Что такое факториал и как его вычислить
Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.
Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media
Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков — например, если вы обучаетесь программированию и знакомитесь с задачками на рекурсию или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.
Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.
Что такое факториал
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.
Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато — неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:
Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:
Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:
Для чего нужен факториал
Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.
Разберём на примере, как это работает.
Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям — каждому по одной. Задача — выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:
- первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;
- вторую — одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;
- третью — одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;
- четвёртую — одному из двух;
- пятую — последнему другу.
Получается, что способов раздать первую шоколадку — 5, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, а пятую — всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?
Смотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала — произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:
Выходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:
Конечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.
Какие свойства и формулы есть у факториалов
Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:
- Факториал нуля равен единице — 0! = 1.
- Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
- Рекурсия: n! = (n – 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.
Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.
Формула Стирлинга
Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:
Выглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру — например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).
Давайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:
Число e примерно равно 2,71, а π — 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:
Получили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным — например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:
Это уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.
Рекуррентная формула
Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа — (n – 1). Выглядит она так:
В целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл — слишком уж много вычислений это потребует.
Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.
Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов — в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:
Получим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.
Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения — факториала числа 1:
Можно записать это и в сокращённом виде:
Теперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:
Получили ответ — 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.
Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:
Можете попробовать запустить её в онлайн-интерпретаторе и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции — в программировании это называется глубиной рекурсии.
Шпаргалка: таблица факториалов
Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5040 |
| 8! | 40 320 |
| 9! | 362 880 |
| 10! | 3 628 800 |
| 11! | 39 916 800 |
| 12! | 479 001 600 |
Примеры задач на факториалы с решениями
С теорией вроде разобрались — теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.
Умножение факториалов
Задача: перемножить два факториала.
Решение:
Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:
Обратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.
Вычитание факториалов
Задача: вычесть из одного факториала другой.
Решение:
Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.
Вроде бы ничего сложного, главное — не запутаться в умножении.
Перемножение факториалов
Задача: умножить один факториал на другой:
Решение:
Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:
Во второй строке мы воспользовались таблицей выше и быстро нашли значение факториала от числа 8.
Сокращение факториалов
Задача: сократить дробь и вычислить её значение.
Решение:
Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:
В первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй — просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.
Разложение факториалов
Задача: сократить дробь.
Решение:
Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.
Главное — не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.
Что запомнить
- Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
- Его используют во многих областях науки — например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.
- Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.
- Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.
- Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.
Читайте также:
Натуральные числа — это числа, которыми мы считаем количество предметов. Например, 1, 2, 5, 20, 43. Натуральные числа не могут быть отрицательными, а также дробными — только положительными и целыми. Минимальное натуральное число — ноль, а максимальное — бесконечность.
Профессия Data Scientist
Освойте Data Science с нуля. Вы попробуете силы в аналитике данных, машинном обучении, дата-инженерии и подробно изучите направление, которое нравится вам больше. Отточите навыки на реальных проектах и станете востребованным специалистом.
Факториал
Алгебра в 9 классе полна сложных и загадочных слов. Например, факториал. Давайте разберемся, что это такое и как, что и зачем с ним собственно делать.
· Обновлено 8 августа 2023
Факториал: определение
Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».
Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:
- -3,75! 2,23! -2!
Число должно быть целое и положительное:
- 3! 56! 12!
| Формула факториала n!=1⋅2⋅3⋅. ⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n |
Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.
- 3! = 1*2*3 = 6
- 4! = 1*2*3*4 = 24
- 5! = 1*2*3*4*5 = 120
- 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6
Формулы и свойства факториала
Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.
| 1! = 1 |
| 2! = 2 |
| 3! = 6 |
| 4! = 24 |
| 5! = 120 |
| 6! = 720 |
| 7! = 5040 |
| 8! = 40320 |
| 9! = 362880 |
| 10! = 3628800 |
| 11! = 39916800 |
| 12! = 479001600 |
| 13! = 6227020800 |
| 14! = 87178291200 |
| 15! = 1307674368000 |
| 16! = 20922789888000 |
| 17! = 355687428096000 |
| 18! = 6402373705728000 |
| 19! = 121645100408832000 |
| 20! = 2432902008176640000 |
| 21! = 51090942171709440000 |
| 22! = 1124000727777607680000 |
| 23! = 25852016738884976640000 |
| 24! = 620448401733239439360000 |
| 25! = 15511210043330985984000000 |
Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:
- (n — 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)
- n! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n
- (n + 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n(n + 1)
С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.
Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.
 |
Рекуррентная формула
 |
- 5! = 5*(5 — 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
- 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720
Для решения примеров обращайтесь к таблице.
Примеры умножения факториалов:
- Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800
- Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
120 * 5040 = 604800
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Примеры решений
Давайте поупражняемся и решим пару примеров.
1. Сократите дробь:
При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n — 1)! * n
100! = 99! * 100
Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.
2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!
Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.
А можно потренироваться и разложить их:
8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440
3. Вычислите значение выражения:
7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7
Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.
4. Вычислите значение выражение:
Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48
Далее сокращаем все одинаковые множители.
5. Сократите дробь:
Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.
Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.
Пределы с факториалами
Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) \qquad (1) $$
Например, $5! = 4! \cdot 5 $, или $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 $.
Основная суть идеи:
- Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
- Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
- Вычисляем предел подходящим способом
Подставляя $x=\infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.
Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.
Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).
$$(2n+2)! = (2n+1)! \cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! \cdot (2n+2)\cdot(2n+3) $$
Выполняем замену в пределе на полученные выражения.
Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.
Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.
Понятно, что предел имеет неопределенность $\frac<\infty><\infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.
Как разложить факториал n 1. Почему факториал нуля равен единице? Бесплатный онлайн калькулятор факториалов
Как разложить факториал n 1. Почему факториал нуля равен единице? Бесплатный онлайн калькулятор факториалов
Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n! . Знак факториала «! » был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.
Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n .
Для удобства полагают по определению 0! = 1 . О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».
Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,
(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)! (1)
Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:
где е = 2,7182. — основание натуральных логарифмов.
Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.
Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.
Пример 1 . (n! + 1)! = (n! + 1) n!.
Пример 2 . Вычислить 10! 8!
Решение. Воспользуемся формулой (1):
Пример 3 . Решить уравнение (n + 3)! = 90 (n + 1)!
Решение. Согласно формуле (1) имеем
Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение
n 2 + 5n — 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.
Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! z!.
Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что
Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим
Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде
где y- натуральное число, больше 1.
Например, справедливы равенства
Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.
Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде
Р = q 10 k ,
где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.
Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 2 3 4 . 30 31 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.
Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,
из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.
Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.
Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32
существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно
число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.
Из полученных результатов следует, что 32!= 2 31 5 7 т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель
10 7 и, значит, оканчивается на 7 нулей.
Итак, в данном реферате определено понятие факториала.
Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!
При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство
(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)!
На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.
Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.
Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n! .
Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.
Рязановский А.Р., Зайцев Е.А.
Математика. 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. –М.:Дрофа, 2001.- (Библиотека учителя).
Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А.П.Савин.-М.:Педагогика, 1985
Математика. Справочник школьника. /Сост. Г.М. Якушева.- М.: Филолог. об-во «Слово», 1996.
Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n! . Знак факториала «! » был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.
Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n .
Для удобства полагают по определению 0! = 1 . О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».
Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,
(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)! (1)
Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:
где е = 2,7182. — основание натуральных логарифмов.
Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.
Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.
Пример 1 . (n! + 1)! = (n! + 1) n!.
Пример 2 . Вычислить 10! 8!
Решение. Воспользуемся формулой (1):
Пример 3 . Решить уравнение (n + 3)! = 90 (n + 1)!
Решение. Согласно формуле (1) имеем
Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение
n 2 + 5n — 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.
Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! z!.
Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что
Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим
Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде
где y- натуральное число, больше 1.
Например, справедливы равенства
Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.
Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде
Р = q 10 k ,
где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.
Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 2 3 4 . 30 31 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.
Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,
из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.
Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.
Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32
существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно
число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.
Из полученных результатов следует, что 32!= 2 31 5 7 т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель
10 7 и, значит, оканчивается на 7 нулей.
Итак, в данном реферате определено понятие факториала.
Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!
При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство
(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)!
На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.
Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.
Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n! .
Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.
Рязановский А.Р., Зайцев Е.А.
Математика. 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. –М.:Дрофа, 2001.- (Библиотека учителя).
Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А.П.Савин.-М.:Педагогика, 1985
Математика. Справочник школьника. /Сост. Г.М. Якушева.- М.: Филолог. об-во «Слово», 1996.
Комбинаторика – это, как и намекает само название, раздел математики, изучающий различные наборы или комбинации каких-либо объектов (элементов) – чисел, предметов, букв в словах и прочего. Очень интересный раздел.) Но по тем или иным причинам сложный для восприятия. Почему? Потому, что в нём сплошь и рядом фигурируют более сложные для визуального восприятия термины и обозначения. Если символы 10, 2, 3/4 и даже , или log 2 5 нам визуально понятны, т.е. мы можем их как-то «пощупать», то с обозначениями типа 15!, P 9 , , начинаются проблемы. Кроме того, в большинстве учебников эта тема излагается довольно сухо и затруднительно для восприятия. Надеюсь, данный материал хотя бы немного поможет решить эти проблемы и комбинаторика вам понравится.)
С комбинаторными задачами ежедневно сталкивается каждый из нас. Когда утром мы принимаем решение, как одеться, мы комбинируем те или иные виды одежды. Когда готовим салат, мы комбинируем ингредиенты. От того, какая комбинация продуктов выбрана, зависит результат – вкусно или невкусно. Правда, вопросами вкуса занимается уже не математика, а кулинария, но тем не менее.) Когда, играем «в слова», составляя маленькие словечки из одного длинного, мы комбинируем буквы. Когда открываем кодовый замок или набираем номер телефона, то комбинируем цифры.) Завуч школы составляет расписания уроков, комбинируя предметы. Футбольные команды на Чемпионате Мира или Европы распределяют по группам, образуя комбинации. И так далее.)
Комбинаторные задачи люди решали ещё в глубокой древности (магические квадраты, шахматы), а настоящий расцвет комбинаторики пришёлся на VI–VII века, во время широкого распространения азартных игр (карты, игральные кости), когда игрокам приходилось продумывать различные ходы и тем самым фактически также решать комбинаторные задачи.) Вместе с комбинаторикой в это же время зародился и другой раздел математики – теория вероятностей . Эти два раздела – очень близкие родственники и идут рука об руку.) И при изучении теории вероятностей мы не раз будем сталкиваться с задачами комбинаторики.
И начнём мы изучение комбинаторики с такого краеугольного понятия, как факториал .
Что такое факториал?
Красивое слово «факториал», но многих пугает и ставит в тупик. А зря. В настоящем уроке мы разберёмся и хорошенько поработаем с этим несложным понятием.) Это слово происходит от латинского «factorialis», что означает «умножающий». И неспроста: в основе вычисления любого факториала стоит обыкновенное умножение .)) Итак, что же такое факториал.
Возьмём какое-нибудь натуральное число n . Совершенно произвольное: хотим 2, хотим 10, — какое угодно, лишь бы натуральное.) Так вот, факториал натурального числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно . Обозначается вот так: n! То есть,
Чтобы не расписывать каждый раз это длинное произведение, просто придумали краткое обозначение. 🙂 Читается немного непривычно: «эн факториал» (а не наоборот «факториал эн», как может показаться).
Улавливаете идею?)) Отлично! Тогда считаем примеры:
Ответы (в беспорядке): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.
Всё получилось? Прекрасно! Считать факториалы и решать простейшие примеры с ними уже умеем. Идём дальше. 🙂
Свойства факториала
Рассмотрим не очень понятное с точки зрения определения факториала выражение 0! Так уж в математике договорились, что
Да-да! Такое вот интересное равенство. Что от единицы, что от нуля факториал один и тот же – единичка.)) Пока примем это равенство за догму, а вот почему это именно так, будет ясно чуть позже, на примерах.))
Следующие два очень похожих свойства:
Доказываются они элементарно. Прямо по смыслу факториала.)
Эти две формулки позволяют, во-первых, легко считать факториал текущего натурального числа через факториал предыдущего числа. Или следующего через текущий.) Такие формулы в математике называются рекуррентными .
Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами. Типа таких.
Как действовать будем? Последовательно перемножать все натуральные числа от 1 до 1999 и от 1 до 2000? Это одуреешь! А вот по свойствам пример решается буквально в одну строчку:
Или такое задание. Упростить:
Снова работаем прямо по свойствам:
Зачем нужны факториалы и откуда они появились? Ну, зачем нужны – вопрос философский. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает.)) На самом деле приложений у факториала великое множество. Это и бином Ньютона, и теория вероятностей, и ряды, и формула Тейлора, и даже знаменитое число e , которое представляет собой вот такую интересную бесконечную сумму:
Чем больше задаётся n , тем большее число слагаемых в сумме и тем ближе будет эта сумма к числу e . А в пределе при она станет равна в точности числу e . 🙂 Но об этом удивительном числе мы поговорим в соответствующей теме. А здесь у нас – факториалы и комбинаторика.)
Откуда же они взялись? Они взялись как раз из комбинаторики, с изучения наборов элементов.) Простейшим таким набором является перестановка без повторений . С неё и начнём. 🙂
Перестановка без повторений
Пусть в нашем распоряжении имеются два различных объекта. Или элемента . Совершенно любые. Два яблока (красное и зелёное), две конфеты (шоколадная и карамель), две книги, две цифры, две буквы – всего чего угодно. Лишь бы они были различными .) Назовём их A и B соответственно.
Что можно с ними делать? Если это конфеты, то их, конечно, можно съесть.)) Мы же пока потерпим и будем их располагать в различном порядке .
Каждое такое расположение называется перестановкой без повторений . Почему «без повторений»? Потому, что все элементы, участвующие в перестановке, различны . Это мы пока что для простоты так решили. Есть ещё перестановка с повторениями , где некоторые элементы могут быть одинаковыми. Но такие перестановки чуть сложнее. О них – позже.)
Итак, если рассматривается два различных элемента, то возможны такие варианты:
AB , B A .
Всего два варианта, т.е. две перестановки. Негусто.)
А теперь добавим к нашему набору ещё один элемент C . В этом случае перестановок станет уже шесть:
ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA .
Перестановки из четырёх элементов будем строить так. Сначала на первое место поставим элемент A . При этом оставшиеся три элемента можно переставить, как нам уже известно, шестью способами:
Значит, число перестановок с первым элементом A равно 6.
Но та же самая история будет получаться, если мы на первое место поставим любой из этих четырёх элементов. Они же равноправны и каждый заслуживает оказаться на первом месте.) Значит, общее число перестановок из четырёх элементов будет равно . Вот они:
Итак, подытожим: перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих n элементов .
Слово «упорядоченный» здесь является ключевым: каждая перестановка различается только порядком элементов , а сами элементы в наборе остаются прежними.
Осталось только выяснить, чему равно количество таких перестановок из любого числа элементов: мы ведь не мазохисты, чтобы каждый раз выписывать все различные варианты и их подсчитывать. 🙂 Для 4-х элементов мы получили 24 перестановки – это уже довольно много для наглядного восприятия. А если элементов 10? Или 100? Хорошо бы сконструировать формулу, которая одним махом подсчитывала бы число всех таких перестановок для любого числа элементов. И такая формула есть! Сейчас мы её выведем.) Но для начала сформулируем одно очень важное во всей комбинаторике вспомогательное правило, называемое правилом произведения .
Правило произведения: если в наборе имеется n различных вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m различных вариантов выбора второго элемента, то всего можно составить n·m различных пар из этих элементов.
А теперь, пусть теперь имеется набор из n различных элементов
,
где, естественно, . Нам нужно подсчитать число всех возможных перестановок из элементов этого набора. Рассуждаем точно так же.)) На первое место можно поставить любой из этих n элементов. Это значит, что число способов выбрать первый элемент равно n .
Теперь представим, что первый элемент у нас выбран ( n способами, как мы помним). Сколько невыбранных элементов осталось в наборе? Правильно, n-1 . 🙂 Это значит, что второй элемент можно выбрать уже только n-1 способами. Третий — n-2 способами (т.к. 2 элемента уже выбраны). И так далее, k-й элемент можно выбрать n-(k-1) способами, предпоследний – двумя способами, а последний элемент – только одним способом, так как все остальные элементы так или иначе уже выбраны. 🙂
Что ж, теперь конструируем формулу.
Итак, число способов выбрать первый элемент из набора равно n . На каждый из этих n способов приходится по n-1 способу выбрать второй. Это значит, что общее число способов выбрать 1-й и 2-й элементы, в соответствии с правилом произведения , будет равно n(n-1) . Далее, на каждый из них, в свою очередь, приходится по n-2 способа выбрать третий элемент. Значит, три элемента можно выбрать уже n(n-1)(n-2) способами. И так далее:
4 элемента — 
способами,
k элементов способами,
n элементов способами.
Значит, n элементов можно выбрать (или в нашем случае расположить) способами.
Число таких способов обозначается так: P n . Читается: «пэ из эн». От французского «P ermutation — перестановка». В переводе на русский означает: «перестановка из n элементов» .
А теперь посмотрим на выражение , стоящее в правой части формулы. Ничего не напоминает? А если переписать справа налево, вот так?
Ну, конечно! Факториал, собственной персоной. 🙂 Теперь можно кратко записать:
Значит, число всех возможных перестановок из n различных элементов равно n! .
В этом и состоит основной практический смысл факториала.))
Теперь мы с лёгкостью можем ответить на многие вопросы, связанные с комбинациями и перестановками.)
Сколькими способами можно разместить на полке 7 разных книг?
P 7 = 7! = 1·2 ·3·4·5·6·7 = 5040 способами.)
Сколькими способами можно составить расписание (на один день) из 6 разных предметов?
P 6 = 6! = 1·2 ·3·4·5·6 = 720 способами.
Сколькими способами можно расставить в колонну 12 человек?
Не вопрос! P 12 = 12! = 1·2 ·3·. ·12 = 479001600 способами. 🙂
На тему перестановок есть одна очень известная задача-шутка:
Однажды 8 приятелей зашли в ресторан, в котором стоял большой круглый стол, и долго спорили между собой, как им лучше сесть вокруг этого стола. Спорили-спорили, пока, наконец, хозяин ресторана не предложил им сделку: «Что же вы спорите-то? Голодным всё равно никто из вас не останется:) Сядьте для начала хоть как-нибудь! Хорошенько запомните сегодняшнюю рассадку. Затем приходите завтра и садитесь уже по-другому. На следующий день приходите и садитесь опять по-новому! И так далее… Как только вы переберёте все возможные варианты рассадки и настанет черёд сесть снова так, как сегодня, — то так уж и быть, обещаю вас кормить в своём ресторане бесплатно!» Кто останется в выигрыше – хозяин или посетители? 🙂
Что ж, считаем число всех возможных вариантов рассадки. В нашем случае это число перестановок из 8 элементов:
P 8 = 8! = 40320 способов.
Пусть в году у нас 365 дней (високосные для простоты учитывать не будем). Значит, даже с учётом этого допущения, число лет, которое потребуется, чтобы перепробовать все возможные способы посадки, составит:
Более 110 лет! То есть, даже если наших героев в колясках привезут в ресторан их мамы прямо из роддома, то получить свои бесплатные обеды они смогут только в возрасте очень преклонных долгожителей. Если, конечно, все восемь доживут до такого возраста.))
Всё потому, что факториал – ооочень быстро возрастающая функция! Смотрите сами:
Кстати сказать, как с точки зрения перестановок выглядят равенства и 1! = 1 ? А вот как: из пустого набора (0 элементов) мы можем составить только одну перестановку – пустой набор. 🙂 Так же, как и из набора, состоящего всего из одного элемента, мы тоже можем составить лишь одну перестановку – сам же этот элемент.
Всё понятно с перестановками? Отлично, тогда делаем задания.)
Задание 1
а) P 3 б) P 5
В) P 9:P 8 г) P 2000:P 1999
Задание 2
Задание 3
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить
а) из цифр 1, 2, 3, 4
б) из цифр 0, 5, 6, 7?
Подсказка к пункту б): число не может начинаться с цифры 0!
Задание 4
Слова и фразы с переставленными буквами называются анаграммами . Сколько анаграмм можно составить из слова «гипотенуза»?
Задание 5
Сколько пятизначных чисел, делящихся на 4, можно составить, меняя местами цифры в числе 61135?
Подсказка: вспомнить признак делимости на 4 (по двум последним цифрам)!
Ответы в беспорядке: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.
Ну как, всё получилось! Поздравляю! Уровень 1 пройден, переходим на следующий. Называется «Размещения без повторений. «
Запрос напоминает, почему число, поднятое до нулевой мощности, равно единице, запрос, который я разрешил в более ранней статье. Кроме того, позвольте мне заверить, что я ранее заверил, объясняя этот очевидный, бесстыдно принятый, но необъяснимый факт — отношение не является произвольным.
Существует три способа определить, почему факторный нуль равен единице.
Завершить шаблон
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Если, (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4
Тогда, логически, n! = 1 * 2 * 3 * 4
Или, n! = n * (n-1)! — (i)
Если вы внимательно посмотрите на эти тропы, картина покажет себя. Давайте завершим его, пока он не сумеет получить законные результаты:
Можно прийти к такому результату, просто подключив 1 для «n» в (i), чтобы получить:
Однако это объяснение ничего не говорит о том, почему факториалы отрицательных чисел не могут существовать. Давайте снова обратимся к нашему шаблону, чтобы узнать, почему.
Я бы согласился, что эти методы немного подозрительны; они кажутся лукавыми, неявными способами определения факториала нуля. Это похоже на споры в пользу соломы. Однако можно найти объяснение в поле, все его существование зависит от вычисления факториалов — комбинаторики.
Договоренности
Рассмотрим 4 стула, которые должны быть заняты 4 людьми. Первый стул может быть занят любым из этих четырех человек, так что в результате количество выборов будет 4. Теперь, что один стул занят, у нас есть 3 варианта, которые потенциально могут быть заняты для следующего председателя. Аналогичным образом, следующий стул представляет два варианта, и последний стул представляет один выбор; он занят последним человеком. Таким образом, общее количество выборов у нас есть 4x3x2x1 или 4 !. Или, можно сказать, что есть 4! способы организовать 4 разных стула.
Таким образом, когда значение «n» равно нулю, вопрос переводит к тому, каковы различные способы организации нулевого числа объектов? Один, конечно! Есть только одна перестановка или один способ ничего не устроить, потому что нечего устраивать. ЧТО? Честно говоря, это относится к ветви философии, хотя и к одному из неприятных или фальшивых представлений о том, что первокурсники доверяют после прочтения Ницше котировок на Pinterest.
Давайте рассмотрим пример, который включает в себя физические объекты, поскольку это может улучшить понимание. Факториалы также являются центральными для компьютерных комбинаций — процесса, который также определяет механизмы, но в отличие от перестановки порядок вещей не имеет значения. Разница между перестановкой и комбинацией заключается в различии между кодовым замком и чашей с меланжем из кубиков фруктов. Кодовые замки часто ошибочно называются «кодовыми замками», когда их на самом деле называют перестановками, поскольку 123 и 321 не могут их разблокировать.
Общая формула для определения количества путей «k» объектов может быть организована среди «n» мест:
Принимая во внимание, что для определения количества способов выбора или объединения объектов «k» из объектов «n»:
Это позволяет нам, скажем, определить количество способов, с помощью которых можно выбрать два шарика из мешка, который содержит пять шаров разных цветов. Поскольку порядок выбранных шаров не важен, мы ссылаемся на вторую формулу для вычисления влекущих комбинаций.
Итак, что, если значения «n» и «k» точно такие же? Давайте заменим эти значения и узнаем. Заметим, что факториал нуля получен в знаменателе.
Но как мы понимаем этот математический расчет визуально, с точки зрения нашего примера? Расчет по сути является решением вопроса, который задает вопрос: каково различное количество способов, которыми мы можем выбрать три шарика из сумки, содержащей только три шара? Ну, конечно! Выбор их в любом порядке не повлияет! Уравнение вычисления с одним и факториалом нуля оказывается * барабанным валом *
Что такое факториалы и как их решать
Факториал числа n, который в математике обозначают буквой латиницы n, после которой следует восклицательный знак!. Произносится голосом это выражение как “н факториал”. Факториал – это результат последовательного умножения между собой последовательности натуральных чисел с 1 и до искомого числа n. Например, 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720Факториал числа n обозначается латинской буквой n! и произносится как эн факториал. Представляет собой последовательное перемножение (произведение) всех натуральных чисел начиная с 1 до числа n. Например: 6! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720
Факториал имеет математический смысл, только тогда, когда если это число целое и положительное (натуральное). Этот смысл следует из самого определения факториала, т.к. все натуральные числа неотрицательные и целые. Значения факториалов, а именно результат умножения последовательности от единицы до числа n можно посмотреть в таблице факториалов. Такая таблица возможна, по причине того, что значение факториала любого целого числа известно заранее и является, так сказать, табличным значением.
По определению 0! = 1. То есть если имеется ноль факториал, то мы ничего не перемножаем и результат будет первым натуральным существующим числом, то есть один.
Рост функции факториала можно отобразить на графике. Это будет дуга, похожая на функцию икса в квадрате, которая будет стремиться быстро вверх.
Факториал – является быстрорастущей функцией. Она растет по графику быстрее, чем функция многочлена любой степени и даже экспоненциальная функция. Факториал растет быстрее многочлена любой степени и экспоненциальной функции (но при этом медленнее двойной экспоненциальной функции). Именно поэтому, чтобы посчитать факториал вручную могут быть сложности, так как результатом может получиться очень большое число. Чтобы не считать факториал вручную, можно воспользоваться калькулятором подсчёта факториалов, с помощью которого вы можете быстро получить ответ. Факториал применяется в функциональном анализе, теории чисел и комбинаторике, в которой имеет большой математический смысл, связанный с числом всевозможных неупорядоченных комбинаций объектов (чисел).
Бесплатный онлайн калькулятор факториалов
Наш бесплатный решатель позволяет расчитать факториалы онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте.