Доказать что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2

Матрицы и базис в пространстве

Базис в пространстве — 2
Всем привет! Решаю задачки по Алгебре. Что-то совсем не получается, и не знаю с чего начать! .

Базис в пространстве
Всем привет! Решаю задачки по Алгебре. Что-то совсем не получается, и не знаю с чего начать! .

Базис в линейном пространстве
Здравствуйте! Срочно нужна помощь. а) Докажите, что многочлены p(x)=-x^2+x, q(x)= 2x^2-x+3.

Базис в линейном пространстве
Доказать, что векторы x1 = 1, x2 = 1 + t, x3 = 1 + t2, x4 = 1 + t3, x5 = 1 + t4, x6 = 1 + t5.

Координатный столбец:
(-1, 2, -1, 1)

Добавлено через 49 секунд
В смысле строка

Базис в пространстве многочленов
Доказать, что каждая из двух систем функций t-t2, t3, 1+5t+t3, (1+t)3 и (1+t)3, (1-t)3.

В линейном пространстве L выбран базис
2) В линейном пространстве L выбран базис e1,e2,k,en . Два его подпространства L1,L2 заданы.

Базис в линейном пространстве многочленов
Образует ли следующая система многочленов 1,x,^<2>,^<3>,^ <4>базис в линейном пространстве.

2.2. Размерность и базис линейного пространства

Элементы называются Линейно независимыми, если из равенства следует, что В противном случае элементы Линейно зависимы.

Если в линейном пространстве найдено линейно независимых элементов, а любые уже линейно зависимы, то число называется Размерностью пространства и обозначается , т. е. .

Совокупность элементов из называется Базисом линейного пространства , если любой элемент единственным образом представим в виде Числа называются Координатами элемента в базисе

Пример 5. Пусть – линейное пространство, элементами которого являются квадратные матрицы 2-го порядка.

Тогда матрицы образуют базис в . Так, если то т. е. в базисе координатами элемента являются

Пример 6. Рассмотрим линейное -мерное пространство, элементами которого являются упорядоченные наборы вещественных чисел

Которые мы будем называть Векторами, а числа – их Координатами в некотором заданном базисе. Если рассмотренное линейное пространство вещественно, то оно называется Арифметическим векторным пространством и обозначается . Очевидно, векторы …, Образуют базис в .

Для каждого можно составить матрицу-столбец размера

Которую будем называть Вектор-столбец. Такие векторы-столбцы образуют линейное пространство, которое также называется арифметическим векторным пространством. Ортонормированный базис в нём образуют векторы-столбцы

Объектом дальнейших наших исследований будут арифметические векторные пространства .

линейная-алгебра — Показать, что набор матриц образует базис в пространстве матриц 2*2 с нулевым следом

Из координат матриц, выписанных в строки, формируем новую матрицу размером 3×4. Приводим к ступенчатому виду и проверяем, что ранг ранг 3. Отсюда вытекает базисность.

Для нахождения координат представляем последнюю матрицу в виде aA+bB+cC, где a,b,c — неопределённые коэффициенты. Приравниваем коэффициенты обеих матриц, получаем систему, и решаем её.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Доказать что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2

Пример 5. Пусть – линейное пространство, элементами которого являются квадратные матрицы 2-го порядка.

Тогда матрицы образуют базис в . Так, если то т. е. в базисе координатами элемента являются

Для каждого можно составить матрицу-столбец размера

Объектом дальнейших наших исследований будут арифметические векторные пространства .

Задания для решения. 19.1.Проверить, что векторы образуют базис трехмерного пространства; найти координаты вектора в этом базисе:

19.1.Проверить, что векторы образуют базис трехмерного пространства; найти координаты вектора в этом базисе:

19.2.Доказать, что матрицы образуют базис пространства квадратных матриц второго порядка с действительными элементами, и найти координаты матрицы в этом базисе.

19.3. Исследовать на линейную зависимость систему векторов , , .

19.4. Доказать, что векторы образуют базис векторного пространства . Разложить вектор по этому базису, если .

Домашнее задание

19.5. Доказать, что система векторов линейно зависима , , , .

19.6.Доказать, что векторы образуют базис в (если известно, что размерность равна четырем) и разложить вектор по этому базису.

Ответы

19.1. а) , б) (0, -5, 4). 19.2. а) (-2, -1, -2, 6), б) (-5, 4, 3, 11). 19.3. система линейно зависима. 19.4. . 19.6.

Линейные Пространства (Задачи для подготовки к экзамену — Решение), страница 3

Файл «Линейные Пространства» внутри архива находится в папке «Прорешанные задачи для подготовки к экзамену». Документ из архива «Задачи для подготовки к экзамену — Решение», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из раздела «», которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «к экзамену/зачёту», в предмете «алгебра и геометрия» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Линейные Пространства»

Текст 3 страницы из документа «Линейные Пространства»

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.21. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц М₂₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Линейность данного множества матриц следует из линейности операций умножения матриц на число и сложения матриц, например:

При этом каждая матрица данного подпространства может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

Для дополнения этого базиса до базиса всего пространства М₂₃ можно выбрать матрицы

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.22. Найти общий вид матрицы, антиперестановочной (AX=-XA) с данной матрицей . Доказать, что множество матриц Х образует линейное подпространство в пространстве М₂₂ матриц 2-го порядка. Найти его базис и размерность.

Проверяем линейность данного множества L матриц:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если матрица антиперестановочная с данной матрицей , то:

т.е. матрица Х может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

2.23. Образуют ли матрицы базис в пространстве матриц М₂₂?

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно, данные матрицы не образуют базис в пространстве матриц М₂₂

2.24. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки системы матриц

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно:

1) размерность данной системы матриц равна 3,

2) в качестве базиса их линейной оболочки можно взять первые три матрицы, т.е. (Е₁, Е₂, Е₃).

2.25. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства M_nn. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) множество всех симметрических квадратных матриц порядка n (A T = A).

2) множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n (A T = -A).

3) множество всех квадратных вырожденных матриц порядка n (detA = 0).

1) При умножении любой симметрической квадратной матрицы порядка n (A T = A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух симметрических квадратных матриц порядка n также является симметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех симметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

2) При умножении любой кососимметрической квадратной матрицы порядка n (A T =-A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух кососимметрических квадратных матриц порядка n также является кососимметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

3) Определитель суммы двух матриц, определители которых равны нулю, может быть отличен от нуля, например:

Следовательно, множество всех квадратных матриц порядка n, определитель которых равен нулю, не является подпространством пространства M_nn.

2.26. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

В системе функций только любые две функции линейно независимы, поскольку они связаны соотношением , и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации, например, первых двух функций системы, следовательно, эти две функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 2.

2.27. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Функции линейно независимы: если , то, записывая это равенство для t=-1, t=0 и t=1, получим:

и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации этих функций (по определению L), следовательно, эти функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 3.

2.28. Исследовать на линейную независимость систему функций

Предположим, что входящие в данную систему функции линейно зависимы, т.е. найдутся такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство . Тогда, записывая это равенство для получим:

Получили противоречие, из чего следует, что данная система функций является линейно независимой.

2.29. Исследовать на линейную независимость систему функций

Для доказательства того, что данная система функций является линейно зависимой, достаточно указать такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство .