Как найти изменение механической энергии

1.3.9. Полная механическая энергия тела. Законы сохранения и изменения энергии

. (1.3.57)

Кинетическая энергия системы частиц – величина аддитивная и представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы:

,

где N – число частиц в системе, m_i – масса i-той частицы, v_i – скорость i-той частицы.

* Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой. Математически условие консервативности силы выражается в виде:

,

* циркуляция консервативной силы по любому замкнутому контуру равна нулю.

Из определения консервативной силы следует:

работу консервативной силы можно представить как убыль некоторой скалярной функции , зависящей только от положения тела (частицы), которая называется потенциальной энергией:

Последняя формула является определением потенциальной энергии:

* Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной.

Так как определена только разность потенциальной энергии, то к выражению для потенциальной энергии можно добавить или вычесть любую постоянную величину. Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о начале отсчета потенциальной энергии (в какой именно точке считают U = 0).

Полная механическая энергия частицы – это сумма ее кинетической и потенциальной энергий:

Если на частицу действуют только консервативные силы, то с одной стороны dA = – dU , с другой (из второго закона Ньютона): dA = dK  – dU = dK,

d(K + U) = dE=0 

Е = const (1.3.58)

Выражение (1.3.58) – это закон сохранения полной механической энергии, который гласит:

* механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется.

Неконсервативные силы – силы, работа которых зависит от длины и формы пути. То есть, работа неконсервативных сил на замкнутом пути не равна нулю, с ними не связана потенциальная энергия.

Примеры: сила трения скольжения, сила вязкого трения.

Работа силы трения скольжения зависит не от перемещения тела, а от длины пути: A_тр = – Nl, и не равна нулю при возвращении тела в исходную точку.

Если на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы, то полная механическая энергия этой частицы сохраняться не будет:

dE = d(K + U) = dA_неконс. (1.3.59)

Выражение (1.3.59) является математическим выражением закона изменения полной механической энергии:

* Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех действующих на нее неконсервативных сил:

Потенциальная энергия системы частиц складывается из собственной потенциальной энергии U_соб (энергия взаимодействия частиц системы между собой) и внешней потенциальной энергии U_внешн:

U_сист = U_соб + U_внешн,

.

Здесь U_ij – потенциальная энергия взаимодействия i-той и j-той частиц системы; коэффициент 1/2 учитывает тот факт, что каждое слагаемое в двойной сумме учитывается дважды.

Если на каждую частицу системы действуют, кроме внутренних, также внешние силы, пусть тоже консервативные, то их работа равна убыли внешней энергии dA = – dU_внешн,

где .

Здесь U_i – потенциальная энергия i-той частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной (в отличие от собственной энергии U_соб).

В таком случае, полная механическая энергия системы частиц запишется так:

E = K_сист + U_соб + U_внешн.

* Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: E_сист = сonst. В такой системе отсутствуют любые неконсервативные силы (и внешние, и внутренние).

Заметим, что консервативность системы и закон сохранения энергии никак не связаны с замкнутостью системы.

Закон изменения полной механической энергии системы:

* Изменение полной механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил:

dE_сист = dA_неконс.

Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

, (1.3.60)

где m_i – масса i-той частицы, R_i – радиус окружности, по которой вращается i-тая частица,  – угловая скорость вращения тела.

Продифференцируем по времени формулу (1.3.60) и получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

.

* скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности результирующего момента сил относительно оси вращения.

dK_вращ = M_zdt = M_zd  K  K₂ – K₁ =  M_zd ,

* изменение кинетической энергии вращательного движения равно работе момента сил.

Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось вращения тела, проходящая через его центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Типичным примером такого движения является качение симметричного тела.

Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной) оси.

Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, запишется в виде

. (1.3.61)

Здесь V_С – скорость движения центра масс тела.

Пример 22. Однородный диск массы 1 кг и радиуса 1 м катится без трения и проскальзывания. Скорость центра масс диска составляет 1 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

Дано: m = 1 кг;

Решение. Данное движение диска является плоским, поэтому для кинетической энергии диска запишем формулу (1.3.61):

.

Найдем момент инерции диска, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр масс из (1.3.52):

I_C = (1/2) mR 2 ,

а угловую скорость вращения диска из (5.17): v = R.

= =

Пример 23. Небольшая шайба массы 1 кг, имея начальную скорость 10 м/с, останавливается, пройдя путь, равный 5 м. Найти силу трения, действующую на шайбу.

Дано: m = 1 кг;

Решение. В силу того, что во время движения на шайбу действует сила трения, полная механическая энергия шайбы изменяется, причем из (1.3.59) имеем:

dE = d(K + U) = dA_неконс или в интегральной форме, расшифровывая работу силы трения,

Е = A_неконс = F_тр Scos = – F_тр S, (1.3.62)

так как вектор силы трения противонаправлен перемещению шайбы, то есть  = 180, cos180 = – 1.

Запишем, чему равно изменение полной механической энергии шайбы, используя (1.3.62):

, откуда

= 10 (Н).

Пример 24. Резиновая шайба массы 1 кг, двигаясь со скоростью 1 м/с, соскальзывает с горки высотой 1 м и приобретает скорость V у подножия горки. Во время движения над шайбой была совершена работа сил трения А_тр = 1 Дж. Считая, что ускорение свободного падения составляет 10 м/с 2 , найти скорость шайбы V.

Дано: m = 1 кг;

g = 10 м/с 2 .

Решение. Поскольку во время движения шайбы на нее по условию задачи действует сила трения, полная механическая энергия шайбы изменяется. Запишем закон изменения полной механической энергии в интегральной форме:

Изменение полной механической энергии:

, откуда выразим скорость, которую приобретает шайба у подножия горки:

= 4,36 (м/с).

Полная механическая энергия

Энергия тела — физическая величина, которая показывает работу, совершаемую рассматриваемым телом в течение любого, в том числе неограниченного периода времени.

Объект, который совершает положительную работу, расходует частично энергию. В случае, когда положительную работу совершают над телом, его энергия возрастает. Если рассматривается отрицательная работа, то эффект будет противоположным. Таким образом, энергия выражается через физическую величину, характеризующую способность тела или системы взаимодействующих объектов совершать работу. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль (Дж).

Кинетическая энергия — это энергия тел, находящихся в движении.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В качестве движущихся тел рассматриваются не только перемещающиеся тела, но и объекты, которые вращаются. Кинетическая энергия возрастает по мере увеличения массы тела и скорости, с которой оно движется, то есть перемещается, либо вращается в пространстве. Кинетическая энергия определяется телом, по отношению к которому проводят измерения скорости рассматриваемого объекта. Для расчета кинетической энергии Ек тела, масса которого составляет m, движущегося со скоростью v, используют следующую формулу:

Потенциальная энергия — энергия тел или их частей, которые взаимодействуют друг с другом.

Потенциальная энергия тел отличается в зависимости от силы, которая на них воздействует:

• сила тяжести;
• сила упругости;
• архимедова сила.

Любая потенциальная энергия определяется силой взаимодействия и расстоянием между взаимодействующими телами или их частями. Для расчета потенциальной энергии выбирают какой-то условный нулевой уровень. В качестве примера потенциальной энергии можно рассмотреть энергию, которой будет обладать груз, поднятый на определенную высоту над поверхностью Земли, или сжатая пружина. Потенциальная энергия рассчитывается по формуле:

Энергия может трансформироваться из одного вида в другой. Так кинетическая энергия объекта может преобразоваться в его потенциальную энергию, и наоборот.

Механическая энергия тела — это сумма его кинетической и потенциальной энергий.

Механическая энергия любого тела определяется несколькими факторами:

1. Объект, относительно которого выполняют измерение скорости рассматриваемого тела.
2. Условные нулевые уровни, присущие всем разновидностям имеющихся у тела потенциальных энергий.

Данная величина является одной из основных характеристик тела. С помощью механической энергии определяют способность тела или системы объектов совершать работу по причине изменений скорости тела, либо взаимного положения тел, находящихся во взаимодействии.

Закон изменения и сохранения полной механической энергии

Закон сохранения и превращения энергии: энергия не может возникать ниоткуда, либо исчезать бесследно. Можно лишь наблюдать переход одного вида энергии в другой, либо от одного тела к другому.

Закон сохранения механической энергии: когда тела системы испытывают на себе воздействие силы тяжести или силы упругости, сумма кинетической и потенциальной энергии не будет изменяться, таким образом, механическая энергия сохраняется.

Изменение механической энергии системы тел определяется, как сумма работы внешних по отношению к системе тел и работы внутренних сил трения и сопротивления. Формула для расчета имеет следующий вид:

В случае замкнутой системы тел ее полная механическая энергия будет изменена только в том случае, когда совершается работа внутренних диссипативных сил системы таких, как сила трения:

Aвнешн = 0, то ΔW = Адиссип

Когда рассматривают консервативную систему тел, то есть при отсутствии сил трения и сопротивления, полная механическая энергия системы тел изменяется при работе внешних, относительно системы тел, сил:

Чему равна полная энергия, как изменяется по времени

Полная механическая энергия тела определяется суммой его кинетической и потенциальной энергии. Определение полной механической энергии справедливо в случае действия закона сохранения энергии, и ее постоянном значении.

В ситуации, когда тело движется без влияния внешних сил, включая отсутствие взаимодействия с другими телами, силы трения и силы сопротивления, полная механическая энергия тела не меняется со временем. С помощью формулы это утверждение можно записать следующим образом:

В реальном мире нельзя смоделировать таких идеальных ситуаций, в условиях которых объект полностью сохраняет свою энергию. Причиной этому является постоянное взаимодействие тела с другими телами, к примеру с молекулами воздуха или сопротивлением воздуха.

В случаях, когда сила сопротивления минимальна, и поступательное или другое движение наблюдают в относительно короткое время, подобную систему можно принять за теоретически идеальную. Как правило, закон сохранения полной механической энергии справедлив для тела, совершающего свободное падение, при вертикальном подбрасывании объекта или в случае колебательного движения тела такого, как маятник.

К примеру, во время вертикального подбрасывания тела наблюдают сохранение его полной механической энергии. Кинетическая энергия объекта при этом трансформируется в потенциальную, и наоборот. Амплитуда изменений энергий представлена на графике.

В зависимости от точки нахождения тела энергия будет рассчитываться следующим образом:

• самая верхняя точка при \(h = max\) , \(Eпот = mgh\) , \(Eкин = 0\) , \(Eполная = mgh\) ;
• средняя точка при \(h = средняя\) , \(Eпот = mgh\) , \(Eкин = mv2/2\) , \(Eполная = mgh + mv2/2\) ;
• самая нижняя точка при \(h = 0\) , \(Eпот = 0\) , \(Eкин = mv2/2\) , \(Eполная = mv2/2\) .

В начале пути тело обладает кинетической энергией, которая будет равна его потенциальной энергии в верхней точке траектории движения. Исходя из этого, можно использовать еще несколько полезных формул. При известном значении максимальной высоты, на которую поднимется тело, максимальная скорость движения будет определена следующим образом:

При известном значении максимальной скорости, с которой движется тело, можно рассчитать максимальную высоту подъема тела, брошенного вверх. Формула будет иметь такой вид:

Закон изменения механической энергии с формулами

Механической энергией называют энергию, которая связана с движением тел, их возможностью совершать механическую работу, взаимодействовать.

Подчеркнем, что наличие энергии у тела объясняют две причины:

1. Перемещение тела с некоторой скоростью.
2. Пребывание тела в потенциальном поле сил.

Энергия, связанная с движением тела называется кинетической энергией.

Потенциальную энергию называют энергией положения, она связывается с нахождением тела в поле сил.

Находят механическую энергию как сумму:

• кинетической энергии тела (системы тел) ($E_k$) и
• потенциальной энергии тела (системы) $E_p$.

Кинетическая энергия

Допустим, что материальная точка, имеющая массу $m$, перемещается. Ее скорость равна $\vec v$. Это тело воздействует на второе тело (рис.1), которое соприкасается с первым, с силой $\vec F$.

Рисунок 1. Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

За промежуток времени $dt$ точка, к которой приложена сила (точка $A$ рис.1) совершит перемещение, равное:

$d\vec s=\vec v dt (1)$.

Это означает, что сила (материальная точка 1) совершает над телом 2 работу, равную:

$dA=\vec F d\vec s =\vec F \vec v dt(2).$

Материальная точка 1 выполняет работу, поскольку имеет запас энергии, мы знаем, что она перемещается, и, значит, у нее есть кинетическая энергия. При отсутствии движения мы имели бы $ds=0$, следовательно, была бы равна нулю работа $dA=0$.

На этом основании работу, которую совершает тело 1, будем считать равной уменьшению его кинетической энергии:

Учитывая формулу (2) получим:

$ dE_=-\vec F \vec v dt (4)$.

Из третьего закона Ньютона имеем (рис.1):

в результате скорость материальной точки 1 изменяется на величину $d\vec v$ за отрезок времени $dt$:

$ d\vec v = \frac <1>\vec F’ dt=-\frac <1>\vec F dt (6).$

Запишем скалярное произведение обеих частей уравнения (6) на величину $m\vec v$:

$m\vec v d\vec v=-\vec F \cdot \vec v dt (7).$

Выполним сравнение выражений (2) и (7), имеем:

Формула (8) показывает, что кинетическая энергия материальной точки определяется как:

где $p$ — модуль импульса тела.

Закон изменения кинетической энергии

Работа, которую совершают над телом ($A’$), равна увеличению его кинетической энергии:

Для доказательства данного утверждения следует воспользоваться выражением для элемента работы, которое мы запишем в виде:

$dA’=\vec F’\vec v dt (11),$

где $\vec F’$ — сила, которая совершает работу над телом; $\vec v$ — скорость тела. Используем второй закон Ньютона в виде:

следовательно, $m d\vec v=\vec F’ dt (13).$

Учитывая полученное в (13), имеем:

$dA’=m\vec v d\vec v=mvdv=d(\frac <2>)=d E_k (14)$.

Интегрирования выражения (14) приводит к результату:

Потенциальная энергия

Потенциальным полем называют силовое поле, которое выражается при помощи скалярной потенциальной функции ($U(x,y,z,t)$), зависящей от пространственных координат и времени. Данную функцию называют потенциальной. При этом сила, оказывающая воздействие на частицу, и потенциальная функция связаны соотношением:

Градиент скалярной функции – это вектор, который направлен в сторону наиболее быстрого увеличения данной функции, равный по величине скорости ее увеличения в этом направлении. Знак минус в формуле (16) показывает то, что сила имеет направление в сторону наиболее быстрого уменьшения функции $U$.

Частным случаем потенциальных полей являются поля, которые не зависят в явном виде от времени. Такие поля именуют консервативными. Для консервативных полей $U=U(x,y,z)$.

Иначе говорят, что тело (частица) находится состоянии стационарных внешних условий, например, в постоянном поле гравитации. В этом случае потенциальную функцию $U$ называют потенциальной энергией частицы во внешнем консервативном поле.

Обозначим потенциальную энергию как $E_p$, в таком случае выполняется равенство:

$\vec F=- grad E_p (x,y,z)(17).$

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля, в котором находится тело.

Потенциальную энергию имеют:

• система тел, находящихся во взаимодействии;
• тело в состоянии упругой деформации.

Закон изменения потенциальной энергии

Работа в потенциальном поле сил не зависит от пути.

Рассмотрим материальную точку, находящуюся в потенциальном поле сил. Каждую точку поля будем характеризовать значением $E_p(\vec r)$, где $\vec r$ — радиус – вектор точки поля.

Допустим, что величина функции $E_p(\vec r)$ в начальной точке равна:

Для получения величины $ E_ (\vec r_1)$ в некоторой точке 1 выполним следующее действие:

где $ A_<10>$ — работа, которую совершают над материальной точкой силы поля, когда перемещают ее из начальной точки в точку 1.

Так как работа в поле потенциальных сил не зависима от пути, то величина E_ является однозначной. Для второй точки по аналогии запишем:

Найдем разность $ E_— E_$, используя формулы (18) и (19), принимая во внимание, что $A_<20>=-A_<02>$

где $ A_<10>+A_<02>$ — работа, которую выполняют силы поля, если совершают перемещения тела из точки 1 в точку 2 через начальную точку. Но мы помним, что работа консервативных сил не будет зависеть от траектории движения тела, то есть работа при непосредственном перемещении из 1 в 2 будет такой же как из1 в 0, а потом в 2. Поэтому:

В результате мы имеем:

Выражение (22) показывает нам, что при помощи потенциальной энергии имеется возможность найти работу, которую силы потенциального поля совершают над телом при любом пути из точки 1 в точку 2. Данная работа будет равна уменьшению потенциальной энергии.

Энергия.

Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии.

Мы приступаем к изучению энергии — фундаментального физического понятия. Но предварительно нужно разобраться с другой физической величиной — работой силы.

Работа.

Пусть на тело действует постоянная сила и тело, двигаясь прямолинейно по горизонтальной поерхности, совершило перемещение . Сила не обязательно является непосредственной причиной перемещения (так, сила тяжести не является непосредственной причиной перемещения шкафа, который передвигают по комнате).

Предположим сначала, что векторы силы и перемещения сонаправлены (рис. 1 ; остальные силы, действующие на тело, не указаны)

Рис. 1.A=Fs

В этом простейшем случае работа определяется как произведение модуля силы на модуль перемещения:

Единицей измерения работы служит джоуль (Дж): Дж=Н м. Таким образом, если под действием силы 1 Н тело перемещается на 1 м, то сила совершает работу 1 Дж.

Работа силы, перпендикулярной перемещению, по определению считается равной нулю. Так, в данном случае сила тяжести и сила реакции опоры не совершают работы.

Пусть теперь вектор силы образует с вектором перемещения острый угол (рис. 2 ).

Рис. 2. A=Fs cos

Разложим силу на две составляющие: (параллельную перемещению) и (перпендикулярную перемещению). Работу совершает только . Поэтому для работы силы получаем:

Если вектор силы образует с вектором перемещения тупой угол , то работа по-прежнему определяется формулой (2) . В этом случае работа оказывается отрицательной.

Например, работа силы трения скольжения, действующей на тело в рассмотренных ситуациях, будет отрицательной, так как сила трения направлена противоположно перемещению. В этом случае имеем:

, и для работы силы трения получаем:

где — масса тела, — коэффициент трения между телом и опорой.

Соотношение (2) означает, что работа является скалярным произведением векторов силы и перемещения:

Это позволяет вычислять работу через координаты данных векторов:

Пусть на тело действуют несколько сил и — равнодействующая этих сил. Для работы силы имеем:

где — работы сил . Итак, работа равнодействующей приложенных к телу сил равна сумме работ каждой силы в отдельности.

Мощность.

Часто имеет значение быстрота, с которой совершается работа. Скажем, на практике важно знать, какую работу сможет выполнить данное устройство за фиксированное время.

Мощность — это величина, характеризующая скорость совершения работы. Мощность есть отношение работы ко времени , за которое эта работа совершена:

Мощность измеряется в ваттах (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с, то есть 1 Вт — это такая мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за 1 с.

Предположим, что силы, действующие на тело, уравновешены, и тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью . В этом случае существует полезная формула для мощности, развиваемой одной из действующих сил .

За время тело совершит перемещение . Работа силы будет равна:

Отсюда получаем мощность:

где -угол между векторами силы и скорости.

Наиболее часто эта формула используется в ситуации, когда — сила «тяги» двигателя автомобиля (которая на самом деле есть сила трения ведущих колёс о дорогу). В этом случае , и мы получаем просто:

Механическая энергия.

Энергия является мерой движения и взаимодействия любых объектов в природе. Имеются различные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная. . .

Опыт показывает, что энергия не появляется ниоткуда и не исчезает бесследно, она лишь переходит из одной формы в другую. Это самая общая формулировка закона сохранения энергии.

Каждый вид энергии представляет собой некоторое математическое выражение. Закон сохранения энергии означает, что в каждом явлении природы определённая сумма таких выражений остаётся постоянной с течением времени.

Измеряется энергия в джоулях, как и работа.

Механическая энергия является мерой движения и взаимодействия механических объектов (материальных точек, твёрдых тел).

Мерой движения тела является кинетическая энергия. Она зависит от скорости тела. Мерой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Она зависит от взаимного расположения тел.

Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией тела (принимаемого за материальную точку) называется величина

где — масса тела, — его скорость.

Кинетической энергией системы из тел называется сумма кинетических энергий каждого тела:

Если тело движется под действием силы , то кинетическая энергия тела, вообще говоря, меняется со временем. Оказывается, именение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе силы . Покажем это для случая прямолинейного равноускоренного движения.

Пусть — начальная скорость, — конечная скорость тела. Выберем ось вдоль траектории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы ). Для работы силы получаем:

(мы воспользовались формулой для , выведенной в статье «Равноускоренное движение»). Заметим теперь, что в данном случае проекция скорости отличается от модуля скорости разве что знаком; поэтому и . В результате имеем:

что и требовалось.

На самом деле соотношение справедливо и в самом общем случае криволинейного движения под действием переменной силы.

Теорема о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе, совершённой приложенными к телу внешними силами за рассматриваемый промежуток времени.

Если работа внешних сил положительна, то кинетическая энергия увеличивается (0′ alt=’\Delta K>0′ />, тело разгоняется).

Если работа внешних сил отрицательна, то кинетическая энергия уменьшается (, тело замедляет движение). Пример — торможение под действием силы трения, работа которой отрицательна.

Если же работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела за это время не меняется. Нетривиальный пример — равномерное движение по окружности, совершаемое грузом на нити в горизонтальной плоскости. Сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити всегда перпендикулярны скорости, и работа каждой из этих сил равна нулю в течение любого промежутка времени. Соответственно, кинетическая энергия груза (а значит, и его скорость) остаётся постоянной в процессе движения.

Задача. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью и начинает резко тормозить. Найти путь , пройденный автомобилем до полной остановки, если коэффициент трения шин о дорогу равен .

Решение. Начальная кинетическая энергия автомобиля , конечная кинетическая энергия . Изменение кинетической энергии .

На автомобиль действуют сила тяжести , реакция опоры и сила трения . Сила тяжести и реакция опоры, будучи перпендикулярны перемещению автомобиля, работы не совершают. Работа силы трения:

Из теоремы о кинетической энергии теперь получаем:

Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли.

Рассмотрим тело массы , находящееся на некоторой высоте над поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем.

Если тело находится на высоте , то потенциальная энергия тела по определению равна:

где — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Высоту не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Как мы увидим ниже (формулы (3) , (4) ), физическим смыслом обладает не сама по себе потенциальная энергия, но её изменение. А изменение потенциальной энергии не зависит от уровня отсчёта. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется исключительно соображениями удобства.

Найдём работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела. Предположим, что тело перемещается по прямой из точки , находящейся на высоте , в точку , находящуюся на высоте (рис. 3 ).

Рис. 3.A=mg(h1-h2)[/math]

Угол между силой тяжести и перемещением тела обозначим . Для работы силы тяжести получим:

Но, как видно из рис. 3 , . Поэтому

Учитывая, что , имеем также:

Можно доказать, что формулы (3) и (4) справедливы для любой траектории, по которой тело перемещается из точки в точку , а не только для прямолинейного отрезка.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках траектории. Иными словами, работа силы тяжести всегда равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. В частности, работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.

Сила называется консервативной, если при перемещении тела работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Сила тяжести, таким образом, является консервативной. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.

Потенциальна яэнергия деформированной пружины.

Рассмотрим пружину жёсткости . Начальная деформация пружины равна . Предположим,
что пружина деформируется до некоторой конечной величины деформации . Чему равна при этом работа силы упругости пружины?

В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегрирование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат.

Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин и и определяется формулой:

называется потенциальной энергией деформированной пружины (x — величина деформации).

что полностью аналогично формулам (3) и (4) .

Закон сохранения механической энергии.

Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкнутой системы тел.

Механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны и , в конечном положении — и . Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим .

По теореме о кинетической энергии

Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:

Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении:

Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения. Справедливо и более общее утверждение.

Закон сохранения механической энергии. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.

Закон изменения механической энергии.

Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое трение), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсервативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю.

Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрицательную работу . Работу консервативных сил (тяжести и упругости) по-прежнему обозначаем .

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех внешних сил:

В левой части стоит величина — изменение механической энергии тела:

Итак,при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине изменение механической энергии тела равно работе силы трения. Так как работа силы трения отрицательна,изменение механической энергии также отрицательно: механическая энергия убывает.
Справедливо и более общее утверждение.

Закон изменения механической энергии. Изменение механической энергии замкнутой системы равно работе сил трения, действующих внутри системы.

Ясно, что закон сохранения механической энергии является частным случаем данного утверждения.

Конечно, убыль механической энергии не противоречит общефизическому закону сохранения энергии. В данном случае механическая энергия превращается в энергию теплового движения частиц вещества и их потенциальную энергию взаимодействия друг с другом, т. е. переходит во внутреннюю энергию тел системы.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Энергия.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.