠ O2BA = ∠ O1BC , то они подобны по первому признаку подобия. Для подобных треугольников AO2B и O1BC можем записать
2. Окружности касаются внутренним образом. В этом случае при исходных числовых данных задача не имеет решения