7.2. Построение доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности
Чтобы найти границы доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:
1) по полученной выборке объема n вычислить среднее арифметическое 
и стандартную ошибку среднего арифметического
по формуле:
;
2) задать доверительную вероятность 1 – α, исходя из цели исследования;
3) по таблице t-распределения Стьюдента (Приложение 4) найти граничное значение tα в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1;
4) найти границы доверительного интервала по формуле:
.
Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.
Доверительный интервал при n ≥ 30 находится по следующей формуле:
,
где u – процентные точки нормированного нормального распределения, которые находятся по таблице 5.1.
8. Порядок работы на V этапе
1. Проверить на нормальность распределения малую (n < 30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «спортсменов» (эти результаты обозначены индексом В) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Г).
2. Выбрать критерий и оценить эффективность метода тренировки, используемого для ускоренного развития скоростных качеств у «спортсменов».
3. Рассчитать и графически построить на числовой прямой доверительные интервалы генеральных средних арифметических выборок В и Г.
Отчет о работе на V этапе игры (образец)
Тема: Оценка эффективности методики тренировки.
Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.
Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.
Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.
Научиться рассчитывать и строить доверительные интервалы для генеральных средних арифметических малых выборок.
Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.
Нормальный закон распределения. Сущность, значение.
Основные свойства кривой нормального распределения.
Правило трех сигм и его практическое применение.
Оценка нормальности распределения малой выборки.
Какие критерии и в каких случаях используются для сравнения средних попарно зависимых выборок?
Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.
Вариант 1: критерий параметрический
Примечание: В качестве примера возьмем приведенные в таблице 5.2 результаты измерения показателя скоростных качеств у спортсменов до начала тренировок (они обозначены индексом В, были получены в результате измерений на I этапе деловой игры) и после двух месяцев тренировок (они обозначены индексом Г).
От выборок В и Г перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений di = Ni Г – Ni В и определим квадраты этих разностей. Данные занесем в расчетную таблицу 5.2.
Таблица 5.2 – Расчет квадратов парных разностей значений di 2
Ni В , уд
Ni Г , уд
di = Ni Г – Ni В , уд
Теория вероятностей (3 семестр — Синергия). Теория вероятности. Вопрос 1 й Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 1 или 3 очками
Тест — Экстернат. Теория вероятностей и математическая статистика
Вопрос: 1 — й
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 1 или 3 очками:
Ответ: 1/3
Вопрос: 2 — й
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 6 очками:
Ответ: 1/6
Вопрос: 3 — й
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с нечѐтным числом очков:
Ответ: 1/2
Вопрос: 4 — й
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с чѐтным числом очков:
Ответ: 1/2
Вопрос: 5 — й
В задачах на расчѐт вероятности того, что в n независимых испытаниях событие A появится от a до b раз, используется при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1:
Ответ: интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вопрос: 6 — й
В задачах на расчѐт вероятности того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно m раз, используется при большом числе испытаний и малой вероятности p:
Ответ: формула Пуассона
Вопрос: 7 — й
В задачах на расчѐт вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А появится ровно m раз, используется при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1:
Ответ: локальная теорема Муавра-Лапласа
В каких пределах заключена вероятность появления случайного события?
Ответ: любое число от 0 до 1
Вопрос: 9 — й
В каких пределах изменяется множественный коэффициент детерминации?
Ответ: от 0 до 1
Вопрос: 10 — й
В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции?
Ответ: от 0 до 1
Вопрос: 11 — й
В каких пределах изменяется парный коэффициент корреляции?
Ответ: от -1 до 1
Вопрос: 12 — й
В каких пределах изменяется частный коэффициент корреляции?
Ответ: от -1 до 1
Вопрос: 13 — й
В какое из этих понятий комбинаторики входят все элементы изучаемого множества?
Ответ: число перестановок
Вопрос: 14 — й
В каком критерии используется G-распределение?
Ответ: Кохрана
Вопрос: 15 — й
В каком критерии используется нормальное распределение?
Ответ: при проверке гипотезы о значении вероятности события
Вопрос: 16 — й
В каком критерии используется распределение Пирсона?
Ответ: Бартлетта
Вопрос: 17 — й
В каком критерии используется распределение Стьюдента?
Ответ: при проверке гипотезы о равенстве генеральных средних
В каком критерии используется распределение Фишера-Снедекора?
Ответ: при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий
Вопрос: 19 — й
В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь — стандартная.
Ответ: 12/15
Вопрос: 20 — й
В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь – бракованная.
Ответ: 3/15
Вопрос: 21 — й
В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные.
Ответ: 2/30
Вопрос: 22 — й
В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Последовательно по одной вынимают две детали, при этом каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные.
Ответ: 4/36
Вопрос: 23 — й
В связке 10 похожих ключей от сейфов. Определите вероятность, с которой первыми наугад выбранными ключами можно открыть сейф с двумя последовательно открывающимися замками.
Ответ: 1/90
Вопрос: 24 — й
В теории статистического оценивания оценки бывают:
Ответ: точечные и интервальные
Вопрос: 25 — й
В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый
Ответ: 2/5
Вопрос: 26 — й
В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара, при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину. Найти вероятность того, что оба вынутых шара — белые.
Ответ: 4/25
Вопрос: 27 — й
В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара, при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти вероятность того, что оба вынутых шара — белые.
Ответ: 2/20
Вопрос: 28 — й
В урне 5 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый
Ответ: 5/8
Вопрос: 29 — й
Выборка репрезентативна. Это означает, что:
Ответ: она правильно отражает пропорции генеральной совокупности
Вопрос: 30 — й
Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество результатов, отобранных из генеральной совокупности:
Ответ: случайно
Вопрос: 31 — й
Гиперболическое относительно аргумента уравнение регрессии имеет вид:
Ответ:
Вопрос: 32 — й
Границы двусторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения:
Ответ:
Вопрос: 33 — й
Границы левосторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения:
Ответ:
Вопрос: 34 — й
Границы правосторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения:
Ответ:
Вопрос: 35 — й
Два события называют несовместными (несовместимыми), если:
Ответ: их совместное наступление в результате испытания невозможно
Вопрос: 36 — й
Два события называют совместными (совместимыми), если:
Ответ: они могут произойти одновременно в результате испытания
Вопрос: 37 — й
Для проверки какой гипотезы используется статистика
Ответ:
Вопрос: 38 — й
Если в трѐхмерной совокупности XYZ оказалось, что парный коэффициент между X и Y по модулю больше частного, и коэффициенты не имеют разных знаков, то это значит:
Ответ: переменная Z усиливает связь между X и Y
Вопрос: 39 — й
Если в трѐхмерной совокупности XYZ оказалось, что парный коэффициент между X и Y по модулю меньше частного, и коэффициенты не имеют разных знаков, то это значит:
Ответ:переменная Z ослабляет связь между X и Y
Вопрос: 40 — й
Если вероятность наступления одного события зависит от того, произошло ли другое событие, то они называются:
Ответ: зависимыми
Вопрос: 41 — й
Если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло ли другое событие, то они называются:
Ответ: независимыми
Вопрос: 42 — й
Если все значения случайной величины увеличить в какое-то число раз, то как изменится еѐ дисперсия?
Ответ: увеличится в это число
Вопрос: 43 — й
Если все значения случайной величины увеличить в какое-то число раз, то как изменится еѐ математическое ожидание?
Ответ: увеличится в это число раз
Вопрос: 44 — й
Если все значения случайной величины увеличить на какое-то число, то как изменится еѐ дисперсия?
Ответ: не изменится
Вопрос: 45 — й
Если все значения случайной величины увеличить на какое-то число, то как изменится еѐ математическое ожидание?
Ответ: увеличится на это число
Вопрос: 46 — й
Если все значения случайной величины уменьшить в какое-то число раз, то как изменится еѐ дисперсия?
Ответ: уменьшится в это число раз, возведѐнное в квадрат
Вопрос: 47 — й
Если все значения случайной величины уменьшить в какое-то число раз, то как изменится еѐ математическое ожидание?
Ответ: уменьшится в это число раз
Вопрос: 48 — й
Если все значения случайной величины уменьшить на какое-то число, то как изменится еѐ дисперсия?
Ответ: не изменится
Вопрос: 49 — й
Если все значения случайной величины уменьшить на какое-то число, то как изменится еѐ математическое ожидание?
Ответ: уменьшится на это число
Вопрос: 50 — й
Если два события могут произойти одновременно, то они называются:
Ответ: совместными
Вопрос: 51 — й
Если два события не могут произойти одновременно, то они называются:
Ответ: несовместными
Вопрос: 52 — й
Если математическое ожидание оценки при любом объѐме выборки равно самому оцениваемому параметру, то точечная оценка называется:
Ответ: несмещенной
Вопрос: 53 — й
Если нулевую гипотезу в результате проверки критерия отвергают, какова вероятность при этом совершить ошибку?
Ответ: Ошибка 1-го рода α
Вопрос: 54 — й
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то еѐ средняя арифметическая распределена:
Ответ: по нормальному закону
Вопрос: 55 — й
Если событие может произойти, а может не произойти в результате испытания, то оно называется:
Ответ: случайным
Вопрос: 56 — й
Если событие не происходит ни при каком испытании, то оно называется:
Ответ: невозможным
Вопрос: 57 — й
Если событие обязательно происходит при каждом испытании, то оно называется:
Ответ: достоверным
Вопрос: 58 — й
Если точечная оценка параметра при увеличении объѐма выборки сходится по вероятности к самому оцениваемому параметру, то точечная оценка называется:
Ответ: состоятельной
Вопрос: 59 — й
Значимость уравнения регрессии проверяется с помощью статистики, имеющей распределение:
Ответ: Фишера-Снедекора
Вопрос: 60 — й
Из колоды 36 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет бубновая дама?
Ответ: 1/36
Вопрос: 61 — й
Из колоды 36 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет дама?
Ответ: 1/9
Вопрос: 62 — й
Из колоды 36 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет карта бубновой масти?
Ответ: 1/4
Вопрос: 63 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет валет пик?
Ответ: 1/52
Вопрос: 64 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет валет?
Ответ: 1/13
Вопрос: 65 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет карта пиковой масти?
Ответ: 1/4
Вопрос: 66 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет карта червовой масти?
Ответ: 1/4
Вопрос: 67 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет король пик?
Ответ: 1/52
Вопрос: 68 — й
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет король?
Ответ: 1/13
Вопрос: 69 — й
Известен доход по 4 из 5 фирм X1=10, X2=15, X3=18, X4=12. Известно также, что средний доход по 5 фирмам равен 15. Доход пятой фирмы равен:
Ответ: 20
Вопрос: 70 — й
Известен доход по 4 из 5 фирм X1=14, X2=21, X3=16, X4=18. Известно также, что средний доход по 5 фирмам равен 16. Доход пятой фирмы равен:
Ответ: 11
Вопрос: 71 — й
Известен доход по 4 из 5 фирм X1=16, X2=13, X3=10, X4=20. Известно также, что средний доход по 5 фирмам равен 15. Доход пятой фирмы равен:
Ответ: 16
Вопрос: 72 — й
Известен доход по 4 из 5 фирм X1=3, X2=5, X3=4, X4=6. Известно также, что средний доход по 5 фирмам равен 4. Доход пятой фирмы равен:
Ответ: 2
Вопрос: 73 — й
Известен доход по 4 из 5 фирм X1=4, X2=8, X3=9, X4=6. Известно также, что средний доход по 5 фирмам равен 7. Доход пятой фирмы равен:
Ответ: 8
Вопрос: 74 — й
Интеграл в бесконечных пределах от функции плотности вероятности непрерывной случайной величины равен:
Ответ: 1
Вопрос: 75 — й
К какому типу относится случайная величина – расстояние от центра мишени до точки попадания пули стрелка?
Ответ: непрерывная
Вопрос: 76 — й
К какому типу относится случайная величина – рост человека?
Ответ: непрерывная
Вопрос: 77 — й
К какому типу относится случайная величина – число очков, выпавших на игральном кубике?
Ответ: дискретная
Вопрос: 78 — й
К какому типу относится случайная величина – число студентов, пришедших на лекцию?
Ответ: дискретная
Вопрос: 79 — й
Как называются два события, непоявление одного из которых влечѐт появление другого?
Ответ: противоположные
Вопрос: 80 — й
Как называются два события, сумма которых есть событие достоверное, а произведение — событие невозможное?
Ответ: противоположные
Вопрос: 81 — й
Как отношение числа случаев, благоприятствующих событию A, к числу всех возможных случаев вычисляется.
Ответ: вероятность
Вопрос: 82 — й
Как по-другому называют функцию плотности вероятности любой непрерывной случайной величины?
Ответ: дифференциальная функция
Вопрос: 83 — й
Как по-другому называют функцию распределения любой непрерывной случайной величины?
Ответ: интегральная функция
Вопрос: 84 — й
Какая критическая область используется при проверке гипотезы о равенстве вероятностей в случае биномиального распределения H0:p1=p2=…=pk :
Ответ: правосторонняя
Вопрос: 85 — й
Какая критическая область используется при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей H0:σ21=σ22
Ответ: правосторонняя
Вопрос: 86 — й
Какая критическая область используется при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нескольких нормальных совокупностей H0: σ21 = σ2 2=…= σ2 k
Ответ: правосторонняя
Вопрос: 87 — й
Какая статистика используется при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H0: σ2 = σ2 0 :
Ответ:
Вопрос: 88 — й
Какая статистика используется при проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ=μ0 при известной генеральной дисперсии:
Ответ:
Вопрос: 89 — й
Какая статистика используется при проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ=μ0 при неизвестной генеральной дисперсии:
Ответ:
Вопрос: 90 — й
Какая статистика используется при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей H0:σ21=σ22
Ответ:
Вопрос: 91 — й
Какая функция используется в интегральной теореме Муавра-Лапласа?
Ответ:функция Лапласа
Вопрос: 92 — й
Какая функция используется в локальной теореме Муавра-Лапласа?
Ответ: функция Гаусса
Вопрос: 93 — й
Какая функция используется в локальной теореме Муавра-Лапласа?
Ответ: функция Гаусса
Вопрос: 94 — й
Какие выборочные характеристики используются для расчѐта статистики FН при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий:
Ответ: исправленные выборочные дисперсии
Вопрос: 95 — й
Какие значения может принимать функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Ответ: любые неотрицательные значения
Вопрос: 96 — й
Какие значения может принимать функция распределения случайной величины:
Ответ: от 0 до 1
Вопрос: 97 — й
Какие из этих элементов комбинаторики представляют собой неупорядоченные подмножества (порядок следования элементов в которых не важен)?
Ответ: число сочетаний
Вопрос: 98 — й
Каким методом обычно определяются оценки коэффициентов двумерного линейного уравнения регрессии?
Ответ: методом наименьших квадратов
Вопрос: 99 — й
Каким моментом является выборочная дисперсия S2?
Ответ: центральным моментом 2-го порядка
Вопрос: 100 — й
Каким моментом является средняя арифметическая?
Ответ: начальным моментом 1-го порядка
Вопрос: 101 — й
Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты?
Ответ: 1/2
Вопрос: 102 — й
Какова вероятность выпадения «решки» при подбрасывании монеты?
Ответ: 1/2
Вопрос: 103 — й
Какое из этих понятий не является элементом комбинаторики?
Ответ: число испытаний Бернулли
Вопрос: 104 — й
Какое из этих распределений случайной величины является дискретным?
Ответ: биномиальное
Вопрос: 105 — й
Какое из этих распределений случайной величины является непрерывным?
Ответ: равномерное
Вопрос: 106 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H0: σ2 = σ2 0 против H1: σ2= σ2 1 следует выбирать правостороннюю критическую область:
Ответ:
σ2 1& gt; σ2 0
Вопрос: 107 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H0: σ2 = σ2 0 против H1: σ2= σ2 1 следует выбирать двустороннюю критическую область:
Ответ: σ2 1≠ σ2 0
Вопрос: 108 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H0: σ2 = σ2 0 против H1: σ2= σ2 1 следует выбирать левостороннюю критическую область:
Ответ: σ2 1& lt; σ2 0
Вопрос: 109 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ=μ0 против H1: μ=μ1 следует выбирать двустороннюю критическую область:
Ответ: μ1≠ μ0
Вопрос: 110 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ=μ0 против H1: μ=μ1 следует выбирать левостороннюю критическую область:
Ответ: μ1& lt; μ0
Вопрос: 111 — й
Когда при проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ=μ0 против H1: μ=μ1 следует выбирать правостороннюю критическую область:
Ответ: μ1& gt;μ0
Вопрос: 112 — й
Конкурирующая гипотеза — это:
Ответ: гипотеза, противоположная нулевой
Вопрос: 113 — й
Коэффициент детерминации между х и у показывает:
Ответ: долю дисперсии у, обусловленную влиянием х
Вопрос: 114 — й
Коэффициент детерминации является:
Ответ: квадратом выборочного коэффициента корреляции
Вопрос: 115 — й
Критерий Бартлетта и критерий Кохрана применяются в случае:
Ответ: сравнения более 2 генеральных дисперсий
Вопрос: 116 — й
Критерий Бартлетта и критерий Кохрана применяются:
Ответ: при проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий
Вопрос: 117 — й
Линейное относительно аргумента уравнение регрессии имеет вид:
Ответ:
Вопрос: 118 — й
Монета была подброшена 10 раз. «Герб” выпал 4 раза. Какова частость (относительная частота) выпадения «герба”?
Ответ: 0,4
Вопрос: 119 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 36%. Известно, что коэффициент регрессии – отрицательный. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: -0,6
Вопрос: 120 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 36%. Известно, что коэффициент регрессии – положительный. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,6
Вопрос: 121 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 36%. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,6 или -0,6
Вопрос: 122 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 49%. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,7 или -0,7
Вопрос: 123 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии – отрицательный. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: -0,8
Вопрос: 124 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии – положительный. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,8
Вопрос: 125 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 64%. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,8 или -0,8
Вопрос: 126 — й
На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 81%. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:
Ответ: 0,9 или -0,9
Вопрос: 127 — й
Несмещенная оценка остаточной дисперсии в двумерной регрессионной модели рассчитывается по формуле:
Ответ:
Вопрос: 128 — й
Нулевая гипотеза — это:
Ответ: выдвинутая гипотеза, которую нужно проверить
Вопрос: 129 — й
Нулевую гипотезу отвергают, если:
Ответ: наблюдаемые значения статистики критерия попадают в критическую область
Вопрос: 130 — й
От чего зависит точность оценивания генеральной доли или вероятности при построении доверительного интервала в случае большого объѐма выборки?
Ответ: от доверительной вероятности, частости и объѐма выборки
Вопрос: 131 — й
От чего зависит точность оценивания генеральной средней при построении доверительного интервала в случае известной генеральной дисперсии?
Ответ: от доверительной вероятности, генеральной дисперсии и объѐма выборки
Вопрос: 132 — й
От чего зависит точность оценивания генеральной средней при построении доверительного интервала в случае неизвестной генеральной дисперсии?
Ответ: от доверительной вероятности, выборочной дисперсии и объѐма выборки
Вопрос: 133 — й
От чего зависит число степеней свободы в распределении Стьюдента?
Ответ: от объѐма выборки
Вопрос: 134 — й
Оценку коэффициента регрессии при x двумерного линейного уравнения регрессии Y по X находят по формуле:
Ответ:
Вопрос: 135 — й
Парный коэффициент корреляции между переменными равен -1. Это означает:
Ответ: наличие отрицательной линейной функциональной связи
Вопрос: 136 — й
Парный коэффициент корреляции между переменными равен 1. Это означает:
Ответ: наличие положительной линейной функциональной связи
Вопрос: 137 — й
Перечислите основные свойства точечных оценок:
Ответ: несмещенность, эффективность и состоятельность
Вопрос: 138 — й
По какому принципу выбирается критическая область?
Ответ:вероятность попадания в нее должна быть минимальной, если верна нулевая гипотеза и максимальной в противном случае
Вопрос: 139 — й
По результатам выборочных наблюдений были получены выборочные коэффициенты регрессии: byx= — 0,5; bxy= — 1,62. Чему равен выборочный коэффициент детерминации?
Ответ: 0,81
Вопрос: 140 — й
По результатам выборочных наблюдений были получены выборочные коэффициенты регрессии: byx= — 0,5; bxy= — 1,62. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции?
Ответ: -0,9
Вопрос: 141 — й
По результатам выборочных наблюдений были получены выборочные коэффициенты регрессии: byx= 0,5; bxy= 1,62. Чему равен выборочный коэффициент детерминации?
Ответ: 0,81
Вопрос: 142 — й
По результатам выборочных наблюдений были получены выборочные коэффициенты регрессииbyx= 0,5; bxy= 1,62. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции?
Ответ: 0,9
Вопрос: 143 — й
Полиномиальное относительно аргумента уравнение регрессии имеет вид:
Ответ:
Вопрос: 144 — й
При вынесении постоянной величины за знак дисперсии эту величину:
Ответ: возводят в квадрат
Вопрос: 145 — й
При вынесении постоянной величины за знак математического ожидания эту величину:
Ответ: просто выносят за скобки
Вопрос: 146 — й
При интервальной оценке генеральных коэффициентов регрессии используется:
Ответ: распределение Стьюдента
Вопрос: 147 — й
При интервальном оценивании математического ожидания при известном значении генеральной дисперсии используют:
Ответ: нормальное распределение
Вопрос: 148 — й
При интервальном оценивании математического ожидания при неизвестном значении генеральной дисперсии используют:
Ответ: распределение Стьюдента
Вопрос: 149 — й
При использовании критерия Бартлетта рассматриваются выборки:
Ответ: разного объема
Вопрос: 150 — й
При использовании критерия Кохрана рассматриваются выборки:
Ответ: равного объема
Вопрос: 151 — й
При помощи какого критерия проверяется значимость коэффициента корреляции?
Ответ: распределения Фишера-Иейтса
Вопрос: 152 — й
При помощи какого критерия проверяется значимость уравнения регрессии?
Ответ: F-критерия
Вопрос: 153 — й
При помощи какого распределения строится интервальная оценка для генерального коэффициента корреляции?
Ответ: Z-преобразования Фишера
Вопрос: 154 — й
При помощи какого распределения строится интервальная оценка для генеральных коэффициентов регрессии?
Ответ: распределения Стьюдента
Вопрос: 155 — й
При построении доверительного интервала для генеральной дисперсии при больших объѐмах выборки используют
Ответ: нормальный закон распределения
Вопрос: 156 — й
При построении доверительного интервала для генеральной дисперсии при малых объѐмах выборки используют
Ответ: распределение Пирсона
Вопрос: 157 — й
При построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности при больших объѐмах выборки используют
Ответ: нормальный закон распределения
Вопрос: 158 — й
При построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности при малых объѐмах выборки используют
Ответ: биномиальное распределение
Вопрос: 159 — й
При проверке гипотезы о виде неизвестного закона распределения используется:
Ответ: критерий согласия Пирсона
Вопрос: 160 — й
При проверке гипотезы о значении вероятности события нулевая гипотеза отвергается, если:
Ответ: наблюдаемое значение по модулю больше критического
Вопрос: 161 — й
При проверке гипотезы о значении генеральной средней нулевая гипотеза отвергается, если:
Ответ: наблюдаемое значение по модулю больше критического
Вопрос: 162 — й
При проверке гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии используется:
Ответ: нормальный закон распределения
Вопрос: 163 — й
При проверке гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии используется:
Ответ: распределение Стьюдента
Вопрос: 164 — й
При проверке гипотезы о значимости уравнения регрессии H0: β1=0 оказалось, что Fнабл & gt; Fкр. Справедливо следующее утверждение:
Ответ: Уравнение регрессии значимо, т.к. нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки α
Вопрос: 165 — й
При проверке гипотезы о равенстве вероятностей в случае биномиального распределения H0:p1=p2=…=pk используется:
Ответ: распределение Пирсона
Вопрос: 166 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей используется:
Ответ: F-распределение Фишера-Снедекора
Вопрос: 167 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нескольких нормальных совокупностей H0: σ21 = σ2 2=…= σ2 k в случае одинаковых объѐмов выборки используется:
Ответ: критерий Кохрана
Вопрос: 168 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нескольких нормальных совокупностей H0: σ21 = σ2 2=…= σ2 k в случае разных объѐмов выборки используется:
Ответ: критерий Бартлетта
Вопрос: 169 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей нулевая гипотеза не отвергается, если:
Ответ: наблюдаемое значение по модулю меньше или равно критическому
Вопрос: 170 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей с известными генеральными дисперсиями используется:
Ответ: нормальный закон распределения
Вопрос: 171 — й
При проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными генеральными дисперсиями используется:
Ответ: распределение Стьюдента
Вопрос: 172 — й
При проверке гипотезы об однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения используется:
Ответ: распределение Пирсона
Вопрос: 173 — й
При проверке значимости коэффициента корреляции с помощью таблицы Фишера-Иейтса коэффициент корреляции считается значимым, если:
Ответ: рассчитанное по выборке значение коэффициента корреляции превышает по модулю найденное по таблице критическое значение
Вопрос: 174 — й
Произведение каких событий есть событие невозможное?
Ответ: несовместных
Вопрос: 175 — й
Простой называют статистическую гипотезу:
Ответ: однозначно определяющую закон распределения
Вопрос: 176 — й
Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной дисперсии для заданной надѐжности γ?
Ответ: нет
Вопрос: 177 — й
Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной доли (вероятности) в случае большого объѐма наблюдений для заданной надѐжности γ?
Ответ: да
Вопрос: 178 — й
Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной средней для заданной надѐжности γ?
Ответ: да
Вопрос: 179 — й
Сколькими способами можно поставить 5 человек в очередь?
Ответ: 120
Вопрос: 180 — й
Сколькими способов жеребьѐвки существует для 5 участников конкурса?
Ответ: 120
Вопрос: 181 — й
Сколько различных двухбуквенных бессмысленных слов можно составить из букв К, Н, И, Г, А?
Ответ: 20
Вопрос: 182 — й
Сколько различных трѐхбуквенных бессмысленных слов можно составить из букв К, Н, И, Г, А?
Ответ: 60
Вопрос: 183 — й
Сложной называют статистическую гипотезу:
Ответ: не определяющую однозначно закон распределения
Вопрос: 184 — й
Согласно методу наименьших квадратов, в качестве оценок параметров двумерной линейной регрессионной модели следует использовать такие значения b0, b1, которые минимизируют сумму квадратов отклонений:
Ответ: фактических значений зависимой переменной от ее расчетных значений
Вопрос: 185 — й
Статистическим критерием называют:
Ответ: правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо отвергнуть, либо не отвергнуть
Вопрос: 186 — й
Статистической гипотезой называют предположение:
Ответ: о виде или параметрах неизвестного закона распределения случайной величины
Вопрос: 187 — й
Сумма каких событий есть событие достоверное?
Ответ: противоположных
Вопрос: 188 — й
Точечную оценку называют эффективной, если она:
Ответ: обладает минимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок
Вопрос: 189 — й
У какого распределения случайной величины вероятности рассчитываются по формуле Бернулли?
Ответ: биномиального
Вопрос: 190 — й
У какого распределения случайной величины вероятности рассчитываются по формуле Пуассона?
Ответ: Пуассоновского
Вопрос: 191 — й
Уравнение регрессии имеет вид ŷ=1,7+5,1x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:
Ответ: увеличится на 5,1
Вопрос: 192 — й
Уравнение регрессии имеет вид ŷ=1,7-5,1x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:
Ответ: уменьшится на 5,1
Вопрос: 193 — й
Уравнение регрессии имеет вид ŷ=5,1+1,7x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:
Ответ: увеличится на 1,7
Вопрос: 194 — й
Уравнение регрессии имеет вид ŷ=5,1-1,7x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:
Ответ: уменьшится на 1,7
Вопрос: 195 — й
Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины есть … еѐ функции распределения
Ответ: производная
Вопрос: 196 — й
Функция распределения дискретной случайной величины есть функция:
Ответ: разрывная
Вопрос: 197 — й
Функция распределения любой случайной величины есть функция:
Ответ: неубывающая
Вопрос: 198 — й
Функция распределения непрерывной случайной величины есть функция:
Ответ: непрерывная
Вопрос: 199 — й
Функция распределения непрерывной случайной величины есть … еѐ функции плотности вероятности
Ответ: первообразная
Вопрос: 200 — й
Человек забыл последние две цифры номера телефона своего знакомого и, помня лишь, что они различны, пытается набрать номер наугад. Какова вероятность, что он дозвонится с первого раза?
Ответ: 1/90
Чем достигается репрезентативность выборки?
Ответ: случайностью отбора
Вопрос: 202 — й
Чему равна вероятность достоверного события?
Ответ: 1
Вопрос: 203 — й
Чему равна вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины?
Ответ: 0
Вопрос: 204 — й
Чему равна вероятность невозможного события?
Ответ: 0
Вопрос: 205 — й
Чему равна дисперсия постоянной величины?
Ответ: 0
Вопрос: 206 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X+1, если дисперсия X равна 2?
Ответ: 8
Вопрос: 207 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X+1, если дисперсия X равна 3?
Ответ: 12
Вопрос: 208 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-1, если дисперсия X равна 3?
Ответ: 12
Вопрос: 209 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-5, если дисперсия X равна 2?
Ответ: 8
Вопрос: 210 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-5, если дисперсия X равна 2?
Ответ: 8
Вопрос: 211 — й
Чему равна дисперсия случайной величины Y=3X+5, если дисперсия X равна 2?
Ответ: 18
Вопрос: 212 — й
Чему равна сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины?
Ответ: 1
Вопрос: 213 — й
Чему равна сумма доверительной вероятности (надѐжности) γ и вероятности α при использовании распределения Стьюдента?
Ответ: 1
Вопрос: 214 — й
Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X+2, если математическое ожидание X равно 3?
Ответ: 8
Вопрос: 215 — й
Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X-2, если математическое ожидание X равно 4?
Ответ: 6
Вопрос: 216 — й
Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X-2, если математическое ожидание X равно 5?
Ответ: 8
Вопрос: 217 — й
Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=4X+2, если математическое ожидание X равно 3?
Ответ: 14
Вопрос: 218 — й
Чему равно математическое ожидание постоянной величины?
Ответ: этой величине
Вопрос: 219 — й
Чему равно математическое ожидание произведения независимых случайных величин?
Ответ: произведению их математических ожиданий
Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин?
Ответ: сумме их математических ожиданий
Вопрос: 221 — й
Что называют мощностью критерия 1-β?
Ответ: Нулевая гипотеза не верна и ее отвергают согласно критерию
Вопрос: 222 — й
Что называют мощностью критерия1-β?
Ответ: вероятность не допустить ошибку второго рода
Вопрос: 223 — й
Что называют ошибкой второго рода β ?
Ответ: Нулевая гипотеза не верна, но ее принимают согласно критерию
Вопрос: 224 — й
Что называют ошибкой первого рода α?
Ответ: Нулевая гипотеза верна, но ее отвергают согласно критерию
Вопрос: 225 — й
Что показывает множественный коэффициент корреляции?
Ответ: тесноту связи между одной величиной и совместным действием остальных величин
Вопрос: 226 — й
Что показывает парный коэффициент корреляции?
Ответ: тесноту связи между величинами X и Y на фоне действия остальных переменных
Вопрос: 227 — й
Что показывает частный коэффициент корреляции?
Ответ: тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных
Вопрос: 228 — й
Что является несмещѐнной точечной оценкой генеральной дисперсии?
Ответ: исправленная выборочная дисперсия
Вопрос: 229 — й
Что является точечной оценкой генеральной дисперсии?
Ответ: выборочная дисперсия
Что является точечной оценкой генеральной доли или вероятности p?
Ответ: частость (относительная частота) события
Вопрос: 231 — й
Что является точечной оценкой математического ожидания?
Ответ: средняя арифметическая
Вопрос: 232 — й
Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности?
Ответ: частость (относительная частота) события
Вопрос: 233 — й
Доверительный интервал для математического ожидания
N(a, σ) с неизвестным параметром a и известным σ . Параметр a является математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины Х . В качестве точечной оценки параметра a возьмем выборочное среднее: . Для уточнения приближенного равенства a ≈ x построим доверительный интервал, накрывающий параметр a с заданной доверительной вероятностью γ .
Если выборка объема n извлекается из нормальной генеральной совокупности N(a,σ) , то статистика имеет нормальное распределение с параметрами: . Поэтому доверительная вероятность γ удовлетворяет соотношению:
Доверительный интервал для генерального среднего будет иметь вид
(4)
1-α — доверительный интервал
Двусторонняя критическая область
Таблица 1 — Средняя ошибка выборки для генерального среднего
| Генеральная совокупность | Бесконечная | Конечная объема N |
| Тип отбора | Повторный | Бесповторный |
| Средняя ошибка выборки |
Пример №1 . Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью случайного отбора было выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт*час): 125, 78, 102, 140, 90, 45, 50, 125, 115, 112 .
С вероятностью 0.95 определите доверительный интервал для среднего расхода электроэнергии на одну квартиру во всем доме при условии, что отбор был: а) повторным; б) бесповторным, и в доме имеется 70 квартир.
Решение. По условию задачи объем выборки n=10 , т.е. выборка малая. В случае повторного отбора найдем границы доверительного интервала для генерального среднего по формуле (5), считая σ≈s :
Тогда оценка среднего квадратического отклонения σ равна
Пример №2 . С помощью случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону распределения. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.95 можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0.5 года, если стандартное отклонение σ равно 2.7 года?
Решение. По условию ε=0.5 , σ=2.7 , γ = 0.95 и требуется найти объём выборки n при повторном отборе. В этом случае 2Ф(uкр)= γ, где По таблице функции Лапласа найдем, при каком uкр значение Ф(uкр)= γ /2=0.475. Получим uкр=1.96 . Отсюда необходимый объем выборки
Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого: n=113 .
Итак, чтобы с вероятностью 0.95 и точностью ε=0.5 года определить средний стаж работы в фирме, требуется опросить не менее 113 служащих.
Пример . В результате 10 независимых измерений некоторой величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице. Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95 .
| 1,2 | 2,3 | 2,7 | 2,1 | 2,6 | 3,1 | 1,8 | 3,0 | 1,7 | 1,4 |
Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию.
| x | (x — xср) 2 |
| 1.2 | 0.98 |
| 1.4 | 0.62 |
| 1.7 | 0.24 |
| 1.8 | 0.15 |
| 2.1 | 0.0081 |
| 2.3 | 0.0121 |
| 2.6 | 0.17 |
| 2.7 | 0.26 |
| 3 | 0.66 |
| 3.1 | 0.83 |
| 21.9 | 3.93 |
Простая средняя арифметическая (математическое ожидание)
Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии — состоятельная оценка дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 2.19 не более, чем на 0.63
Оценка среднеквадратического отклонения.
Доверительный интервал для генерального среднего.
Поскольку n ≤ 30, то определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262
(2.19 — 0.47;2.19 + 0.47) = (1.72;2.66)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Пример . Если исходные данные необходимо предварительно сгруппировать, то решение можно найти с помощью сервиса группировка данных . Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса
n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log 100 = 8
Тогда ширина интервала составит:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная
Выбираем в качестве начала интервала 49.36, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 51
Медиана
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 48.79
Квартили
Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% — между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3
Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 41.05
Q2 совпадает с медианой, Q2 = 48.79
Остальные 25% превосходят значение 55.16.
Квартильный коэффициент дифференциации.
k = Q1 / Q3 = 41.05 / 55.16 = 0.74
Децили (децентили)
Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9
Таким образом, 10% единиц совокупности будут меньше по величине 33.32
Остальные 10% превосходят 60.55
Показатели вариации.
Размах вариации
R = Xmax — Xmin = 69.02 — 16.56 = 52.46
Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 8.39
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 47.59 не более, чем на 10.53
Оценка среднеквадратического отклонения.
Поскольку v<30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Показатели формы распределения.
Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Относительный показатель квартильной вариации
Степень асимметрии
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Ex > 0 — островершинное распределение
Расчет доверительного интервала для генеральной средней
Доверительный интервал для генерального среднего — это интервал изменений среднего значения совокупности, в пределах которого с заданной вероятностью будет находиться выборочное среднее при выборке данных большего размера.
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа
В этом случае 2Ф(tkp) = 1 — γ
Ф(tkp) = (1 — γ)/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475
tkp (γ) = (0.475) = 1.96
(47.59 — 2.07;47.59 + 2.07) = (45.5188;49.6588)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней
Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины при данном реальном комплексе условий.
Выборкой называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения.
Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п<10—20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического генеральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающих необходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств:
1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;
2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии у 2 и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п [4].
Построение доверительного интервала для генеральной
средней по малой выборке.
Задача построения доверительного интервала для генеральной средней может быть решена, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак имеет нормальное распределение.
Теорема. Если признак (случайная величина) X имеет нормальный закон распределения с параметрами , x 2 = 2 , т.е. , то выборочная средняя при любом n имеет нормальный закон распределения
Если в случае больших выборок из любых генеральных совокупностей нормальность распределения обусловливалась суммированием большого числа одинаково распределенных случайных величин /n (теорема Ляпунова), то в случае малых выборок, полученных из нормальной генеральной совокупности, нормальность распределения вытекает из того, что распределение суммы (композиция) любого числа нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Формулы числовых характеристик для получены ранее.
Таким образом, если бы была известна генеральная дисперсия , то доверительный интервал можно было бы построить аналогично изложенному выше и при малых n. Заметим, что в этом случае нормированное отклонение выборочной средней имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1), т.е. нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.
Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим, что
Однако на практике почти всегда генеральная дисперсия (как и оцениваемая генеральная средняя ) неизвестна. Если заменить ее «наилучшей» оценкой по выборке, а именно «исправленной» выборочной дисперсией , то большой интерес представляет распределение выборочной характеристики (статистики) или с учетом малой выборки, распределение статистики .
Представим статистику t в виде:
Числитель выражения (8) имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1). Можно показать, что случайная величина имеет —распределение с н = n — 1 степенями свободы. Следовательно, статистика t имеет t—распределение Стьюдента с н=п — 1 степенями свободы. Указанное распределение не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины X, а зависит лишь от числа н, называемого числом степеней свободы.
Выше отмечено, что t-распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и действительно при н >? как угодно близко приближается к нему.
Число степеней свободы к определяется как общее число n наблюдений (вариантов) случайной величины X минус число уравнений l, связывающих эти наблюдения, т.е. н = п — l.
Так, например, для распределения статистики число степеней свободы н = п — 1, ибо одна степень свободы «теряется» при определении выборочной средней (и наблюдений связаны одним уравнением ).
3ная t-распределение Стьюдента, можно найти такое критическое значение что вероятность того, что статистика не превзойдет величину (по абсолютной величине), равна:
Функция , где — плотность вероятности t-распределения Стьюдента при числе степеней свободы н табулирована. Эта функция аналогична функции Лапласа Ф(t), но в отличие от нее является функцией двух переменных — t и н = п-1. При н >? функция неограниченно приближается к функции Лапласа Ф(t)[4].
Формула доверительной вероятности для малой выборки может быть представлена в равносильном виде:
— предельная ошибка малой выборки. Доверительный интервал для генеральной средней, как и ранее, находится по формуле:
Пример 5. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы — 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.
Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.
а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):
Теперь искомая доверительная вероятность
, а находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.
Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.
б) Учитывая, что = 0,95 и t0,95;16 =2,12, по (11) найдем предельную ошибку малой выборки (ч). Теперь по (12) искомый доверительный интервал или (ч), т.е. с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.