Внутри круга взяли произвольную точку а где на окружности нужно взять такую точку б

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом, ч.т.д.

3) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадраты со стороной a.⇒ этот параллелепипед — куб.

DA1В1С — прямоугольник, т.к. по т. о 3-х перпендикулярах диагонали А1D и В1С параллельных граней перпендикулярны ребрам А1В1 и DC . Проведем через середины АD и ВC прямые КМ и ОН параллельно А1D и В1C, соединим К и О, М и Н. Пересекающиеся КО и КА параллельны пересекающимся АА1 и АD. ⇒

Плоскость сечения МКОН параллельна плоскости DA1B1C ⇒ . Стороны сечения КМНО пересекают ребра АА1, ВВ1, ВС и AD в их середине. КМНО — прямоугольник.

В параллельных гранях диагонали А1D=B1C=a:sin45°=a√2

КМ и ОН –– средние линии ∆ АА1D и ВВ1С соответственно и равны половине А1D- равны

В первой задаче получаются несуразные дроби.

Вторая задача.
Порассуждаем немного.
Для того, чтобы ребра пирамиды, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, могли быть равными, их проекции должны быть равными. Такое может быть только если основание высоты пирамиды находится в центре гипотенузы прямогольного треугольника. Тогда два ребра имеют проекцию на гипотенузе, третье — медиане треугольника и все три наклонных и проекции оказываются равными.
Задача из тех, что можо назвать удобными для решения: стороны рассматриваемых треугольников из числа Пифагоровых троек, т.е. стороны в которых образуют группу прямоугольных треугольников.

По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют уравнению x² + y² = z²
Таковы, например: x = 3 , y = 4 , z = 5 или x = 5 , y = 12 , z = 13
Таких троек немало. Вот несколько, которые полезно помнить.
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15) ( две подчеркнутые использованы в решении задачи.

Вот и в этой задаче встречаются две таких тройки.
Одна — высота пирамиды , половина основания и боковое ребро составляют

тройку 12, 5 — катеты, 13 — гипотенуза. Поэтому без вычисления можно сказать, что гипотенуза основания равна 2*5.
Что касается второго катета основания — гипотенуза равна 10, один катет 6, второй обязательно будет 8 см. Т.е. стороны основания отосятся как 3:4:5
(6:8:10)
ответ: Второй катет основания равен 8 см.

Но можно пользоваться и теоремой Пифагора

Рисунок очень простой. Нарисовать прямоугольный треугольник ( так, чтобы он был похож на лежащий на плоскости). Из центра гипотенузы возвести высоту, соединить вершину с углами основания, нарисовать проекцию третьего ребра ( медиана основания)

Внутри круга взяли произвольную точку а где на окружности нужно взять

внутри круга взяли произвольную точку A. где на окружности нужно взять такую точку B что бы длина отрезка AB была наибольшей

Отрезок АВ должен проходить через центр круга. В этом случае его длина максимальна.

cos c = ac/cb = 15/25=0.6

большая боковая сторона трапеции равна 8 / sin 30° = 8 / 0,5 = 16 см.

поскольку в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть 8 + 16 = 24 см.

трапеция прямоугольная, поэтому ее высота равна меньшей боковой стороне, то есть 8 см.

таким образом, площадь трапеции s = 24 * 8 / 2 = 96 см².

при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов, которые попарно равны, а сумма неравных равна 180°.

примем один из этих углов за х. тогда второй будет 4 * х. получаем уравнение

Генерировать случайную точку внутри круга (равномерно)

Мне нужно создать равномерно случайную точку в пределах круга радиуса R.

Я понимаю, что просто выбирая равномерно случайный угол в интервале [0 . 2π) и равномерно случайный радиус в интервале (0 . R) Я бы закончил с большим количеством точек к центру, так как для двух заданных радиусов точки меньшего радиуса будут ближе друг к другу, чем для точек большего радиуса.

Я нашел запись в блоге это здесьЯ бы очень хотел понять, откуда он получает (2/R 2 )×r и как он получает окончательное решение.

обновление: через 7 лет после публикации этого вопроса я все еще не получил удовлетворительного ответа на фактический вопрос о математике алгоритма квадратного корня. Так я провел день сам пишу ответ. ссылка на мой ответ.

21 ответов

давайте как Архимед бы.

как мы можем генерировать точку равномерно в треугольнике ABC, где / AB / =|BC/? Давайте упростим это, распространившись на параллелограмм ABCD. Легко генерировать точки равномерно в ABCD. Мы равномерно выбираем случайную точку X на AB и Y на BC и выбираем Z такой, что XBYZ является параллелограммом. Чтобы получить равномерно выбранную точку в исходном треугольнике, мы просто складываем все точки, которые появляются в АЦП, обратно в ABC вдоль ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК.

Теперь рассмотрим кругу. В пределе мы можем думать о нем как о бесконечном множестве изоцелевых треугольников ABC с B в начале и A и C на окружности, исчезающе близких друг к другу. Мы можем выбрать один из этих треугольников, просто выбрав угол тета. Поэтому теперь нам нужно сгенерировать расстояние от центра, выбрав точку в Щепке ABC. Опять же, распространитесь на ABCD, где D теперь вдвое больше радиуса от центра круга.

выбор случайной точки в ABCD используя описанный выше метод. Выберите случайную точку на AB. Равномерно выберите случайную точку на BC. То есть. выберите пару случайных чисел X и y равномерно на [0, R], дающих расстояния от центра. Наш треугольник представляет собой тонкую полоску, поэтому AB и BC по существу параллельны. Таким образом, точка Z-это просто расстояние x+y от начала координат. Если x+y>R, мы складываемся обратно.

вот полный алгоритм для R=1. Надеюсь, вы согласитесь, что все очень просто. Он использует trig, но вы можете дать гарантию на сколько времени он будет возьмите, а сколько random() вызывает его потребности, не похож на забор сброса.

вот он в Mathematica.

как создать случайную точку в пределах круга радиуса R:

(если random() дает значение между 0 и 1 равновероятно)

если вы хотите преобразовать это в Декартовые координаты, вы можете сделать

почему sqrt(random()) ?

давайте посмотрим на математику, которая приводит к sqrt(random()) . Предположим для простоты, что мы работаем с единичным кругом, т. е. R = 1.

среднее расстояние между точками должно быть одинаковым независимо от того, как далеко от центра мы смотрим. Это означает, например, что, глядя на периметр круга с окружностью 2, мы должны найти в два раза больше точек, чем количество точек на периметре круга с окружностью 1.

С длины окружности (2πr) растет линейно с r, из этого следует, что количество случайных точек должно линейно расти с r. Другими словами, желаемое функция плотности вероятности (PDF) растет линейно. Поскольку PDF должен иметь площадь равную 1, а максимальный радиус равен 1, то есть

таким образом, мы знаем, как должна выглядеть желаемая плотность наших случайных значений. Теперь:как мы генерируем такое случайное значение, когда все мы имеют равномерное случайное значение между 0 и 1?

1. из PDF создайте кумулятивная функция распределения (CDF)
2. зеркало это вдоль y = x
3. применить полученную функцию к равномерному значению от 0 до 1.

звучит сложно? Позвольте мне вставить желтую коробку с небольшим количеством боковой путь, который передает интуицию:

• 1/5 из пунктов равномерно между 1 и 2, и
• 4/5 точек равномерно между 2 и 3.

. Итак, вернемся к генерации случайных значений радиуса, где наш PDF равен 2x.

Шаг 1: Создайте CDF:

Поскольку мы работаем с reals, CDF выражается как Интеграл PDF.

CDF(x) = ∫ 2x = x 2

Шаг 2: Зеркало CDF вдоль y = x:

математически это сводится к замене x и y и решения для y:

CDF: y = x 2
Обмен:x = y 2
Решить:y = √x
CDF -1 : y = √x

Шаг 3: примените полученную функцию к равномерному значению между 0 и 1

CDF -1 (random ()) = √random ()

что мы намеревались вывести: -)

вот быстрое и простое решение.

выбрать два случайных числа в диапазоне (0, 1), а именно a и b . Если b < a , поменять их местами. Ваша точка зрения (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

вы можете думать об этом решении следующим образом. Если взять круг, вырезать его, а затем выпрямить, получится прямоугольный треугольник. Масштабируйте этот треугольник вниз, и у вас будет треугольник из (0, 0) до (1, 0) to (1, 1) и (0, 0) . Все эти преобразования измените плотность равномерно. То, что вы сделали, — это равномерно выбрать случайную точку в треугольнике и обратить процесс, чтобы получить точку в круге.

обратите внимание на плотность точки пропорционально обратному квадрату радиуса, следовательно, вместо выбора r С [0, r_max] С [0, r_max^2] , затем вычислите свои координаты как:

это даст вам равномерное распределение точек на диске.

подумайте об этом таким образом. Если у вас есть прямоугольник, где одна ось-радиус, а одна-угол, и вы берете точки внутри этого прямоугольника, которые находятся рядом с радиусом 0. Все они будут падать очень близко к началу (то есть близко друг к другу по кругу.) Однако точки вблизи радиуса R все они будут падать вблизи края круга (то есть далеко друг от друга.)

Это может дать вам некоторое представление о том, почему вы получаете такое поведение.

фактор это выведено на этой ссылке говорит вам, сколько соответствующей области в прямоугольнике необходимо настроить, чтобы не зависеть от радиуса, как только он сопоставлен с кругом.

Edit: Итак, то, что он пишет в ссылке, которую вы разделяете, — «это достаточно легко сделать, вычисляя обратное кумулятивное распределение, и мы получаем для r:».

основная предпосылка здесь заключается в том, что вы можете создать переменную с желаемым распределением из равномерного, сопоставив равномерное обратным функция кумулятивной функции распределения желаемой функции плотности вероятности. Почему? Просто примите это как должное, но это факт.

вот мой somehwat интуитивное объяснение математики. Функция плотности f (r) по отношению к r должна быть пропорциональна самой r. Понимание этого факта является частью любой основной книги по исчислению. См. разделы об элементах полярной области. Некоторые другие плакаты упоминали об этом.

поэтому мы назовем его f (r) = C*r;

это, оказывается, большая часть работы. Теперь, поскольку F(r) должна быть плотностью вероятности, вы можете легко увидеть,что, интегрируя f (r) через интервал (0, R), вы получите, что C = 2/R^2 (это упражнение для читателя.)

таким образом, f(r) = 2*r/r^2

OK, так вот как вы получаете формулу в ссылке.

тогда конечная часть идет от равномерной случайной величины u в (0,1), которую вы должны отобразить обратной функцией кумулятивного функция распределения от этой желаемой плотности f (r). Чтобы понять, почему это так, вам нужно найти расширенный текст вероятности, такой как Papoulis, вероятно (или вывести его самостоятельно.)

интегрируя f (r), вы получаете F(r) = r^2/R^2

чтобы найти обратную функцию этого, вы устанавливаете u = r^2 / R^2, а затем решаете для r, что дает вам r = R * sqrt (u)

это полностью имеет смысл интуитивно тоже, u = 0 должно соответствовать r = 0. Кроме того, U = 1 shoudl map to r = R. Также, он идет по функции квадратного корня, которая имеет смысл и соответствует ссылке.

Это действительно зависит от того, что вы подразумеваете под ‘абсолютно случайная’. Это тонкий момент, и вы можете прочитать больше об этом на странице wiki здесь:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29, где одна и та же проблема, давая разные интерпретации «равномерно случайным» дает разные ответы!

в зависимости от того, как вы выбираете точки, распределение может варьироваться, даже если они равномерно случайны в некоторые чувство.

похоже, что запись в блоге пытается сделать ее равномерно случайной в следующем смысле: если вы берете подпругу круга с тем же центром, то вероятность того, что точка падает в этой области, пропорциональна площади области. Это, я считаю, пытается следовать теперь стандартной интерпретации «равномерно случайных» для 2D-областей с области, определенные на них: вероятность падения точки в любой области (с областью хорошо defined) пропорциональна площади этой области.

причина, по которой наивное решение не работает, заключается в том, что оно дает более высокую плотность вероятности точкам ближе к центру круга. Другими словами, окружность с радиусом r/2 имеет вероятность r/2 получить выбранную в ней точку, но имеет площадь (количество точек) pi*r^2/4.

поэтому мы хотим, чтобы плотность вероятности радиуса имела следующее свойство:

вероятность выбора радиуса меньшего или равного заданному r должна быть пропорциональна площадь окружности с радиусом r. (потому что мы хотим иметь равномерное распределение по точкам, а большие площади означают больше точек)

другими словами, мы хотим, чтобы вероятность выбора радиуса между [0, r] была равна его доле от общей площади круга. Общая площадь окружности равна pi * R^2, а площадь окружности с радиусом r равна pi * r^2. Таким образом,мы хотели бы, чтобы вероятность выбора радиуса между [0, r] была (pi*r^2)/(pi*R^2) = r^2/R^2.

теперь приходит математика:

вероятность выбора радиуса между [0, r] является интегралом от p(r) dr от 0 до r (это просто потому, что мы добавляем все вероятности меньших радиусов). Таким образом, мы хотим Интеграл(p(r)dr) = r^2/R^2. Мы можем ясно видеть, что R^2 является константой, поэтому все, что нам нужно сделать, это выяснить, какой p(r), когда он интегрирован, даст нам что-то вроде r^2. Ответ явно Р * постоянный. Интеграл (R * константа dr) = r^2/2 * константа. Это должно быть равно r^2/R^2, поэтому Константа = 2 / R^2. Таким образом, у вас есть распределение вероятностей p(r) = r * 2/R^2

Примечание:

вот мой код Python для генерации num случайные точки из окружности радиуса rad :

пусть ρ (радиус) и φ (Азимут) — две случайные величины, соответствующие полярным координатам произвольной точки внутри круга. Если точки распределены равномерно, то какова функция распределения ρ и φ?

где S1 и S0-площади круга радиус r и R соответственно. Таким образом, CDF можно дать как:

обратите внимание, что для r=1 случайная величина sqrt(X), где X равномерна на [0, 1), имеет этот точный CDF (потому что P[sqrt(X)

распределение φ, очевидно, равномерно от 0 до 2*π. Теперь вы можете создавать случайные полярные координаты и преобразовывать их в Декартовые, используя тригонометрические уравнения:

не могу сопротивляться сообщение кода python для R=1.

вы получите

решение на Java и пример распространения (2000 точек)

Я думаю, что в этом случае использование полярных координат является способом усложнить проблему, было бы намного проще, если вы выберете случайные точки в квадрат со сторонами длины 2R, а затем выберите точки (x,y) такое, что x^2+y^2<=R^2 .

Сначала мы генерируем cdf[x], который является

вероятность того, что точка меньше расстояния x от центра круга. Предположим, что круг имеет радиус R.

очевидно, если x равно нулю, то cdf[0] = 0

очевидно, если x — R, то cdf[R] = 1

очевидно, если x = r, то cdf[r] = (Pi r^2)/(Pi R^2)

это потому, что каждая «маленькая область» на круге имеет одинаковую вероятность быть выбранным, поэтому вероятность пропорционально этой области. И площадь, заданная расстоянием x от центра круга, равна Pi r^2

Итак, cdf[x] = x^2/R^2, потому что Pi отменяют друг друга

у нас есть cdf[x]=x^2/R^2, где x идет от 0 до R

поэтому мы решаем для x

Теперь мы можем заменить cdf случайным числом от 0 до 1

получаем полярные координаты

существует линейная зависимость между радиусом и количеством точек «рядом» с этим радиусом, поэтому ему нужно использовать распределение радиуса, которое также делает количество точек данных рядом с радиусом r пропорционально r .

я использовал один раз этот метод: Это может быть полностью неоптимизировано (т. е. он использует массив точек, поэтому его нельзя использовать для больших кругов), но дает достаточно случайное распределение. Вы можете пропустить создание матрицы и рисовать напрямую, если хотите. Метод состоит в рандомизации всех точек в прямоугольнике, которые попадают внутрь круга.

элемент площади в окружности dA=rdr*dphi. Этот дополнительный фактор R разрушил вашу идею случайно выбрать r и phi. В то время как phi распределен плоско, r нет, но плоско в 1/r (т. е. вы с большей вероятностью попадете в границу, чем «глаз быка»).

поэтому для генерации точек, равномерно распределенных по окружности, выберите phi из плоского распределения и r из распределения 1/R.

альтернативно используйте метод Монте-Карло, предложенный Мехрдад.

редактировать

чтобы выбрать случайную R-квартиру в 1/r, вы можете выбрать случайный x из интервала [1/R, бесконечность] и вычислить r=1 / x. r затем распределяется плоско в 1/r.

для вычисления случайного phi выберите случайный x из интервала [0, 1] и вычислите phi=2*pi*x.

Я не знаю, открыт ли этот вопрос для нового решения со всеми уже данными ответами, но я сам столкнулся с точно таким же вопросом. Я попытался «рассуждать» с самим собой для решения, и я нашел его. Это может быть то же самое, что некоторые уже предлагали здесь, но в любом случае здесь:

чтобы два элемента поверхности круга были равны, предполагая равные dr, мы должны иметь dtheta1/dtheta2 = r2 / r1. Пишу выражение вероятность этого элемента как P(R, тета) = Р

Отметьте точку а на окружности точку в внутри окружности

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Ответы к страницам 106-107 №408-418 ГДЗ к учебнику «Математика» 6 класс Дорофеев, Шарыгин

Глава 5. Окружность
Ответы к параграфу 5.1 Окружность и прямая

Задание № 408

Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а радиус окружности равен:
а) 3 см;
б) 4 см;
в) 6 см?
Подсказка. Сделайте схематический рисунок.

а) Прямая и окружность не имеют общих точек.

б) Прямая и окружность касаются друг друга.

в) Прямая и окружность пересекаются.

Задание № 409

Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку A. Постройте касательную к окружности в точке A.

Задание № 410

К окружности, радиус которой равен 6 см, проведены две параллельные касательные (рис. 5.3). Чему равно расстояние между ними?

6 + 6 = 12 (см) − расстояние между касательными.
Ответ: 12 см.

Задание № 411

Начертите две параллельные прямые. Постройте какую−нибудь окружность, для которой эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры?

Окружностей можно построить множество. Центры этих окружностей лежат на прямой, параллельной данным и равноудаленной от них.

Задание № 412

Прямая k и окружность пересекается в точках A и B. Прямая k перемещается к центру окружности параллельно самой себе. В какой момент длина отрезка AB будет наибольшей? Сделайте соответствующий рисунок.

Длина отрезка AB будет наибольшей, когда прямая k проходит через центр окружности. В этом случае отрезок AB будет являться диаметром окружности.

Задание № 413

Проведите прямую и постройте какую−нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая являются касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры?

Можно построить бесконечное множество таких окружностей. Их центры будут лежать по обе стороны от данной прямой на прямых, параллельных данной, на расстоянии, равному радиусу окружности 3 см.

Задание № 414

Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку M. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке M. Где лежат центры всех таких окружностей?

Центры окружностей лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой.

Задание № 415

Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, касающуюся всех сторон квадрата.

Задание № 416

Представьте данное число в виде произведения двух десятичных дробей (укажите два решения):
а) 0,12;
б) 0,064;
в) 0,0002;
г) 0,3.

б) 0,064 = 0,4 * 0,16 = 0,8 * 0,08

в) 0,0002 = 0,1 * 0,002 = 0,001 * 0,2

Задание № 417

Найдите значение каждого из выражений:
1) 25 − 3,6 * 1,5 + 2,5;
2) (25 − 3,6) * (1,5 + 2,5);
3) 25 − 3,6 * (1,5 + 2,5).

Задание № 418

1) В полиэтиленовый пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок в 1,5 раза больше. Не порвется ли пакет?
2) Представьте, что вы хотите помочь бабушке подготовить материал для изготовления шерстяного ковра из ниток разного цвета. Чтобы получить нужный узор, 1/10 всех ниток должна быть красного цвета, 2/5 − синего, 3/20 − коричневого, остальные − белого. У бабушки имеется 700 г ниток белого цвета. Рассчитайте, сколько граммов ниток каждого цвета надо взять для выполнения работы.

Точка внутри и вне окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом занятии мы изучим тему «Точка внутри и вне окружности». На этом итоговом уроке мы повторим понятие окружности, вспомним ее основные свойства. Рассмотрим примеры расположения точки внутри и вне окружности. Вместе с преподавателем решим несколько задач на эту тему.