Как найти вероятность пересечения двух событий

Часть 4. Теория вероятностей. Объединение несовместных событий.

Теория вероятностей. Часть 4

Итак, сегодня у нас из теории вероятностей, задачи об объединении несовместных событий. Мы уже рассмотрели задачи на подбрасывание монеты и кубика, а также задачи средней трудности из ЕГЭ о пересечении независимых событий.

Объединение несовместных событий

Задача 4.1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Пусть событие А означает, что школьнику достался вопрос по теме «Ромб», событие В — вопрос по теме «Описанная окружность». По условию Р(А)= 0,1, Р(В) = 0,15. По условию события А и В несовместны. Искомая вероятность равна = Р(А) + Р(В) = 0,1+ 0,15 = 0,25.

Задача 4.2. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

1-й способ.

Обозначим через А событие «кофемолка прослужит больше года, но меньше двух лет», через В событие «кофемолка прослужит больше двух лет». События А и В несовместны (кофемолка не может прослужить меньше двух лет и одновременно больше двух лет). Объединением событий А и В является событие А и В «кофемолка прослужит больше года». По условию = 0,93, Р(В) = 0,81. Так как А и В несовместны, то = Р(А) + Р(В), откуда Р(А) = — Р(В) = 0,93 — 0,81 = 0,12.

2-й способ.

Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофемолка. Она может сломаться уже на первом году работы, может сломаться на втором году работы, а может проработать более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следующую таблицу:

Событие	сломалась на первом году	сломалась на втором году	сломалась после двух лет работы
Вероятность

Так как вероятность события «кофемолка прослужит больше года» равна 0,93, то вероятность противоположного события «кофемолка сломалась на первом году» равна 1 — 0,93 = 0,07. Вероятность события «кофемолка сломалась после первых двух лет работы» по условию равна 0,81. Вносим найденные значения в таблицу.

Событие	сломалась на первом году	сломалась на втором году	сломалась после двух лет работы
Вероятность	0,07	0,81

В таблице перечислены три несовместных события, одно из которых обязательно произойдёт. Поэтому сумма вероятностей в таблице должна быть равна 1. Следовательно, незаполненное искомое значение можно вычислить как 1 — 0,07 — 0,81=0,12.

Задача 4.3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24.

Обозначим через А событие «в автобусе менее 18 пассажиров», через В событие «в автобусе от 18 до 24» пассажиров. Тогда А U В это событие «в автобусе менее 25 пассажиров». По условию Р (А U В) = 0,91, Р(А) = 0,39. Так как события А и В несовместны, то = Р(А) + Р(В), откуда 0,91 = 0,39 + Р(В), Р(В) = 0,52. Ответ: 0,52.

Задачи об объединении пересечений событий

Задача 4.4. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.

Так как из 5 револьверов 2 пристреляны, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна $\frac {2}{5}=0,4$ . Вероятность схватить один из трёх непристрелянных револьверов равна $\frac {3}{5}=0,6$ .

Обозначим через А событие «Билл схватит пристрелянный револьвер и попадёт из него в муху». Так как события «Билл схватит пристрелянный револьвер» и «Билл попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, то Р(А) = $0,4\cdot 0,8=0,32$ .

Аналогично вероятность события В «Билл схватит непристрелянный револьвер и попадёт из него в муху» равна Р(В) = $0,6\cdot 0,25=0,15$ . События А и В несовместны (Билл не может одновременно стрелять как из пристрелянного, так и из непристрелянного револьвера). Искомая вероятность равна

= Р(А)+Р(В) = 0,32+0,15=0,47

Задача 4.5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Для отбраковки неисправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела неисправную батарейку» и «неисправная батарейка забракована». Вероятность события А «произведена и забракована неисправная батарейка» равна Р(А) = 0,05 • 0,98 = 0,049.

Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1- 0,05 = 0,95. Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Вероятность события В «произведена и забракована исправная батарейка» равна Р(В) = 0,95 • 0,08 = 0,076.

События А и В несовместны. Искомая вероятность равна = Р(А) + Р(В) = 0,049 + 0,076 = 0,125.

Задача 4.6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

1-й способ.

Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны 0,3, то вероятность ничьей равна 1-0,3-0,3 = 0,4. Команда выходит в следующий круг либо после двух выигрышей, либо после выигрыша и ничьей.

1)Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий находим как Р(А) = $0,3\cdot 0,3=0,09$ .

2)Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равна Р(В) = $0,3\cdot 0,4=0,12$

З. Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равна Р(В) = $0,4\cdot 0,3=0,12$

События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.

2-й способ.

Составим таблицу возможных результатов матчей и вероятностей этих результатов.

Числа в ячейках получаются по принципу таблицы умножения (умножение вероятностей соответствующих результатов первого и второго матчей), так как вероятности результатов первого и второго матча не зависят друг от друга. Жирным шрифтом в таблице выделены вероятности тех результатов, при которых команда выходит в следующий круг. Искомая вероятность равна 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.

Задача 4.7. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая-40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Вероятность купить стекло первой фабрики равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р (А) = 0,6 • 0,04 = 0,024.

Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна Р(В) = 0,4 • 0,03 = 0,012.

Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В.

= Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036.

Задачи о частоте

Задача 4.8. Вероятность того, что новый DVD — проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступили 130 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Частота события «гарантийный ремонт» равна $\frac {130}{2000}=0,065$ . От вероятности она отличается на 0,065 — 0,05 = 0,015.

Подведем итог

После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram.

Также рекомендую изучить простые задачи по теории вероятностей, «Центральные и вписанные углы. Задание № 3 ЕГЭ» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Артём Санников

Данная книга является руководством для начинающих специалистов в области анализа и обработки данных. В книге рассматривается язык SQL и его процедурное расширение PL/SQL от компании Oracle.

Операции над событиями. Теория вероятностей

Пересечение событий

Пусть есть события A и B, у каждого события есть набор элементарных исходов. Пересечением событий A и B называют то событие, в результате которого произошло и событие A и событие B, то есть случился некоторый элементарный исход, который одновременно принадлежит и событию A и событию B.

События не пересекаются

Если у событий A и B нет пересечения (отсутствует элементарный исход), то такая вероятность равна нулю.

События пересекаются

Если события A и B пересекаются (имеют некоторое общее количество элементарных исходов), то вероятность этого пересечения нельзя рассчитать по какой-то универсальной формуле. Эту вероятность нужно подсчитывать, рассматривая общие элементарные исходы.

Операции над событиями - Пересечение. Теория вероятностей

Объединение событий

Объединением событий A и B называют те события, в результате которых произошло или событие A, или событие B, то есть хотя бы одно из двух.

События не пересекаются

Если события A и B не пересекаются, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B).

События пересекаются

Если события A и B пересекаются, то есть у них есть общие элементарные исходы, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B) — вероятность пересечения событий P(A ∩ B)

Теория вероятностей. Операция над событиями: Объединение

Независимые события

События A и B независимы, если наступление одного события не влияет на другое событие.

Теория вероятностей. Независимые события

Практический пример

Будем рассматривать пример с игральным кубиком, для простоты и анализа нашего эксперимента введём следующие обозначения:

1 очко = ω1;
2 очка = ω2;
3 очка = ω3;
4 очка = ω4;
5 очков = ω5;
6 очков = ω6.

Событие A: выпало > 3 очков

Событие B: выпало нечетное число очков

Чтобы приступить к решению задачи выполняем анализ событий.

Анализ события A: этому событию соответствует три элементарных исхода

Анализ события B: этому событию соответствует три элементарных исхода

После анализа событий приступаем к пошаговому решению.

Рассмотрим теперь пересечение события A и B , то есть у нас должно выпасть > 3 очков и при этом число должно быть нечётное. В этом случае у нас есть один элементарный исход: < ω5>.

Отсюда мы можем посчитать вероятность этого события:

Теория вероятностей. Пересечение событий A и B

n – элементарный исход, который удовлетворяет нашим условиям;
N – общее количество исходов.

Далее рассмотрим объединение событий A и B . В данном случае у нас будет следующий набор элементарных условий

Обратите внимание: у нас отсутствует ω2, так как этот исход не фигурирует ни в событии A, ни в событии B.
Поэтому мы можем сказать, что вероятность объединения в этом случае будет:

Теория вероятностей. Объединение событий A и B

По факту мы решили задачу , но мы можем её решить намного быстрее, если воспользуемся формулой, которую изучили ранее:

Теория вероятностей, или Не стоит полагаться на случай

Понятия вероятности и случайности затрагивают практически все аспекты нашей жизни. Большинство своих решений мы принимаем, исходя из вероятности наиболее благоприятных для нас событий. Поэтому стоит хотя бы мало-мальски разбираться в теории вероятностей и научиться применять ее законы при решении различных житейских задач.

Обычно первое, что приходит на ум при упоминании о теории вероятности, — это игральные кости или карты. И то, и другое часто ассоциируется с азартными играми или другими занятиями, где все решает Его Величество Случай. Интересно, что сам термин “случайность” довольно точно передает суть понятия вероятности. Если говорить кратко, вероятность — это степень возможности какой-либо случайности.

Аристотель как-то заметил: “Вероятно и то, что много происходит невероятного”. Если перевести этот афоризм на математический язык, то можно выразить понятие вероятности следующим образом:

P = (количество реальных исходов) / (суммарное число реальных и возможных исходов),

где P — вероятность наступления события.

Значение P всегда будет выражено дробным числом в интервале [0, 1] (умножив это число на 100, можно выразить его в процентах). Чем выше значение P, тем больше вероятность наступления события. Если P = 0, говорят о невозможности наступления события; если P = 1, безоговорочно утверждают, что событие произойдет.

Теперь рассмотрим несколько простых, но убедительных примеров того, как работает выведенная нами формула вероятности.

Какова вероятность выпадения “тройки” при игре в кости?

На этот вопрос можно относительно быстро ответить с помощью интуиции. Но давайте попробуем применить нашу формулу. Игральный кубик имеет 6 сторон, но только 1 сторона отображает число “три”. Подставляя эти данные в формулу вероятности, получаем: P(“три”) = 1/6.

Какова вероятность вытянуть валета из колоды карт?

Снова задаем себе вопросы: сколько всего карт в колоде и какое количество в ней валетов? Мы знаем, что в обычной колоде 52 карты, по 4 фигурных экземпляра каждой масти, то есть в общей сложности 4 валета. Следовательно, вероятность вытянуть валета равна 4/52 или 1/13.

Оба приведенных выше примера довольно просты. Но они вполне годятся для того, чтобы в общих чертах ознакомить с теорией вероятностей человека, не искушенного в математике. Для решения более сложных задач используются куда более мудреные методы матанализа.

Вероятность объединения и пересечения

Объединение — это один из двух распространенных типов сложных событий (когда речь идет о двух или более объединенных событиях). Мы определяем вероятность объединения событий X и Y как вероятность того, что произойдет либо X, либо Y, либо и то, и другое. Из этого определения вытекают две различные формулы для вычисления вероятности. Рассмотрим каждую из них.

Объединение взаимоисключающих событий

Если события X и Y не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими. В этом случае мы используем следующую формулу:

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” в ходе игры в кости. Эти события не могут произойти одновременно, поэтому нам просто нужно сложить значения обеих вероятностей. Вероятность выбросить “пятерку” равна 1/6; вероятность выбросить “шестерку” также равна 1/6; следовательно, вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” равна 1/3.

Объединение событий, не исключающих друг друга

В случае, когда X и Y не являются взаимоисключающими, используется следующая формула:

Как вы заметили, эта формула похожа на предыдущую, но с добавлением вероятности событий X и Y, связанных между собой символом, похожим на перевернутую букву U. Это называется пересечением — вторым из двух распространенных типов сложных событий. Вероятность пересечения двух событий определяется как вероятность того, что события X и Y произойдут одновременно.

Остановимся на формуле пересечения, так как она чрезвычайно важна при вычислении вероятности не исключающих друг друга событий.

Классический пример, демонстрирующий эту формулу, — игральные карты. Предположим, мы хотим определить вероятность вытянуть из колоды карту пиковой масти или даму. Зная о не исключающих друг друга событиях, мы можем предположить, что в колоде есть карта, которая одновременно является дамой и относится к пиковой масти. Сначала определяем вероятности выбора карты пиковой масти, дамы и пиковой дамы, которые составляют 13/52, 4/52 и 1/52 соответственно. Итоговое значение вероятности получаем путем сложения первых двух дробей и вычитанием из этой суммы третьей дроби. В результате выходит 16/52 или 4/13.

Пересечение независимых событий

Теперь, когда вы уже познакомились с концепцией пересечения, давайте углубимся в нее еще больше. Обычно мы имеем дело с пересечением независимых событий, когда вероятность одного из них не влияет на вероятность другого. В этом случае формула пересечения выглядит следующим образом:

Например, если подбросить две монеты, то вероятность того, что обе они упадут решкой вверх, равна 0,5 * 0,5 = 0,25. Есть и альтернативный способ решения этой задачи. Для этого нужно вспомнить наше первое определение вероятности, представляющее собой соотношение количества происходящих событий к общему числу исходов. Сначала перечислим все возможные исходы при падении двух монет:

Сколько исходов может быть с выпадением двух решек? Только один из четырех.

Условная вероятность

Условной считается вероятность события X при условии наступления события Y.

(Обратите внимание, что это уравнение включает в себя выражение для пересечения, которое можно вывести следующим образом: P(X | Y) * P(Y). Такая версия формулы пересечения используется для событий, которые не являются независимыми друг от друга).

Предположим, в деканат поступила информация о посещении практики 41 студентом в течение недели. Используя эти данные, декан построил график и получил следующую картину:

из 22 первокурсников 9 посещали менее 3 дней, а 13 — более 3 дней;
из 19 второкурсников 12 посещали менее 3 дней, а 7 — более 3 дней.

Поможем декану выяснить вероятность посещения менее 3 дней практики студентами при условии, что его интересуют в первую очередь первокурсники:

P(< 3 дней | первокурсники).

Сначала вычислим вероятность пересечения. Из общего числа студентов (мы знаем, что практику проходил 41 человек) 9 первокурсников посетили менее 3 дней, так что эта вероятность составляет 9 / 41. Второе, что нам нужно определить, — вероятность быть первокурсником. Она равна 22 / 41. Отсюда условная вероятность будет равна (9 / 41) / (22 / 41), или 9 / 22.

Подведем итоги

Теперь вы имеете представление об основных принципах применения теории вероятностей. Ее формулы пригодятся вам в любом месте, будь то студенческая аудитория или исследовательская лаборатория. Ее законы позволят вам не полагаться на случай. Вычисляя и сопоставляя свои шансы и риски, вы сможете принимать верные решения в области медицины, статистики, финансов и многих других.

Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события

Разбираем основные понятия, решаем задачи и делаем первый шаг на пути к карьере в data science.

Кадр: фильм «Сумерки. Сага. Затмение» / West Video

Дмитрий Зверев

Продолжаем разбираться с математическими концепциями, на которых держится современное IT. Сегодня поговорим о теории вероятностей — разделе математики, который широко используется в машинном обучении, геймдеве, статистике и науке о данных.

Из этой статьи вы узнаете:

Что такое теория вероятностей

Теория вероятностей — это наука, которая изучает мир случайностей и пытается их предсказать. Здесь встречаются такие понятия, как «события» и «вероятности», у которых, в свою очередь, есть свои свойства и операции — о них мы поговорим чуть позже.

Проще всего продемонстрировать, как работает теория вероятностей, на примере подбрасывания монетки. В этом случае у нас есть два варианта: орёл или решка, а значит, шанс выпадения каждой из сторон одинаковый и составляет 50%.

Но как убедиться, что это действительно так? Например, я могу подбросить монетку десять раз, и мне магическим образом девять раз подряд выпадет орёл и один раз решка. Значит ли это, что шанс выпадения орла — 90%? Конечно, нет — и у этого есть научное объяснение.

Дело в том, что теория вероятностей рассматривает случайные события в рамках бесконечности. Иными словами, если мы будем подбрасывать монетку бесконечное количество раз, то шансы выпадения орла или решки будут приближаться к 50%.

В математике такая закономерность называется законом больших чисел, и этот закон — один из фундаментальных для data science. Фишка в том, что чем больше данных мы имеем на руках, тем точнее можно делать предсказания. Подробнее об этом читайте в статье «Математика для джунов».

Такая же логика работает и для других случайных явлений — например, шанс выпадания числа 5 на игральном кубике равен 1 к 6, а вероятность того, что молния ударит в одно и то же место дважды — примерно 1 к 500.

Теория вероятностей помогает нам предсказывать шанс возникновения различных событий, когда ответ не такой однозначный и на события влияет множество факторов.

Основные понятия

Мы упомянули слова «событие» и «вероятность», но не рассказали, что они вообще значат в контексте теории вероятностей. Давайте разбираться.

События

Событие — это всё, что может произойти, когда мы совершаем какое-то действие. Например, если мы бросаем монетку, то событие — это выпадение орла или решки. Чтобы обозначать события, используют заглавные буквы латинского алфавита. Например, для орла можем выбрать букву A, а для решки — B.

Существует много разных видов и классификаций событий, но в этой статье мы остановимся на основных четёрых:

Достоверные — те, которые точно произойдут. Если бросить стакан на пол, то с вероятностью 100% он полетит вниз.
Невозможные — те, которые никогда не произойдут. Если бросить тот же стакан на пол, то он никогда не полетит вверх (мораль: не стоит бросать стаканы на пол, если, конечно, вы не на МКС).
Случайные — те, которые могут произойти, а могут и не произойти. Например, если мы бросаем игральный кубик, то не можем с уверенностью сказать, что выпадет число 2.
Несовместимые — те, которые исключают друг-друга. Например, при подбрасывании монетки может выпасть либо орёл, либо решка — оба одновременно они выпасть не могут.

Если собрать все несовместимые события вместе, они будут называться полной группой событий. Это множество событий, одно из которых обязательно случится, если мы совершаем действие, а другие — не произойдут никогда. Например, когда мы бросаем игральный кубик, может выпасть только одна из сторон.

Вероятности

Вероятность — это число, которое обозначает шанс возникновения события. Например, вероятность выигрыша в лотерею может составлять 1 к 1 000 000.

Мы записывали значения вероятностей в процентах и отношениях, но математикам удобнее располагать их в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность равна 0, то событие никогда не произойдёт, а если 1 — точно произойдёт. Всё, что посередине, — это случайные события.

Самый простой способ вычислить вероятность — поделить число благоприятных событий на общее число возможных событий. Например, если всего в колоде 36 карт, а мы хотим достать короля пик, то вероятность этого события равна 1/36, или 0,03. Если бы нас устроил любой из королей, то вероятность была бы равна 4/36 — то есть 0,1.

К формулам мы ещё вернёмся, а пока отметим, что вероятность — это не всегда точное предсказание, а лишь оценка шанса возникновения события. Как следует из закона больших чисел, если шанс выпадения орла и решки равен 50%, это не означает, что они будут выпадать по очереди.

Ещё вероятность может быть условной — или зависеть от другого события. Например, если мы хотим вытащить любой туз из колоды карт, шанс равен 4/36. Но если до этого кто-то уже вытащил одного туза, то вероятность будет равна 3/35. Это потому, что в колоде стало на одну карту меньше и количество благоприятных событий тоже уменьшилось.

С определениями закончили — теперь давайте узнаем, как событиями можно управлять.

Что такое алгебра событий

Когда мы считаем вероятности, нас может устраивать более чем один результат событий. Или другая ситуация — нам может быть важно, чтобы два события выполнялись вместе. В таких случаях на помощь приходит алгебра событий. Разбираемся, какие действия она позволяет совершать.

Дисклеймер: в этом разделе мы не рассматриваем вычитание и дополнение событий, потому что они довольно сложны для первого знакомства с теорией вероятностей. Возможно, скоро мы выпустим о них отдельную статью.

Сложение (объединение) событий

Сумма двух событий A + B — это сложное событие, которое произойдёт, если случится или событие A, или событие B, или оба одновременно.

Допустим, мы хотим вычислить вероятность выпадения на кубике стороны с числами 2 или 4. Обозначим событие «выпадение стороны 2» как A, а событие «выпадение стороны 4» как B. Так как у кубика всего шесть граней, вероятность выпадения каждой из этих сторон равна 1/6.

А так как нас интересует либо событие A, либо событие B, мы ищем сумму этих событий — A + B. Вычисляем соответствующие вероятности:

Получается, что шанс выпадения стороны 2 или 4 при броске кубика равен 2 к 6, или 1 к 3, или 33%.

Правило сложения можно применять не только к двум событиям, но и к любому их количеству. Например, событие A + B + C + D произойдёт, если случится хотя бы одно из событий A, B, C, D или одна из их комбинаций, такая как A и C или A, C и D.

Умножение (пересечение) событий

Произведение событий A и B — это событие A × B, которое произойдёт, если случится и событие A, и событие B.

Допустим, мы бросаем монетку два раза и хотим понять, каков шанс, что оба раза выпадет решка. Напомним, что вероятность выпадения решки — 1/2.

Обозначаем события: A — решка выпадает первый раз, B — решка выпадает второй раз. Считаем вероятности:

Получаем, что шанс выпадения решки два раза подряд — 25%.

Как в случае с суммой, произведение событий можно считать для любого количества разных событий. Давайте продолжим пример с монеткой — теперь мы хотим, чтобы она выпала четыре раза подряд.

Добавляем два новых обозначения: C — решка выпадает третий раз, D — решка выпадает четвёртый раз. Вероятности всё те же, считаем их произведение:

Ответ — шанс выпадения решки четыре раза подряд равен 1 к 16, или 6,25%.

Сложение совместимых событий

Когда мы говорили о сложении вероятностей, мы использовали несовместимые события, поскольку при броске кубика может выпасть только одна сторона (или ребро, если вам сильно повезёт).

Теперь, когда мы познали тонкости вероятностного умножения, можно разобраться с тем, как складывать совместимые события. В этом случае из суммы двух событий нужно просто вычесть их произведение. Формула выглядит так:

P (A + B) = P (A) + P (B) — P (A ⋅ B)

Примером такого сложения может быть выбор случайных чисел. Допустим, у нас есть набор чисел от 1 до 10 и мы хотим найти вероятность того, что выбранное число будет или нечётным, или делиться на 7 без остатка.

Событие A — число нечётное. Вероятность выбрать именно его — 5/10.
Событие B — число делится на 7 без остатка. Вероятность — 1/10.

Так как число 7 удовлетворяет обоим условиям, мы имеем дело с совместимыми событиями — то есть они могут происходить одновременно. Подключаем формулу: сначала находим сумму вероятностей, а потом вычитаем из неё вероятность пересечения. Внимание на экран:

Вуаля! Получается, что шанс выполнения одного из двух событий равен 11/20, или 55%.

На этом с алгеброй событий закончим и перейдём к более классическим формулам. Но не пугайтесь, мы всё подробно объясним.

Ещё несколько формул теории вероятностей

Для начала — универсальная формула. Выглядит она так:

Разберёмся, что значат все эти буквы:

Функция P вычисляет вероятность того, что произойдёт событие, которое нас устраивает (A);
n обозначает общее число возможных событий;
m — число благоприятных исходов.

Например, попробуем вычислить по этой формуле вероятность выпадения решки:

Всё в порядке, формула работает.

Давайте усложним задачу: посчитаем вероятность того, что решка выпадет три раза. Для этого нужно разбить событие на несколько уникальных — например, выпадение решки при первом, втором и третьем бросках. Обозначим эти события как B, C и D.

Так как эти события зависимы друг от друга, нам нужно их перемножить — для этого подставляем в нашу формулу числа:

Всё верно — вероятность посчитали правильно.

Из этой формулы можно сделать несколько выводов:

Если вероятность равна единице — значит, она достоверная. Смысл в том, что из общего числа событий нам подходят все — то есть событие точно произойдёт.
Если вероятность равна нулю — значит, она невозможная. Всё из-за того, что нам не подходит ни одно из имеющихся событий.
Если вероятность находится в диапазоне от нуля до единицы — она случайная. Это значит, что общее число результатов больше нуля, но не все из них нам подходят.

Теперь вы знаете достаточно, чтобы решать простые задачи по теории вероятностей, чем мы и займёмся в следующем разделе.

Решаем задачи по теории вероятностей

При решении задач используйте главную формулу теории вероятностей, а также формулы сложения и произведения вероятности событий.

Задача 1. В колоде 52 карты. Мы решили вытащить из неё одну — найдите вероятность того, что это будет туз.

Число всех возможных событий — 52, так как в колоде 52 карты.
Число благоприятных событий — четыре, так как всего в колоде четыре туза.

Вычислим вероятность того, что из всех карт нам попадётся именно туз:

Теперь посчитаем сумму благоприятных событий:

Ответ: 4/52, или 1/13.

Задача 2. В кармане лежит шесть монет: две рублёвых, две пятирублёвых и две десятирублёвых. Мы по очереди достаём две из них случайным образом. Найдите вероятность того, что они обе будут одного номинала.

Сначала мы достаём первую монету. Это может быть или рубль, или пять, или десять. Получается, вероятность достать монету любого номинала — 1/3.

Теперь достаём вторую монету — она должна быть того же номинала, что и первая. Так как только одна из них удовлетворяет нашим критериям, вероятность этого составляет 1/5. А так как наши события связаны друг с другом, перемножаем вероятности обоих:

Ответ: 1/15.

Задача 3. Вы бросаете игральные кости с шестью сторонами. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.

Всего существует шесть различных комбинаций, которые дают сумму 7:

1 — 6;
2 — 5;
3 — 4;
4 — 3;
5 — 2;
6 — 1.

Общее число возможных результатов при бросании двух костей равно 6 × 6 = 36. Подставляем наши значения в формулу:

Ответ: 6/36, или 1/6.

Что дальше

В этой статье мы разобрались с базовыми понятиями теории вероятностей. Если хотите лучше разбираться в вопросе, хорошие лекции можно найти здесь и здесь. А на этом бесплатном курсе теория даётся сразу с примерами и упражнениями — полезно, если хотите отточить знания на практике.

Для общего развития можно почитать нашу статью «Математика для джунов» и статью о том, как устроена случайность в играх. А если вы всерьёз нацелены вкатиться в data science и хотите подтянуть математический бэкграунд, для вас есть курс «Основы математики для Data Science».

Читайте также:

Букву P используют потому, что на английский язык слово «вероятность» переводится как probability.