Если четырехугольник является трапецией, то
Теорема: Если четырехугольник является трапецией, то ее:
а) средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
б) площадь равна произведению средней линии на высоту.
Доказательство.
а) Пусть АВ — средняя линия трапеции KLMN.
Проведем прямую LB, пусть она пересекает прямую KN в точке С. Треугольники LBM и CBN равны, так как у них углы LBM и CBN равны как вертикальные, углы LMB и CNB равны как накрест лежащие при параллельных LM и КС, пересеченных прямой MN, стороны NB и MB равны по условию. Поэтому отрезки LB и ВС равны. Значит, АВ — средняя линия треугольника KLC, а отрезок АВ параллелен отрезку КС и, значит, основанию трапеции KN. А поскольку основания KN и LM параллельны, то средняя линия АВ параллельна и основанию LM. Мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям трапеции. Докажем теперь, что она равна полусумме этих оснований.
В соответствии с теоремой о средней линии треугольника получаем:
Но КС = KN + NC, a NC = LM, поэтому
АВ = 1/2 (KN + NC) = 1/2 (KN + LM) =1/2(KN+LM).
б) Мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Но, не забывайте о том, что полусумма оснований равна средней линии. Поэтому площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Задача 30718 Доказать, что четырехугольник ABCD -.
Доказать, что четырехугольник ABCD — трапеция, если A(3,6), B(5,2), C(-1, -3), D(-5,5).
Решение
По определению трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Так как даны координаты точек, будем искать координаты векторов, задающих стороны трапеции.
Векторы коллинеарны ( лежат на параллельных прямых), если их координаты пропорциональны.
vector
2:(-4)=(-4):8
vector
Трапеция
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .
2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN'\parallel AD\) ( \(N'\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N'\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N'\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB'\perp AD, CC'\perp AD\) . Пусть \(BB'\cap MN=M', CC'\cap MN=N'\) .
Тогда по теореме Фалеса \(M'\) и \(N'\) — середины отрезков \(BB'\) и \(CC'\) соответственно. Значит, \(MM'\) – средняя линия \(\triangle ABB'\) , \(NN'\) — средняя линия \(\triangle DCC'\) . Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB', CC'\perp AD\) , то \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B'M'=M'B\) . Значит, \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M'N'=B'C'=BC\) .
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) ( \(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам ( \(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам ( \(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac
Отсюда \(\dfrac
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac
Отсюда \(\dfrac
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) . Следовательно, \(AC=BD\) .
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .
В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) ( \(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Замечание
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$.
Доказательство
Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и, следовательно, их сумма равна $180^\circ$.
Определение
Свойства равнобедренной трапеции
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.
Докажем, что $\angle A=\angle D$.
Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.
Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD, BE=CF$).
Следовательно, $\angle A=\angle D$.
Докажем второй пункт теоремы.
В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ – общая, $\angle A=\angle D$ по первому пункту).
Докажем третий пункт теоремы.
Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные, а треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны.
Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $\triangle ABD=\triangle ACD$.
Следовательно, $\angle 1=\angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно, то $\angle 3=\angle 4$, что и означает, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные.
Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства треугольников.
Докажем четвертый пункт теоремы.
Так как $\triangle AEB=\triangle CFD$ (по катету и гипотенузе), то $AE=FD$.
Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=\dfrac
Признаки равнобедренной трапеции
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $\angle A=\angle D$.
Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.
Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.
Тогда $\angle A=\angle CED$, как соответственные углы.
Следовательно, $\angle CED=\angle D$, а тогда $\triangle CED$ – равнобедренный.
А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ – параллелограмм), то $AB=CD$.
Докажем второй пункт теоремы.
Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.
Докажем, что тогда $AB=CD$.
Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.
Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ – параллелограмм по определению.
Тогда $\triangle ACF$ – равнобедренный, так как $AC=CF$.
Следовательно $\angle OAD=\angle ODA$, и $\triangle AOD$ – равнобедренный.
Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.
Следовательно, $\triangle BOA=\triangle COD$ по первому признаку ($\angle BOA=\angle COD$ — как вертикальные).
Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)
В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AC\perp BD$.
Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.
Действительно, $\triangle AOD$ – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $\angle OAD = 45^\circ$. Тогда $\triangle AHC$ – равнобедренный, то есть $AH=CH$.