Ребро призмы
Так как призма – это геометрическое тело, в основаниях которого лежат одинаковые многоугольники, следовательно, все ее боковые ребра равны между собой, а если призма является правильной, то есть в основании находится правильный многоугольник, тогда и ребра при основании тоже равны друг другу. Если известна площадь боковой или полной поверхности призмы (в том случае если она прямая), то вычислить боковое ребро достаточно просто, так как оно совпадает с высотой по значению. 
Через площадь боковой поверхности все значительно упрощается, если многоугольник в основании правильный ( n – количество сторон правильного многоугольника, b – длина стороны). 
Для того чтобы найти боковое ребро призмы через площадь полной поверхности, необходимо будет знать площадь основания призмы. Рассчитать ее можно в разделе «Площади», где приведены формулы для различных геометрических фигур. 
Для правильных многоугольников в основании предлагается сразу смоделированная формула нахождения ребра призмы. 
Найти боковое ребро призмы через объем можно, разделив его на площадь основания: 
Найти боковое ребро правильной призмы можно по той же формуле, но уже минуя площадь основания через его сторону: 
Призма. Площади поверхностей. Объём
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Призма. Площади поверхностей. Объём»
Напомним, что призмой называется многогранник, у которого две грани – равные />-угольники, лежащие в параллельных плоскостях (эти грани называются основаниями призмы), а остальные />граней – параллелограммы.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие на основаниях призмы, называются боковыми рёбрами призмы.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Высотой призмы называется расстояние между основаниями.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней.
Площадью полной поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней и двух площадей оснований.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
Призма, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё название.
Рассмотрим наклонную призму. Здесь основания – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани – параллелограммы. Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Диагональ призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональное сечение проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, и является параллелограммом. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней. Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований.
Рассмотрим прямую призму. Здесь боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Боковые грани – прямоугольники. Высота равна боковому ребру. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (на боковое ребро). 
И рассмотрим ещё правильную призму. Здесь в основании лежит правильный многоугольник. Боковые рёбра перпендикулярны основанию. Боковые грани – равные прямоугольники.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задача первая. В основании прямой четырёхугольной призмы лежит четырёхугольник со сторонами 
см, 
см, 
см и 
см. Высота призмы равна 
см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Задача вторая. Дана шестиугольная наклонная призма с боковым ребром 
см. Периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, равен 
см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Задача третья. Дана прямая пятиугольная призма, в основание которой вписана окружность с радиусом см. Площадь основания призмы равна 
см 2 , боковое ребро призмы равно 
см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Задача четвёртая. Дана прямая четырёхугольная призма 
В основании призмы лежит прямоугольная трапеция с основаниями 
см, 
см и 
, в которую можно вписать окружность. Диагональное сечение 
призмы является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Задача пятая. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 
, диагональ боковой грани равна 
. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Задача шестая. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 
см 2 . Диагональ боковой грани равна 
см. Найдите наибольший возможный объём призмы, задаваемой этими условиями.
Правильная четырехугольная призма
При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:
Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)
Задача.
В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.
Решение.
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см
Ответ: 22 см
Задача
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Объем призмы и другие ее характеристики
Перед вами иллюстрированный гид о призме.
В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.
Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!
Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!
Призма — коротко о главном
Определение призмы:
Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
Виды призм:
Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.
Объем призмы
Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot \text\),
где \( <<\text>_<основания>>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.
Необычная формула объема призмы:
\( \text=<<\text >_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.
Площадь призмы
А теперь чуть подробнее…
Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.
Что такое призма
Давай ответим сперва картинками:
Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.
Остальные грани называются боковыми.
Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.
Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.
Важно знать, что:
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
- Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
- Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
- А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.
Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.
Определение призмы
Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Другие призмы называются наклонными.
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Высота призмы
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.
Объем призмы
Главная формула объема призмы
Необычная формула объема призмы
Площадь призмы
Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.
Свойства прямой призмы:
- Все боковые грани прямоугольники;
- Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
- Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
- У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.
Правильная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Тебе, скорее всего, может встретиться:
Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
Главная формула объема призмы
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда
– то же самое, что
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot боковое\ ребро\)
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:
\( \Large \text
=<<\text >_<\bot >>\cdot l\)\( <<\text
>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,\( l\) – длина бокового ребра
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.
Объем правильной треугольной призмы
Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).
Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:
Подставляем в формулу объёма:
Объем правильной четырёхугольной призмы
Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).
Ну, площадь квадрата долго искать не надо:
Объем правильной шестиугольной призмы
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Площадь поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.
Есть ли общая формула?
Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
Формулу можно написать для прямой призмы:
\( \displaystyle <<\text \), где \( \displaystyle P\) – периметр основания. Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз: Алексей Шевчук — ведущий мини-групп математика, информатика, физика +7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи Шикарный сайт, шикарное объяснение, без воды, спасибо вам большое�� Спасибо за шикарный отзыв! ) Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию Супер Aper! Рады помочь! Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам! Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене! Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье: Илья Дмитрий Regina Настя Женя Анна Жанна Николай Алексей Шевчук >_<боков.>>=\textСамые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Добавить комментарий Отменить ответ
7 комментариев
Muslim :Александр Кель :Арег :Александр Кель :Бася :Александр Кель :Александр Кель :
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу ��
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.