Как найти матрицу оператора дифференцирования

Матрица оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве

Найти матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве
Найти матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве.

Матрица оператора дифференцирования
Найти матрицу оператора дифференцирования пространства многочленов степени не выше 2 в базисе 1.

Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования в пространстве многочленов
Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования в пространстве.

Каково наименьшее число собственных векторов линейного оператора в двумерном, в трехмерном пространстве?
4. Каково наименьшее число собственных векторов линейного оператора а) в двухмерном, б) в.

Сообщение от Marjansok

Marjansok, экспоненты вы записали коряво. Матрица будет .
Приведу другой пример, а вы по образу и подобию сделаете выкладки в своём.
Есть пространство многочленов степени не выше 3-й от t над полем R с базисом . Это означает, что вектор , имеющий в таком пространстве координаты , есть многочлен . Берём производную по t, получаем , что в том же пространстве даёт координаты вектора производной . Осталось найти матрицу, выполняющую такое действие:

Умножать матрицу на вектор умеем (строка на столбец), получаем матрицу оператора дифференцирования в таком пространстве
Повторите выкладки для вашего простнанства.

Базис в линейном пространстве
Здравствуйте! Срочно нужна помощь. а) Докажите, что многочлены p(x)=-x^2+x, q(x)= 2x^2-x+3.

Базис в линейном пространстве
Доказать, что векторы x1 = 1, x2 = 1 + t, x3 = 1 + t2, x4 = 1 + t3, x5 = 1 + t4, x6 = 1 + t5.

Базис в линейном пространстве многочленов
Образует ли следующая система многочленов 1,x,^<2>,^<3>,^ <4>базис в линейном пространстве.

В линейном пространстве L выбран базис
2) В линейном пространстве L выбран базис e1,e2,k,en . Два его подпространства L1,L2 заданы.

Нормы в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых функций
Добрый день! Поскольку тему пытаюсь осознать самостоятельно, хотелось бы узнать, правильно ли я.

Построение матрицы линейного оператора

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁ = 1, x₂ = 0, а затем x₁ = 0, x₂ = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. .

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть — матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы — это векторы , а столбцы матрицы — векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

в систему векторов .

Здесь , , , и получаем:

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .

Матрица этого линейного оператора:

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Линейные операторы (преобразования)

Определение линейных операторов (преобразований)

Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства пространства в базисе пространства , найденных относительно базиса .

Матрица биективного линейного оператора (преобразования) обратима, т.е. невырождена. Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.

Примеры линейных операторов (преобразований)

1. Обозначим — нулевое преобразование n-мерного пространства , дефект , ранг .

2. Обозначим . Это преобразование является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования , образ преобразования — центральную симметрию n-мерного пространства . Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования противоположна единичной (в любом базисе): ; ядро преобразования , образ преобразования , дефект — гомотетию n-мерного пространства . Это преобразование линейное. При оно инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования пропорциональна единичной (в любом базисе): , ядро преобразования , образ преобразования , дефект (см. пункт 1); при (см. пункт 2); при (см. пункт 3).

5. Рассмотрим линейное пространство радиус-векторов (с общим началом в точке — поворот вокруг точки в положительном направлении (против часовой стрелки)). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу поворота в стандартном ортонормированием базисе . Раскладывая образы базисных векторов по базису, получаем

Составляем матрицу (9.1) преобразования (оператора), записывая найденные координаты образов по столбцам:

Ядро оператора (преобразования) , образ преобразования , дефект (см. пункт 2); при (см. пункт 3).

6. Обозначим — оператор дифференцирования, который каждому многочлену степени не выше и ставит в соответствие его производную, рассматриваемую как многочлен степени не выше . Это преобразование линейное, неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Квадратная матрица ((n+l)-го порядка) преобразования в стандартном базисе имеет вид

Ядро преобразования — пространство многочленов нулевой степени, образ — пространство многочленов степени не выше , дефект .

Рассмотрим преобразование линейного пространства тригонометрических многочленов (частоты ) с действительными коэффициентами: , т.е. — множество функций вида , где . Заметим, что это множество является двумерным вещественным линейным пространством. Стандартный базис пространства образуют функции , поскольку они линейно независимы (тождественное равенство нулю возможно только в тривиальном случае ). При дифференцировании функции получаем функцию того же вида. Следовательно, преобразование определено. Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу преобразования в стандартном базисе . Раскладывая образы базисных векторов, получаем

Составляем матрицу (9.1) преобразования, записывая найденные координаты образов по столбцам: . Ядро преобразования — нулевое подпространство, образ , дефект .

Аналогичными свойствами обладает преобразование , где — множество функций вида и является двумерным комплексным линейным пространством.

7. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств . Обозначим — оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству , который каждому вектору , где , ставит в соответствие его составляющую (проекцию) , т.е. (рис.9.2). Это преобразование линейное. При оно неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект , Ранг ,. При ; при .

8. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств . Обозначим — оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству (или преобразование симметрии относительно подпространства параллельно подпространству ), который каждому вектору , где , ставит в соответствие вектор , т.е. (рис. 9.3). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект . При .

Матрицы линейного оператора (преобразования) в разных базисах

Найдем связь матриц одного и того же линейного оператора (преобразования) в разных базисах.

Пусть в базисе преобразование имеет матрицу , а в базисе — матрицу . Если — матрица перехода от базиса к базису , то

Докажем формулу (9.4). Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Если , то по формуле (9.2) имеем

Подставляя в первое равенство связи координат векторов в разных базисах получаем или, учитывая обратимость матрицы . Сравнивая последнее равенство с , убеждаемся в справедливости (9.4).

1. Матрицы линейного преобразования в разных базисах оказываются подобными. И наоборот, любые две подобные матрицы являются матрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных базисов.

2. Для матриц преобразований справедливы свойства, рассмотренные ранее. В частности, при фиксированном базисе матрица суммы преобразований равна сумме их матриц, матрица произведения преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на это же число, матрица композиции преобразований равна произведению матриц преобразований, матрица обратного преобразования является обратной для матрицы обратимого преобразования.

Алгебра линейных операторов (преобразований)

Рассмотрим множество — линейных преобразований (операторов) n-мерного линейного пространства и называются равными, если .

На множестве определены две линейные операции: сложение преобразований и умножение преобразования на число, поскольку в результате этих операций получается линейное преобразование.

Нетрудно показать, что эти операции удовлетворяют условиям:

3. существует нулевое преобразование такое, что ;

4. для каждого преобразования такое, что ;

5. и любого числа и любых чисел ;

7. и любых чисел ;

В условиях 5-7 говорится о числах из того же числового поля, над которым определено линейное пространство с линейными операциями является линейным пространством. Если пространство вещественное (комплексное).

Найдем размерность пространства . При фиксированном базисе имеется взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и их матрицами, причем это соответствие сохраняет линейные операции. Следовательно, пространство изоморфно пространству — квадратных матриц n-го порядка. Размерность пространства равна . По теореме 8.3:

Кроме линейных операций в множестве определена операция умножения элементов. Произведением преобразований назовем их композицию, т.е. . В результате композиции линейных преобразований получается линейное преобразование. Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

4. существует тождественное преобразование .

Первое условие выражает ассоциативность операции умножения, условия 2 и 3 — законы дистрибутивности, условие 4 — существование нейтрального элемента. Множество с операциями сложения и умножения элементов является кольцом с единицей (вообще говоря, некоммутативное, так как в общем случае ).

Операции умножения операторов (преобразований) и произведения операторов на число (из заданного числового поля) удовлетворяют условию:

Линейное пространство, которое является кольцом, удовлетворяющим условию 5, называется алгеброй. Поэтому множество называют алгеброй линейных операторов (преобразований) .

Многочлены от линейного оператора (преобразования)

В алгебре можно определить целую неотрицательную степень оператора , полагая по определению

Пусть — многочлен переменной Многочленом от линейного преобразования .

Многочлен называется аннулирующим для линейного преобразования — нулевое преобразование. Заметим, что у каждого линейного преобразования n-мерного линейного пространства . Действительно, система из элементов линейного пространства линейно зависима (так как ). Поэтому существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что . Следовательно, многочлен — аннулирующий для преобразования
Замечания 9.3

1. При фиксированном базисе каждому преобразованию (оператору) можно сопоставить его матрицу. Свойства линейных операций 1-8, записанные для матриц преобразований, повторяют свойства линейных операций с матрицами, а свойствам 1-5 произведения операторов отвечают свойства операции умножения матриц.

2. При фиксированном базисе многочлен от линейного преобразования , где

3. Функции от матриц определяются при помощи многочленов от матриц. Поэтому можно определить функции от линейных преобразований.

Как найти матрицу оператора дифференцирования

Глава 7 линейные операторы в линейных пространствах

Пусть и — линейные пространства над одним и тем же полем . Будем говорить, что из пространства в пространство действует оператор или, что то же самое, отображение , преобразование , если каждому вектору по какому — либо правилу поставлен в соответствии определенный вектор из .

Наиболее простыми являются линейные операторы. Отображение называется линейным оператором (линейным преобразованием), действующим из в , если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

;

, .

Совокупность условий 1 и 2 равносильна следующему условию:

. (7.1.1)

Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из линейного пространства в линейное пространство . Два линейных оператора и из называются равными, если

. (7.1.2)

Множество будет линейным пространством над полем , если определить сумму операторов и произведение оператора на число соотношениями

(7.1.3)

(7.1.4)

Нулевым вектором пространства будет нулевой оператор из в, т.е. оператор, переводящий любой вектор линейного пространства в нулевой вектор линейного пространства .

В случае, когда , линейный оператор называется линейным преобразованием пространства .

Пусть — оператор из , и пусть и — фиксированные базисы линейных пространств исоответственно. Разложим векторы по базису :

, (7.1.5)

Из коэффициентов этих разложений составим — матрицу

. (7.1.6)

Матрица называется матрицей линейного оператора в паре базисов и . Заметим, что столбцами матрицы служат столбцы координат векторов в базисе , т.е. строки коэффициентов из разложений (7.1.5).

Если , то при нахождении матрицы линейного оператора фиксируются векторы одного базиса , по которому раскладываются . Записанные столбцами коэффициенты разложений образуют квадратную матрицу порядка .

Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют одинаковые матрицы.

Матрицей суммы линейных операторов в фиксированных базисах является сумма матриц слагаемых операторов в тех же базисах.

При умножении линейного оператора на число его матрица умножается на то же число.

Если и — соответственно, — и — мерное линейные пространства над одним полем , то линейное пространство изоморфно линейному пространству — матриц с элементами из с операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля .

Пример 1. Оператор называется тождественным (единичным) оператором, если

. (7.1.7)

Покажите линейность оператора и постройте его матрицу в базисе .

Решение. В силу того, что

убеждаемся в линейности тождественного оператора. Поскольку

В любом базисе тождественный оператор имеет единичную матрицу.

Пример 2. Докажите, что преобразование

пространства линейно и найдите его матрицу в каноническом базисе.

Решение. Пусть

и — произвольные векторы из . Тогда

т. е. преобразование пространства линейно. Канонический базис линейного пространства составляют векторы

. Из определения оператора вытекает, что

Пример 3. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка слева на данную матрицу является линейным преобразованием пространства и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц

Решение. По определению преобразования для любых матриц и любых чисел имеем:

Перейдем к построению матрицы оператора в данном базисе. В силу того, что

7.1.1. Какую матрицу имеет нулевой оператор в любых базисах пространств и ?

7.1.2. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор пространства , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор этого разложения, является линейным. Оператор называется оператором проектирования пространства на параллельно .

Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .

7.1.3. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор , является линейным. Оператор называется отражением пространства в параллельно .

Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .

7.1.4. Докажите, что всякий линейный оператор, действующий в одномерном пространстве, сводится к умножению всех векторов пространства на фиксированное (для данного оператора) число.

7.1.5. Верно ли, что линейный оператор переводит:

а) линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;

б) линейно независимую систему векторов в линейно независимую?

7.1.6. Выясните, какие из следующих преобразований пространства линейны, и в случае линейности найдите их матрицы в каноническом базисе:

а) б)

в) г)

7.1.7. Укажите, какие из приведенных преобразований пространства являются линейными операторами, и найдите их матрицы в базисе . Каждое преобразование описывается своим действием на произвольный многочлен :

а) б)

в) , где и — фиксированные числа, причем ;

г) Этот оператор в дальнейшем называется оператором дифференцирования.

7.1.8. Какова матрица оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве , в базисе , где — действительное число?

7.1.9. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на данную матрицу является линейным преобразованием пространства , и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц :

7.1.10. Проверьте линейность оператора , заданного формулой , где и постройте матрицу этого оператора в базисах

7.1.11. В пространстве фиксирован базис, состоящий из матриц

(в указанном порядке). Запишите в этом базисе матрицу оператора транспонирования, т.е. оператора, который каждой матрице ставит в соответствие транспонированную матрицу.

Как изменится эта матрица, если в базисе поменять местами векторы и ?

Линейные операторы (преобразования)

Определение линейных операторов (преобразований)

Примеры линейных операторов (преобразований)

1. Обозначим — нулевое преобразование n-мерного пространства , дефект , ранг .

Составляем матрицу (9.1) преобразования (оператора), записывая найденные координаты образов по столбцам:

Ядро оператора (преобразования) , образ преобразования , дефект (см. пункт 2); при (см. пункт 3).

Матрицы линейного оператора (преобразования) в разных базисах

Найдем связь матриц одного и того же линейного оператора (преобразования) в разных базисах.

Алгебра линейных операторов (преобразований)

Нетрудно показать, что эти операции удовлетворяют условиям:

3. существует нулевое преобразование такое, что ;

4. для каждого преобразования такое, что ;

5. и любого числа и любых чисел ;

7. и любых чисел ;

4. существует тождественное преобразование .

Многочлены от линейного оператора (преобразования)

В алгебре можно определить целую неотрицательную степень оператора , полагая по определению

Пусть — многочлен переменной Многочленом от линейного преобразования .

2. При фиксированном базисе многочлен от линейного преобразования , где

Как найти образ вектора матрицы

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

Аналогично для умножения на константу:

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. .

Матрица линейного оператора:

Пусть – матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы – это векторы , а столбцы матрицы – векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

в систему векторов .

Здесь , , , и получаем:

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

Матрица этого линейного оператора:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – | 7588 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,

(1)

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.

(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx= Ax+ Bx, x∈R,

(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Ce_j= Ae_j+ Be_j=	n	(a_ij+b_ij) e_j
	∑
	j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.

(11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx= A( Bx), x ∈ R.

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.

(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)

(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.

(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения называется множество таких векторов , что , т.е. множество векторов из , которые отображаются в нулевой вектор пространства . Ядро отображения обозначается:

Образом линейного отображения называется множество образов всех векторов из . Образ отображения обозначается или

Заметим, что символ следует отличать от — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения является все пространство , а образом служит один нулевой вектор, т.е.

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору n-мерного линейного пространства его координатный столбец относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец . Образ преобразования совпадает со всем пространством , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства ).

3. Рассмотрим отображение , которое каждому вектору n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел .

4. Рассмотрим отображение , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения является подпространством: .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

Следовательно, множество является линейным подпространством пространства .

2. Образ любого линейного отображения является подпространством: .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества по отношению к операции умножения вектора на число. Если , то существует вектор такой, что . Тогда , то есть .

Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: , а рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства , то . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы отображения, т.е. рангу матрицы: .

4. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: .

Действительно, образом нулевого вектора служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения равна размерности пространства прообразов:

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства . Покажем, что векторы образуют базис подпространства .

Во-первых, , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования (см. свойство 6) его матрица (размеров ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Линейные операторы