Как найти расстояние от предмета до линзы

Формула тонкой линзы

Обо­зна­чим через d рас­сто­я­ние от пред­ме­та до линзы и f — от изоб­ра­же­ния до линзы. От­но­ше­ние вы­со­ты изоб­ра­же­ния (H) к вы­со­те пред­ме­та (h), на­зо­вем уве­ли­че­ни­ем линзы и обо­зна­чим через Г, гамма. Тогда можно вы­ве­сти такую фор­му­лу:

Г=H/h

Пред­мет обо­зна­чим AB , изоб­ра­же­ние –A'B' . Рас­смот­рим две пары по­доб­ных тре­уголь­ни­ков AOB и A'OB', и из этого можно вы­ве­сти еще одну фор­му­лу:

Г=H/h=f/d

Также из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CFO и A'FB' сле­ду­ет, что:

Те­перь мы можем при­рав­нять по­лу­чен­ные ра­вен­ства, про­из­во­дим неслож­ные ариф­ме­ти­че­ские вы­чис­ле­ния и по­лу­ча­ем ко­неч­ную фор­му­лу:

1/d=1/F-1/f

или

Дво­я­ко­во­гну­тая линза

Дво­я­ко­во­гну­тую линзу, из­го­тов­лен­ную из ма­те­ри­а­ла с ко­эф­фи­ци­ен­том пре­лом­ле­ния боль­шим 1, на­зы­ва­ют рас­се­и­ва­ю­щей. Такое на­зва­ние обу­слов­ле­но тем, что лучи, иду­щие до пре­лом­ле­ния в линзе па­рал­лель­но ее глав­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния от­кло­ня­ют­ся от сво­е­го на­прав­ле­нию в сто­ро­ну от глав­ной оп­ти­че­ской оси, в от­ли­чие от со­би­ра­ю­щей линзы. Все утвер­жде­ния о ходе лучей в рас­се­ва­ю­щей линзе яв­ля­ют­ся ана­ло­га­ми для со­от­вет­ству­ю­щих утвер­жде­ний в со­би­ра­тель­ной линзе с той лишь раз­ни­цей, что те­перь го­во­рить стоит не о ходе самих лучей, а об их про­дол­же­ни­ях.

1. Луч, про­хо­дя­щий через оп­ти­че­ский центр, не пре­лом­ля­ет­ся

2. Луч, па­рал­лель­ный глав­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния идет так, что его про­дол­же­ние про­хо­дит через глав­ный фокус

Луч, па­рал­лель­ный по­боч­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния идет так, что его про­дол­же­ние про­хо­дит через по­боч­ный фокус, ко­то­рый яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­боч­ной оп­ти­че­ской оси па­рал­лель­ной лучу с фо­каль­ной плос­ко­стью

Фор­му­ла тон­кой рас­се­ва­ю­щей линзы будет иметь вид:

По­лу­чен­ная фор­му­ла яв­ля­ет­ся фор­му­лой тон­кой линзы, как мы видим, она свя­зы­ва­ет три ве­ли­чи­ны: рас­сто­я­ние от пред­ме­та до линзы, рас­сто­я­ние от изоб­ра­же­ния до линзы и фо­кус­ное рас­сто­я­ние линзы. Зная два из выше при­ве­ден­ных па­ра­мет­ров, мы с лег­ко­стью можем найти тре­тий.

Важно от­ме­тить, что в за­да­чах лишь два из этих па­ра­мет­ров могут ме­нять свое зна­че­ние, а имен­но рас­сто­я­ние от пред­ме­та до линзы и рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния.

Т.о. формула тонкой линзы:

Правило знаков

Величины d, f, F могут быть как положительными, так и отрицательными. Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом "1/|F|" ставиться знак "+". В случае рассеивающей линзы F больше 0 и в правой части формулы будет стоять отрицательная величина "-1/|F|". Перед членом "1/|f|" ставиться знак "плюс", если изображение действительное, и знак "минус" в случае мнимого изображения. Наконец, перед членом "1/|d|" ставят знак "плюс" в случае действительной светящейся точки, и "минус", если она мнимая (т.е. на линзу падает сходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются в одной точке).

Линзы

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. Чаще всего его делают из стекла или пластика.

Линзы и оптические системы, состоящие из них, изменяют направления падающих на них лучей. Изображения всегда находятся на пересечении лучей. Если параллельный пучок лучей, пройдя через оптическую систему, становится сходящимся, ее называют собирающей, или положительной.

Если пучок расходится, ее называют рассеивающей, или отрицательной. Рассеивающая линза всегда дает мнимое уменьшенное изображение.

Линза первого типа собирает изначально параллельный пучок в одной точке — фокусе. Пройдя сквозь линзу второго типа, все лучи кажутся выходящими из мнимого фокуса. Пучки, слабо наклоненные к оси симметрии, также называемой главной оптической осью, собираются в точках на плоскости, перпендикулярной оптической оси. Это фокальная плоскость, а точка ее пересечения с осью называется главным фокусом.

Линза имеет две фокальные плоскости: ведь на нее можно светить с обеих сторон. Но для получения резкого изображения нужно сфокусировать не параллельные, а расходящиеся лучи, испускаемые каждой точкой объекта.

Проще всего рассчитать ход лучей в тонкой линзе, толщина которой гораздо меньше любого радиуса кривизны ее поверхностей и может быть приравнена к нулю. Благодаря этому сильно упрощаются расчеты при решении задач:

1. Можно заменить сферические поверхности плоскостью, которая перпендикулярна ее главной оси в центре линзы, и рассмотреть преломления только на ней.
2. Существуют «замечательные лучи», построение которых позволяет вычислить ход любого луча, проходящего сквозь линзу.

Линзы также делятся на виды по форме.
Собирающие бывают:

• двояковыпуклыми;
• плоско-выпуклыми;
• вогнуто-выпуклыми.

• двояковогнутыми;
• плоско-вогнутыми;
• выпукло-вогнутыми.

Как найти фокусное расстояние, формулы

Если обозначить через f фокусное расстояние, через g — расстояние от предмета до линзы, а через h — расстояние от линзы до изображения, тонкую линзу можно описать следующей формулой:

Также с помощью этой формулы можно рассчитать, где окажется сфокусированное изображение, и вычислить его размер. Увеличение действительного изображения, которое создают преломленные лучи, равно h, разделенному на g.

Если линзу перенести из воздуха в среду с другим показателем преломления, ее фокусное расстояние возрастет. Когда показатели преломления среды и вещества равны, точка фокуса окажется бесконечно далеко, и линза перестанет работать.

Формула тонкой линзы с учетом показателей преломления n и n_0 выглядит следующим образом:

Показатель преломления воздуха n = 1,000278. Нырнув в воду, показатель преломления которой равен 1,33, человек должен перефокусировать хрусталик глаза и очень сильно уменьшить его фокусное расстояние. Но глазные мышцы на это не рассчитаны. Вот почему под водой все предметы видятся размытыми, «не в фокусе». Маска для ныряния благодаря воздушной прослойке внутри возвращает способность видеть нормально. Но людям, постоянно носящим очки для коррекции зрения, приходится искать другой способ хорошо видеть под водой, например, заказать специальную маску с диоптриями.

Чему равно расстояние для собирающей и рассеивающей

Для действительного изображения собирающей линзы все величины положительны. Но в случае если предмет расположить между собирающей линзой и точкой ее фокуса, появится мнимое увеличенное изображение. Так, например, работает лупа, увеличительное стекло.

Изображение называют мнимым, поскольку в нем нет пересечения световых лучей. Фотопленка там ничего не зафиксирует. Чтобы сфотографировать его, нужно использовать мнимое изображение в качестве источника для другой оптической системы — объектива, дающего действительное пересечение лучей.

Совокупность всех точечных изображений, которые можно получить с помощью данной оптической системы, называется пространством изображений, а множество точек, изображения которых можно получать, — пространством предметов. Мнимые изображения находятся в пространстве предметов на отрицательном расстоянии от линзы. Отрицательным принимается также фокусное расстояние рассеивающей линзы.

Изображения линз

Построение изображений происходит по трем правилам, или трем «замечательным лучам»:

1. Луч, до собирающей линзы идущий параллельно ее главной оптической оси, после преломления обязательно пройдет через главный фокус. В рассеивающей он преломится так, что будет казаться выходящим из главного мнимого фокуса.
2. Луч, проходящий через геометрический центр по побочной оптической оси, не изменяет направления, так как в самом центре обе поверхности линзы перпендикулярны главной оси и параллельны друг другу.
3. Луч, проходящий через фокус в сторону собирающей линзы, после преломления на главной плоскости станет параллельным ее главной оси. Луч, продолженный сквозь рассеивающую линзу в ее мнимый фокус, после прохождения станет параллельным главной оси.

Используя эти правила, можно построить изображение каждой точки.

Определение диоптрии

Для объективов всегда указывают фокусное расстояние f. А для очков, как правило, указывают оптическую силу Ф — величину, обратную f. Ее измеряют в диоптриях, внесистемных единицах. Также она обозначается D. Ее можно измерить с помощью специального прибора, который называется диоптриметром.

Как найти расстояние от предмета до линзы

§ 179. Формула тонкой линзы

Как вы уже могли заметить, расстояние от предмета до линзы и расстояние от изображения до линзы находятся в зависимости друг от друга. Эта зависимость определяется выражением, известным как формула тонкой линзы. Сейчас мы попробуем самостоятельно получить его.

Рассмотрим ситуацию, когда на предмет смотрят при помощи собирающей линзы. Используя накопленный опыт, мы сразу можем построить получаемое в итоге изображение.

Фокусное расстояние мы примем за f , расстояние от предмета до линзы — за d_п , а расстояние от изображения до линзы — за d_и . Учитывайте, что за пределами наших рассуждений могут использоваться другие обозначения.

Прежде всего нам нужно «отзеркалить», то есть перенести слева направо, треугольник, располагающийся с левой стороны от оси симметрии линзы.

Теперь взглянем на два треугольника, образующих «песочные часы». Что хорошего мы можем про них сказать?

Они подобны по двум углам (обратите внимание на вертикальные углы, а еще на накрест лежащие углы при двух параллельных прямых).

У подобных треугольников соответственные стороны (стороны, находящиеся напротив равных углов) пропорциональны. Желанная связь между расстоянием от предмета до линзы и расстояниям от линзы до изображения где-то совсем недалеко:

И все же ее пока не видно. Зацепку можно обнаружить, рассмотрев другой набор треугольников, находящийся здесь же:

Они тоже будут подобны по двум углам (снова присутствуют вертикальные углы, кроме того, рассматриваемые треугольники — прямоугольные).

Ну хорошо, снова можно говорить о какой-то пропорциональности соответственных сторон. Скажем, тех сторон, что лежат на главной оптической оси:

Здесь нужно озарение, которое направит глаза к неизвестным и вроде как мало интересным отрезкам, которые мы лаконично назовем a и b .

Они тоже пропорциональны друг другу, но самое главное — это то, что они принадлежат и той, и другой паре представленных треугольников, алгебраически объединяя их между собой:

Мы почти закончили:

Еще пара нежных штрихов:

Это и есть формула тонкой линзы. Она сама по себе достаточно изящная, легко остается в памяти, поэтому нет необходимости каждый раз выводить ее заново. При этом учитывайте, пожалуйста, знаки, когда работайте с ней: перед первой дробью ставится плюс, когда речь идет о собирающей линзе, и минус, когда о рассеивающей; перед второй дробью всегда будет плюс, если вы имеете дело с одиночной линзой; наконец, перед третьей дробью ставится плюс, когда изображение действительное, и минус, когда оно мнимое.

Формула тонкой линзы

Лучи, прошедшие через линзу, образуют изображение (реальное или мнимое) источника света. Для его построения используется специальное соотношение, называемое формулой тонкой линзы. Рассмотрим применение этой формулы.

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает расстояние от линзы до источника $d$ и расстояние от линзы до изображения $f$ с фокусным расстоянием линзы $F$:

Все величины, входящие в эту формулу, могут быть отрицательными. Знаки параметров ставятся в соответствии со следующими правилами:

• Для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно, для рассеивающей линзы — отрицательно.
• Расстояние от линзы до изображения $f$ положительно, если изображение действительное, и отрицательно, если оно мнимое.
• Расстояние от линзы до источника $d$ положительно, если точка источника действительна, и лучи идущие от неё, расходятся. Если точка мнимая (лучи падают на линзу, сходясь к точке), то расстояние $d$ отрицательно.
• Перед неизвестной величиной ставится знак «плюс».

Отметим, что изображение (действительное или мнимое), которое дает линза, чаще всего имеет размер, отличный от исходного объекта. Различие размеров исходного объекта и изображения называется увеличением линзы $\Gamma$. Это значение равно:

Рассмотрим применение формулы тонкой линзы на конкретных примерах.

Собирающая линза

Допустим, имеется собирающая линза оптической силой 2 дптр. На каком расстоянии от нее будет изображение предмета, находящегося на расстоянии 0,1 м от нее?

Рис. 2. Мнимое увеличенное изображение в собирающей линзе.

Напомним, что оптическая сила $D$ связана с фокусным расстоянием линзы $F$ соотношением:

Из данной формулы получим, что при оптической силе 2 дптр фокусное расстояние линзы будет равно $F=0.5$м.

Подставляя данные, получим:

Откуда $f=-0.125$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Это изображение находится перед предметом, дальше от линзы.

Изображение получилось мнимым потому, что предмет расположен слишком близко к линзе, ближе фокальной плоскости.

С помощью собирающей линзы можно получить и действительное изображение. Это произойдет, если расстояние от предмета до линзы будет больше фокусного. Например, для той же линзы, если предмет будет находиться на расстоянии 1 м, то изображение будет действительным. Проверим это. Подставив в формулу, получаем:

Откуда $f=1$м. Знак указывает, что изображение предмета на самом деле является действительным. Изображение находится по другую сторону от линзы.

Рассеивающая линза

Теперь, допустим, что при том же расстоянии до предмета 0,1 м линза будет рассеивающей и иметь оптическую силу 2 дптр.

Рис. 3. Мнимое изображение в рассеивающей линзе.

Поскольку линза рассеивающая, фокусное расстояние следует брать отрицательным:

Откуда: $f=-0.08333…$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Оно находится между предметом и линзой.

Обычно считается, что рассеивающая линза дает только мнимое изображение. Однако, подставив в формулу $F<0$, можно заметить, что получить положительное $f$ всё-таки возможно, если $d$ будет достаточно мало по модулю и отрицательно. То есть лучи от предмета должны сходиться к линзе. Это можно сделать, например, используя еще одну достаточно сильную собирающую линзу. Расположив собирающую линзу перед рассеивающей, можно найти такое их взаимное положение, при котором изображение будет реальным и прямым. Именно так устроена простейшая подзорная труба. Ее увеличение равно отношению фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз.

Что мы узнали?

Формула тонкой линзы связывает три параметра: фокусное расстояние линзы, расстояние до предмета и расстояние до изображения. Все три величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Если какая-то величина неизвестна, она принимается положительной, но в результате расчетов она может стать отрицательной, и это означает, что объект мнимый или линза рассеивающая.