Как найти проекцию вектора на плоскость
Векторы – основа линейной алгебры, которая находит широкое применение в различных областях, начиная от математики и физики и заканчивая программированием и графикой. Одним из важных векторных операторов является проекция вектора на плоскость. Эта операция позволяет найти компоненты вектора, расположенные вдоль заданной плоскости.
В данной статье мы рассмотрим, как найти проекцию вектора на плоскость, используя методы и примеры из линейной алгебры. Мы начнем с определения проекции вектора и свойств, которые ей присущи, а затем рассмотрим методы вычисления проекции: от проекции на ось до проекции на плоскость. Также мы приведем несколько примеров, чтобы проиллюстрировать, как работать с проекцией вектора на плоскость.
Если вы изучаете линейную алгебру, то данная статья будет полезной для вас. Мы постарались сделать материал доступным и понятным, но при этом не упуская важных моментов, связанных с проекцией вектора на плоскость.
Как найти проекцию вектора на плоскость
Проекция вектора на плоскость – это его отражение на плоскость с сохранением направляющего вектора. Графически проекция вектора находится путем соединения конца вектора с его перпендикулярной проекцией на плоскость.
Шаги нахождения проекции вектора на плоскость:
- Найти нормальный вектор плоскости
- Найти скалярное произведение вектора на нормальный вектор плоскости
- Найти проекцию вектора на нормальный вектор плоскости
- Найти проекцию вектора на плоскость, вычтя проекцию на нормальный вектор из вектора
Пример: Найдем проекцию вектора A = (1, 2, 3) на плоскость, заданную уравнением x + y + z = 0.
- Нормальный вектор плоскости – это коэффициенты уравнения плоскости, то есть n = (1, 1, 1).
- Скалярное произведение вектора на нормальный вектор плоскости равно произведению длин векторов, умноженному на cos угла между ними. Значит, проекция вектора A на нормальный вектор плоскости равна произведению длин векторов и cos угла между ними, то есть d = |A| * cos(45) ≈ 2.1213
- Проекция вектора A на нормальный вектор плоскости равна d * n = (2.1213, 2.1213, 2.1213).
- Проекция вектора A на плоскость равна A — d * n = (-1.1213, -0.1213, 0.8787).
Таким образом, проекция вектора A на плоскость, заданную уравнением x + y + z = 0, равна (-1.1213, -0.1213, 0.8787).
Что такое проекция вектора и зачем она нужна
Проекция вектора – это отображение вектора на линию, плоскость или другое подпространство. Она показывает, какой компонент вектора направлен вдоль выбранной линии или плоскости. Проекция вектора часто используется в математике, физике и инженерии.
Одним из основных применений проекции вектора является решение геометрических задач, таких как нахождение расстояний, углов и площадей. В механике проекция вектора используется для определения работы, момента и скорости объектов.
Проекция вектора также является важной частью линейной алгебры, поскольку она позволяет находить решения линейных систем уравнений, диагонализировать матрицы и выполнить другие операции.
Кроме того, проекция вектора очень полезна для визуализации графиков и диаграмм в компьютерной графике, обработке изображений и компьютерном зрении.
Как найти проекцию вектора на плоскость: шаг за шагом
Нахождение проекции вектора на плоскость — это одна из важных задач в линейной алгебре и геометрии. Проекция вектора на плоскость позволяет описать движение объектов на плоскости и решать многие задачи в физике, механике, математике и других областях.
Для нахождения проекции вектора на плоскость нужно выполнить несколько шагов. Сначала определить вектор, нормальный к плоскости, на которую будет проектируемый вектор. Затем находится проекция вектора на этот нормальный вектор и вычисляется ортогональная составляющая вектора относительно нормального вектора. Иногда проекция вектора на плоскость может быть выражена в виде линейной комбинации нормального вектора и ортогональной составляющей.
Процесс нахождения проекции вектора на плоскость можно разбить на следующие шаги:
- Определение вектора нормали к плоскости;
- Вычисление проекции вектора на нормальный вектор;
- Вычисление ортогональной составляющей вектора относительно нормального вектора;
- Вычисление проекции вектора на плоскость;
- Вывод результата.
Точное решение задачи зависит от конкретных условий и требует математических вычислений и манипуляций. Однако с помощью алгебраических методов, векторных операций и математических формул можно производить нахождение проекции вектора на плоскость.
Примеры решения задач на нахождение проекции вектора на плоскость
Пример 1: Найти проекцию вектора a(4, -5, 6) на плоскость, проходящую через точку A(1, 2, 3) и имеющую нормальный вектор n(2, -1, 3).
- Найдём проекцию вектора a на нормальный вектор n: projna = ((a ⋅ n)/|n| 2 )n.
- a ⋅ n = (4)(2) + (-5)(-1) + (6)(3) = 32;
- |n| 2 = (2) 2 + (-1) 2 + (3) 2 = 14;
- projna = (32/14)(2, -1, 3) = (16/7, -8/7, 24/7).
- Вектор проекции находится в плоскости, проходящей через точку A и имеющей нормальный вектор n. Найдём уравнение этой плоскости: n ⋅ (r — A) = 0, где r = (x, y, z) — произвольная точка на плоскости.
- 2(x — 1) — 1(y — 2) + 3(z — 3) = 0;
- 2x — y + 3z = 8.
- Найдём перпендикуляр к плоскости — вектор, ортогональный нормальному вектору: n1 = (-1, -2, -1).
- Проекцию вектора a на плоскость можно найти как разность между вектором a и его проекцией на нормальный вектор: projn1a = a — projna.
- projn1a = (4, -5, 6) — (16/7, -8/7, 24/7) = (12/7, -27/7, 30/7).
Пример 2: Найти проекцию вектора b(-1, 2, -3) на плоскость, проходящую через три точки: A(1, 0, 1), B(2, 1, 1) и C(0, 2, 2).
аналитическая-геометрия — Как найти ортогональную проекцию вектора?
Найти ортогональную проекцию вектора $%\overline
задан 9 Окт ’14 16:45
1 ответ
Проекция $%w$% вектора $%v$% обладает следующими свойствами: 1) она принадлежит плоскости, то есть представляется в виде $%xa+yb$% с некоторыми коэффициентами; 2) разность векторов $%v-w$% ортогональна плоскости, то есть скалярное произведение этого вектора на оба базисных равно нулю. Отсюда получаем два уравнения: $%(w,a)=(v,a)$% и $%(w,b)=(v,b)$%, то есть $%x(a,a)+y(a,b)=(v,a)=6$% и $%x(a,b)+y(b,b)=(v,b)=6$%. Ясно, что $%(a,b)=0$%, что облегчает вычисления; $%(a,a)=2$%, $%(b,b)=6$%, откуда $%x=3$%, $%y=1$%. В итоге $%w=3a+b=(4;2;2)$%.
отвечен 9 Окт ’14 18:15
Скажите, а почему, найдя вектор нормали n к плоскости и воспользовавшись ф-лой [v;n]/|n| — мы не придем к правильному ответу, хотя если рассуждать геометрически, то от этой ф-лы должно остаться |v|sin (a), что по прямоугольному треугольнику должно равняться, как раз нашей проекции. И почему тогда, в данном случае действует ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 ??
@alisainy1: в аналитической геометрии обычно можно решать задачи несколькими способами. Конечно, можно было применить векторное произведение и рассмотреть вектор нормали. Но я выбрал другой способ, где ответ можно было вычислить сразу, без черновика.
Нет, это понятно, что ваш способ уместен. Мой вопрос в том, почему это ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 верна для нахождения проекции, а эта нет [v;n]/|n|?
@alisainy1: я готовыми формулами почти не пользуюсь, а запоминаю лишь то, что сложно выводится, но при этом часто используется. В частности, мне в это всё надо вдумываться, то есть я бы начал с вывода самих формул. Если для Вас это важно, я могу посмотреть. Вторая формула явно не даёт нужного результата, так как там вектор перпендикулярен $%v$%, а проекция на плоскость может давать с ним какой угодно угол. Мы ведь находим вектор, а не длину.
1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
Определение 10. Проектирование называется ортогональным, Если плоскость П ортогональна оси.
При ортогональном проектировании достаточно из данной точки опустить на ось перпендикуляр.
Теорема 7. Числовая ортогональная проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус его угла с осью.
Доказательство. Пусть l – ось, 
её орт, 
произвольный вектор. Если 
, топрl
= 0, поэтому можно считать, что утверждение теоремы верно. Пусть 
и = (
l).
Возможны следующие случаи.
1) = 0. В этом случае (рис. 17а) 
ипр
=
.
2) 0 90 0 . В этом случае 
(рис. 17б) 
,пр
.
3) = 90 0 (рис. 17в). В этом случае пр
= 0 и, следовательно, пр
= 
.
4) 90 0 180 0 (рис. 17г). В этом случае 
,пр
.
5) = 180 0 (рис. 17д). В этом случае пр
=
.
Итак, во всех случаях пр
.
1.9. Скалярное произведение векторов
В разделе «Линейные пространства» в линейных пространствах над полем действительных чисел вводилась ещё одна операция: скалярное произведение векторов, с помощью которой линейное пространство превращалось в евклидово пространство. Если в данном линейном пространстве по разному вводить скалярное произведение, то получатся различные евклидовы пространства. В векторном пространстве геометрических векторов существует «стандартное» (исторически сложившееся благодаря потребностям физики) определение скалярного произведения векторов.
Определение 11. Скалярным произведением упорядоченной пары ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой, то скалярное произведение считается равным нулю.
Обозначение: (
), или
. Из определения
= 
(1)
Свойства скалярного произведения.
1 0 . Скалярное произведение любой упорядоченной пары векторов определено и однозначно.
2 0 . 
=
для любых векторов
и
(коммутативный закон).
Доказательство. Если 
=
или
=
, то
= 0 и
= 0, т.е. равенство верно.
Пусть 
и
. Тогда
=
=
.
3 0 . Если 
и
, то
=пр
. Если 
, а
=
, то тоже
=пр
.Следовательно, при 
имеет место формула
= /> пр
(2)
4 0 . 
= 0 либо 
=
, либо
=
, либо
.
5 0 . (
+
)
=
, для любых векторов
,
и
.
Доказательство. Если вектор 
, то доказываемое равенство имеет вид 0 = 0 + 0, т.е. оно верно. Пусть
. Тогда (по формуле 2)
(
+
)
=
=
.
6 0 . 
для любых векторов
,
и любого действительного числа.
Доказательство. Если либо = 0, либо хотя бы один из векторов 
,
нулевой, то равенство очевидно. Пусть 0 и векторы 
,
нулевые. Тогда
.
Произведение 
называется скалярным квадратом вектора
и обозначается
= 
.
7 0 . 
=
для любого вектора
. Отсюда следует
. (3)
Из формулы (7) следует, что 
0 для любого вектора 
и
= 0 
.
Теорема 8. Множество всех геометрических векторов, любое множество всех компланарных векторов и любое множество всех коллинеарных векторов являются евклидовыми пространствами.
Доказательство следует из свойств 1 0 , 2 0 , 4 0 , 7 0 .
8 0 . Если 
, то
. (4)
Формула (4) следует из (2).
9 0 . Если 
и
, то
. (5)
Замечание. Формулы 4 0 , 7 0 – 10 0 определяют применение скалярного произведения для решения задач.
10 0 . (Скалярное произведение в координатах)
Пусть В = 
базис, 
,
. Тогда
)
=
. (6)
Если базис В = 
ортонормированный, то
= 
. (7)
Из формулы (3) получаем, что в ортонормированном базисе
. (8)
Замечание. Формулы (6), (7) и (8) выведены в векторном пространстве всех геометрических векторов. Во множестве компланарных векторов, в базисе В = 
получим
, а в ортонормированном базисе
=
и
. Во множестве коллинеарных векторов, в базисеВ = 
получим
=
. Если
= 1, то
=
и
.
Задача 7. В параллелограмме АВСD угол DАВ = 60 0 , 
,
,
, AB = 6, AD = 4. Найдите QNP (рис. 18).
Решение. Решим задачу векторным методом. Для этого выберем базис 
, где
(
),
. УголQNP равен углу между векторами 
и
. Используя формулу (5), получим
Cos(QNP) = 
. Найдём эти
векторы: 
,
. Поэтому
. Так как
= 2 2 = 4, 
= 2 2 = 4, (
= 22Cos60 0 = 2, то 
=
. Аналогично,
,
. Следовательно,
Cos(QNP) = 
.
Задача 8. Докажите, что в правильном тетраэдре а) противоположные рёбра взаимно перпендикулярны, б) отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер, перпендикулярен к ним и найдите длину этого отрезка, если длина ребра равна а.
Решение. Решим задачу векторным методом. В качестве базиса выберем векторы 
,
,
. Так как тетраэдр правильный, то достаточно рассмотреть одну пару противоположных рёбер и один из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер. Покажем, что
,
и
. Для этого достаточно найти скалярные произведения
,
и
. Выражая
векторы через базис, получим 
,
,
. Следовательно,
=
=
=ааCos60 0 ааCos60 0 = 0, т.е. 
.
= 
Отсюда
. Аналогично доказывается, что
.
По формуле (8) получаем, что
.
2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?
Об ортогональной проекции вектора на вектор мы говорили ранее, и фактически было установлено следующее:
Чтобы найти ортогональную проекцию вектора на прямую, нужно найти его проекцию на любой направляющий вектор этой прямой.
…возможно, не всем понятен термин «ортогональная» – это такая проекция, при которой на вектор «падают лучи света» строго перпендикулярно по отношению к прямой (см. рис. ниже). Существует куча иных («косых») проекций, когда проецирование осуществляется под другими углами, но для данной книги этот материал не столь актуален.
Решим символическую задачку:
Задача 85
Найти проекцию вектора на прямую
Решение: найдём какой-нибудь направляющий вектор прямой, проще и быстрее взять стандартный вариант: .
Проекция вектора на прямую – есть его проекция на любой направляющий вектор этой прямой, по соответствующей формуле:
Ответ:
Напоминаю, что проекция – это длина «тени» вектора (красный цвет): 
Желающие могут взять любые точки прямой, найти направляющий вектор и убедиться в том, что проекция будет такой же, как вариант, со знАком «минус».
Ну вот и подошло к концу наше путешествие по основным задачам с «плоской» прямой, и никакого Кащея Бессмертного тут нет…. – Здесь есть я, с новыми знаниями и задачами J Потому что Бабу-Ягу никто не отменял =)