Как сравнить числа с разными степенями

Как сравнить числа с разными степенями и основаниями?

Из двух степеней с одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы больше та степень, показатель которой меньше. Из двух степеней с одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Как можно сравнивать числа?

Итак, для того, чтобы сравнить два числа, нужно определить, какое число больше, какое число меньше. И чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее.

Как сравнивать числа и корни?

Выведем правило. Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это 3), то необходимо сравнивать подкоренные выражения ( 4 и 6) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.

Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями?

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:am · an = am+nРазДваРаз(an)m = an· m(a · b)n = an · bn(a : b)n = an : bnan : bn = (a : b)n , гдеSep 29, 2020

Сравнить числа 8^80 и 6^90

При сравнении чисел с разными основаниями и разными степенями, нужно привести и левую часть, и правую части или к одному основанию степени, или одному показателю степени.

Преобразуем числа 8^80 и 6^90.

1) 8^80 = (2^3)^80 = (2^8)^30 = (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)^30 = (256)^30;

2) 6^90 = (2 * 3)^(3 * 30) = (6^3)^30 = (36 * 6)^30 = (216)^30.

Теперь можно сравнить два числа с одинаковыми показателями степени равном 30:

(256)^30>(216)^30, так как основание 256>216, а показатели степени 30 одинаковые.

Как сравнивать степени

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

№1. Сравнить значения выражений:

$1){\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}}u{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.$

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

${\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}} > {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.$

$2){(5,2)^{\sqrt 2 }}u{(5,2)^{\sqrt 3 }}.$

Сравниваем показатели степеней:

$\sqrt 2 < \sqrt 3 .$

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

${(5,2)^{\sqrt 2 }} < {(5,2)^{\sqrt 3 }}.$

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

$1){(0,21)^m} < {(0,21)^n}.$

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

$2){(\sqrt 5 )^m} < {(\sqrt 5 )^n}.$

$a = \sqrt 5 > 1,$

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями .

1) Для возрастающих функций ( x>0):

$\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x < a_2^x$

$\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}$

Для положительных значений аргумента

${(1,5)^x} < {2^x} < {3^x},$

${(1,5)^2} < {2^2} < {3^2}.$

Для отрицательных значений аргумента

${3^{ - x}} < {2^{ - x}} < {(1,5)^{ - x}},$

${3^{ - 4}} < {2^{ - 4}} < {(1,5)^{ - 4}}.$

sravnenie-stepenej

2) Для убывающих функций:

$\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x > a_2^x$

$\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}$

Для положительных значений аргумента

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},$

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^5}.$

Для отрицательных значений аргумента:

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - x}},$

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}.$

sravnit-stepeni

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

$\left. \begin{array}{l} a > 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} > 1,$

при отрицательных — меньшие 1:

$\left. \begin{array}{l} a > 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} < 1.$

Если основание меньше единицы — соответственно,

$\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} < 1,$

$\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} > 1.$

${\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}}u{(1,2)^{\sqrt 3 }}.$

$\left. \begin{array}{l} {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < 1,\\ {(1,2)^{\sqrt 3 }} > 1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < {(1,2)^{\sqrt 3 }}.$

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как вручную сравнивать разные степени каких-либо двух различных чисел?

В Интернете очень популярна тема сравнения неких двух разных степеней каких-либо двух различных чисел. Очень часто встречаются такие примеры на Ютюбе.

Возникает закономерный вопрос: есть ли гарантированный способ общего решения такой задачи, но при этом желательно ещё и без калькулятора?

Да, конечно, я слышал о логарифмировании. Проблема в том, что если прологарифмировать оба сравниваемых выражения типа a^b и c^d, то получатся числа a и c под знаком некоего логарифма, к примеру десятичного. С калькулятором это вычисляется без труда, тут я не спорю. А без него? Я привык все мои задачи решать без калькулятора. Что, если a и c будут крупными простыми числами?

Итак, существует ли какой-нибудь общий алгоритм того, как можно в общем случае сравнить a^b и c^d, не применяя при этом калькулятор, компьютер и прочие приборы?

Только добавлю, что чаще там попадаются отнюдь не кубы, а что-то гораздо более солидное в показателе.

Тут на помощь могут прийти знания бинома Ньютона, как ни странно. Во всяком случае, в таких простых случаях, как в примере из вопроса. "1+что-то" в какой-то степени приблизительно равно 1 + "что-то", умноженное на показатель степени, плюс всё остальное из биномиального разложения суммы. И из-за этого "всего остального" 1.01³ заведомо больше 1,03.

А вот в случае 0,97 и 0,99³ немного интереснее, потому что в биномиальном разложении (1-0,01)³ члены оказываются знакопеременными. Но тут помогает то соображение, что график куба вблизи 1 вогнутый (вторая производная положительна, и график кубической параболы в окрестности точки х=1 целиком лежит выше касательной). Поэтому он для чисел "(1 минус что-то)³" уменьшается чуть медленнее, чем "1 минус что-то", так что 0.99³>0,97. Собсно, бином Ньютона приводит к тому же результату, потому как разложение оказывается знакопеременными, и следующий член, третий, — положительный.

Иногда то же самое можно приспособить и к случаям, когда фигурирует не 1, а что-то другое. В любом случае для выражения (a+b)ͫ при b<<a справедливо соотношение (a+b)ͫ ≈ a+mb. То есть 26³ можно записать как (25+1)³ и дальше просто вспомнить степени пятёрки.

В общем же случае придётся всё ж логарифмировать, сколь ни претит вам такая перспектива. Всё, что тут можно предложить, — это выбрать удобное основание для логарифмирования. Всё ж логарифм — это крайне медленная функция, она изменяется медленнее любой степенной, поэтому для грубой оценки "что больше" вполне подойдёт.

Как сравнить числа с разными степенями