Линейная алгебра: как определить, расположены ли три точки на одной прямой
Линейная алгебра — одна из ветвей математики, изучающая линейные пространства и операции над ними. Одним из важных вопросов, решаемых в линейной алгебре, является определение, расположены ли три точки на одной прямой.
Определение
Три точки расположены на одной прямой, если они лежат на одной прямой и могут быть получены друг из друга при помощи скалярной (линейной) комбинации, то есть если одна из точек может быть выражена через две другие точки в виде:
где $A$, $B$, $C$ — три точки, $\vec
Решение
Для определения, расположены ли три точки на одной прямой, нужно вычислить векторы $\vec
Также можно воспользоваться теоремой о том, что для трех точек на плоскости (или в трехмерном пространстве) они лежат на одной прямой, если определитель матрицы из координат точек равен 0:
$$\begin
где $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$ — координаты трех точек.
Пример
Рассмотрим три точки $A(1,2)$, $B(3,4)$ и $C(5,6)$. Вычисляем векторы:
Векторы $\vec
Таким образом, три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.
Заключение
Определение, расположены ли три точки на одной прямой, важно для решения многих задач и применяется во многих областях, включая геометрию, физику, компьютерную графику и т.д. Линейная алгебра предоставляет инструменты для решения этой задачи и многих других задач, связанных с линейными пространствами.
Как определить, лежат ли точки на одной прямой?
Задаем координаты 4 точек с клавиатуры (x и y). Как написать условие, которое определяет лежат ли хотя бы три из этих точек на одной прямой?
Можете воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:
Если уравнение будет выполнятся для какой-либо другой точки — она находится на этой прямой
UPD: Собственно для трех точек условие будет выглядеть вот так:
Все правильно кроме знака «= расстояние от точки до прямой». Алгоритм легко гуглится. Если это расстояние меньше Tol, значит точка лежит на прямой. Однако для большинства задач это — излишнее усложнение.
Для целочисленных координат можно использовать формулу:
или тоже самое, но с кешированием:
Для четырёх точек можно перебрать четыре условия, поочерёдно исключая одну из точек:
Для того, чтобы не было переполнения, числа не должны быть близки к границам целочисленного типа переменной.
Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?
Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы — чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.
Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?
Теорема Менелая:
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны
Тогда выполняется равенство:
Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка
Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.
Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки и – это города, а точки и – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)
В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.
Теорема Чевы
Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:
Обратная теорема Чевы:
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём
Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.
Как применяются теоремы Менелая и Чевы?
Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.
На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,
Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:
По теореме Чевы,
Это значит, что по двум углам и то есть
Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны
По теореме Менелая,
по углу и двум сторонам, отсюда
— параллелограмм по определению.
Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.
Докажем, что — параллелограмм.
Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,
По теореме Фалеса
по 2 углам,
тогда
Это значит, что по углу и двум сторонам и
Получим, что в четырёхугольнике :
Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.
Поскольку получим, что — прямоугольный.
Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём
Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)
по теореме Пифагора из
Найдём из по теореме косинусов.
Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:
а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.
Пункт (а) доказывается легко.
Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:
Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проверим выполнение равенства
Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:
Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.
Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Как узнать лежат ли точки на одной прямой
Задаем координаты 4 точек с клавиатуры (x и y). Как написать условие, которое определяет лежат ли хотя бы три из этих точек на одной прямой?
Можете воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:
Если уравнение будет выполнятся для какой-либо другой точки — она находится на этой прямой
UPD: Собственно для трех точек условие будет выглядеть вот так:
Все правильно кроме знака «= расстояние от точки до прямой». Алгоритм легко гуглится. Если это расстояние меньше Tol, значит точка лежит на прямой. Однако для большинства задач это — излишнее усложнение.
Для целочисленных координат можно использовать формулу:
или тоже самое, но с кешированием:
Для четырёх точек можно перебрать четыре условия, поочерёдно исключая одну из точек:
Для того, чтобы не было переполнения, числа не должны быть близки к границам целочисленного типа переменной.
Когда 3 точки лежат на одной прямой
Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.
Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.
Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.
Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.
Решим поставленную задачу
Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:
После преобразования получим:
x-y=-3 — это уравнение прямой АБ
Проверим удовлетворяют ли координаты точки В этому уравнению, для этого достаточно выполнить подстановку координат точки В в место переменных в уравнении прямой АБ. Если получим верное числовое равенство, то точка В — это точка прямой АБ. В противном случае, неверное числовое равенство, будет свидетельствовать о не принадлежности точки В прямой АБ.
Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.
Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)
Задачи для подготовки
Занятие № 5
Задачи на плоскости.
Пример 1
Даны 3 точки A, B и C. Определить, лежат ли они на одной прямой.
Все точки задаются своими координатами – парами целых чисел.
Решение
Пример 3
a)Даны 4 точки A, B, C и D. Определить, пересекаются ли отрезки AC и BD.
b)Даны 4 точки A, B, C и D. Определить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым.
Замечание: если 3 или все 4 вершины оказываются на одной прямой, то четырехугольник считается выпуклым.
Решение
Отрезки AC и BD пересекаются тогда и только тогда, когда четырехугольник ABCD выпуклый, так что это одна и та же задача. Это верно, по крайней мере, если не обращать внимания на особые случаи, то есть на ситуации, когда точки лежат на одной прямой. Такие случаи можно разобрать отдельно.
Для того, чтобы четырехугольник ABCD был выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы все 4 обхода `A->B->C,\ B->C->D,\ C->D->A,\ D->A->B` были бы обходами в одну сторону: либо по часовой стрелке, либо против.
Приведем пример функции, где мы используем знакомый уже тип point и функцию из предыдущего задания.
Эта функция работает в не особых случаях. Программа, которая удовлетворяет требованию задания может, например, проверять сначала, не лежат ли какие-то 3 точки на одной прямой, вызывая 4 раза функцию isLine.
математика — Как определить, лежат ли точки на одной прямой?
Допустим даны три точки с координатами $%(x_1;y_1),(x_2;y_2),(x_3;y_3)$% соответственно, где координаты каждой изменяются по разным законам. Как можно определить лежат ли они на одной прямой, где уравнение прямой равно $%f(x)=tg\alpha*x$%, а $%\alpha$% постоянно изменяется.
задан 3 Мар ’14 22:08
Подстановкой — не подойдет, нужна формула.
@falcao: как Вы понимаете это утверждение (относительно моего вопроса): точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $%(x_1−x_2)(y_3−y_2)=(x_3−x_2)(y_1−y_2)$%