Как выносить множитель из матрицы
Перейти к содержимому

Как выносить множитель из матрицы

  • автор:

Пять основных операций над матрицами

Над матрицами можно выполнять определенные операции, которые имеют аналогии с числами, такие как вынесение знака за скобку, сложение, вычитание, умножение на число и вынесение общего множителя. Все эти операции мы рассмотрим в данной статье.

Помимо этого, существуют еще такие операции как транспонирование матрицы, произведение матриц, возведение матрицы в степень, нахождение обратной матрицы к данной. Эти и другие действия мы подробно рассмотрим в следующих статьях.

Итак, приступим к практике.

1. Вынесение знака (минуса) за матрицу

При этом в самой матрице у каждого элемента вам необходимо сменить знак на противоположный.

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

2. Сложение матриц

Здесь всё просто, вы берете две матрицы (ОБЯЗАТЕЛЬНО! одинаковых размерностей) и складываете числа, имеющие одинаковые индексы.

Пусть даны следующие матрицы:

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

Найдем их сумму:

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

3. Вычитание матриц

Аналогично сложению, вы берете две матрицы одинакового размера и вычитаете числа с одинаковыми индексами.

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

4. Умножение матрицы на число

Это значит, что вам предстоит умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

5. Вынесение общего множителя за знак матрицы

Необходимо найти общий множитель для всех элементов и вынести его за пределы матрицы.

Пять основных операций над матрицами (вынесение знака, сложение, вычитание, умножение на число, вынесение общего множителя)

Как мы можем заметить, все эти операции достаточно легки в понимании, так как имеют прямые аналогии с числами и не требуют сложных математических расчетов.

1. Матрицы

Таблица чисел (символов) из m строк и n столбцов называется прямоугольной матрицей размерности m×n, а составляющие ее элементы – элементами матрицы. В дальнейшем будут рассматриваться только числовые матрицы.

Традиционно принята следующая система символьных обозначений:

матрица – прописная латинская буква, а ее элемент – одноименная строчная буква с указанием двух индексов, означающих номера строки и столбца, в которых находится конкретный элемент. Матрицы классифицируются по внешнему признаку и внутреннему содержанию.

Сначала разберемся с внешним признаком, под которым подразумевается конфигурация матрицы как геометрической фигуры. Запись

А==

описывает прямоугольную матрицу A размерности m×n, у которой на пересечении i-й строки и j-го столбца находится элемент .

Если m=1, то матрица состоит из одной единственной строки = и потому называется вектор-строка.

Если же n=1, то имеем вектор-столбец

.

Если m=n=1, то матрица содержит одно единственное число Таким образом, число является частным случаем более общей структуры, каковой является матрица.

Особый случай представляют собой квадратные матрицы, у которых

m=n. При этом говорят уже не о размерности, а о порядке матрицы n.

В структуре квадратной матрицы линия из левого верхнего угла в нижний правый называется главной диагональю. Элементы с одинаковыми индексами, находящиеся на этой линии, называются элементами главной диагонали.

Среди квадратных матриц в соответствии с их содержимым выделяются следующие виды, перечисленные ниже.

Матрица, у которой либо под, либо над главной диагональю находятся только нули, называется треугольной. В приведенных ниже примерах треугольных матриц 3-го порядка символом «⋆» обозначены не нулевые элементы

, , , , .

Матрица с хотя бы частично отличной от нуля одной только главной диагональю называется диагональной

, . .

Если же диагональ заполнена одними единицами, то такая матрица называется единичной. Для нее принято специальное обозначение

Е=

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой и обозначается

== .

1.2. Арифметические операции над матрицами

На множестве матриц сначала определяется понятие равенства как важнейшего элемента любой математической операции, после чего вводятся арифметические операции. Умея сравнивать только два числа от равных матриц логично потребовать равенства их соответствующих элементов, т.е. находящихся в матрицах на одних и тех же местах, что автоматически влечет требование одинаковой размерности матриц. В соответствии с этим под равенством матриц понимается равенство их размерностей и всех соответствующих элементов, что с помощью введенной ранее символики может быть записано следующим образом:

Над матрицами, как и над числами, можно производить арифмети- ческие операции сложения и умножения на число. Поскольку реально складывать мы умеем только два числа, то сложение двух совокупностей чисел, оформленных в виде матриц, разумно свести к этой парной операции, применяемой к соответствующим элементам матриц.

Сложение (вычитание) двух матриц осуществляется путем суммирования их соответствующих элементов и определяется для матриц одинаковой размерности по соображениям аналогичным равенству:

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число каждого элемента матрицы:

Таким образом, операции сложения матриц и умножения на число распространяются на их элементы.

Эти операции приводят к матрице с противоположным знаком

(–1)А= = –А

и нулевой матрице

0=

При этом нулевая матрица как и числовой 0 не меняет второе слагаемое

A+ =A, А+(–A)=А–A=.

Из правил выполнения арифметических операций над матрицами вытекают их алгебраические свойства.

1. Сложение матриц коммутативно А+В=В+А.

2. Сложение матриц ассоциативно А+(В+С)=(А+В)+С.

3. Умножение матрицы на число ассоциативно λ(μA)= (λμ)A.

4. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложе

ния чисел (λ+μ)A=λA+μA и матриц λ(A+B)=λA+μB.

Эти равенства слева направо читаются так скобки можно рас

крывать, а в обратном порядке общий множитель, как число,

так и матрицу можно выносить за скобки.

5. Матрица не меняется, если ее сложить с нулевой матрицей

А+ = +А=А, откуда А–А=,

т.е. на множестве матриц играет роль, аналогичную нулю на множестве действительных чисел.

Пример суммы двух матриц с умножением второй матрицы на число:

= + = = .

После сложения матриц и умножения матрицы на число следующим шагом является определение способа умножения двух матриц. Однако сделать это на основе каких-либо простых соображений на сей раз уже не представляется возможным. Словесное содержание алгоритма умножения матриц звучит следующим образом. Для того чтобы умножить одну матрицу на другую, надо все строки первой матрицы последовательно умножить на все столбцы второй матрицы. Умножение -й строки на ��-й столбец осуществляется путем попарного перемножения их соответствующих элементов и сложения полученных результатов. При этом будет получен элемент результирующей матрицы -й строки и ��-го столбца. Данное правило требует наличия соответствующих элементов в строке и столбце, а это означает, что длина строки (количество столбцов) первой матрицы должна быть равна длине столбца (количеству строк) второй матрицы.

Аналитически это правило записывается в следующем виде

=

Таким образом, элемент результирующей матрицы вычисляется в виде суммы попарных произведений соответствующих элементов строки и столбца. Схематически умножение матриц можно представить так, как это сделано ниже в окаймлении рамки.

=

Если же сомножители поменять местами, то получится совершенно другой результат  матрица иная не только по содержимому, но и вообще другой размерности:

Эти примеры показывают, что результат умножения двух матриц зависит от того, в какой последовательности матрицы взяты как сомножители. Такое свойство называется некоммутативностью.

Ниже сформулированы основные свойства произведения матриц.

1. Некоммутативность АВ≠ВА.

2. λ

3. Ассоциативность A(BC)=(AB)С.

4. Дистрибутивность относительно сложения матриц

т.е., с одной стороны можно раскрывать скобки, а с другой –

матрицу как общий множитель можно выносить за скобки.

По причине некоммутативности произведения матриц используется следующий термин: умножить матрицу А на В справа АВ или слева ВА. Таким образом, указывается та сторона матрицы А, где матрица В находится как сомножитель.

Очевидное свойство матрицы Е заключается в том, что при умножении она не меняет второй сомножитель AE=EA=A и произведение в данном случае коммутативно. Именно за это качество матрица E и названа единичной, поскольку на множестве матриц она играет роль единицы. В качестве упражнения стоит проверить, что матрица, состоящая исключительно из одних единиц, этому условию не удовлетворяет.

Некоторые свойства операций над матрицами.
Матричные выражения

На базовых уроках Действия с матрицами, Как найти обратную матрицу? мы познакомились с понятием матрицы и основными операциями над матрицами. При этом основные акценты были подробно расставлены на технических приёмах вычисления, чтобы совершенно неподготовленный человек смог быстро научиться решать матрицы. Поэтому чайникам следует начать с первых двух статей и лягушатника с определителем матрицы. Из инструментальных средств рекомендую запастись матричным калькулятором, который позволит контролировать весь процесс решения и не допустить ошибок. Найти его можно, например, на складе математических формул и таблиц.

А сейчас последует продолжение темы, в котором мы рассмотрим не только новый материал, но и отработаем действия с матрицами.

Некоторые свойства операций над матрицами

Существует достаточно много свойств, которые касаются действий с матрицами, в той же Википедии можно полюбоваться стройными шеренгами соответствующих правил. Однако на практике многие свойства в известном смысле «мертвЫ», поскольку в ходе решения реальных задач используются лишь некоторые из них. Моя цель – рассмотреть прикладное применение свойств на конкретных примерах, и если вам необходима строгая теория, пожалуйста, воспользуйтесь другим источником информации.

Но сначала вернёмся к действиям с матрицами (к слову, в той статье мы уже неявно затронули ряд свойств). Начну с небольшого вопроса, который вызвал трудности у некоторых посетителей сайта:

Можно ли к матрице прибавить число?

Например: . Ну, или наоборот:

Нет. К матрице можно прибавить только другую матрицу, причём точно такого же размера.

Матрицу можно умножить на число. Но сложить их нельзя. Таковы правила игры.

Следует отметить, что допустимо сложение определителя матрицы с числом:

Результат вычисления определителя – число, а два числа суммируются без всяких проблем.

Вышесказанное, естественно, справедливо и для разности, ведь вычитание – это частный случай сложения.

Как на счёт того, чтобы плотно зависнуть у меня сегодня вечером? =) Практика показывает, что наибольшие трудности у студентов вызывает умножение матриц. Так наполним же кружки соответствующей информацией.

Повторим само правило. В статье Действия с матрицами я рассказал о том, какие матрицы можно умножать и привёл ряд наиболее распространённых примеров. Давайте рассмотрим операцию чуть подробнее и выделим два существенных пункта:

1) Смотрим на левую часть. Из первого урока нам известно, что матричное умножение возможно в том и только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

2) Смотрим на правую часть и обращаем внимание на размерность результатаСКОЛЬКО строк и столбцов должно быть у итоговой матрицы.

Решение: произведение существует, причём итоговая матрица состоит из 1 строки и 2 столбцов:

Ответ:

Это пример для самостоятельного решения.

Предложенные примеры не случайны. Они вроде бы просты, но у начинающих здесь нередко возникает путаница с размерами матрицы-результата. Поэтому читателям с небольшим опытом целесообразно переписать вышеприведённую формулу и особенно серьёзно отнестись к практическим примерам.

А по каким принципам составляются начинка (суммы произведений чисел), думаю, все уже поняли. Дополнительно возьмём на вооружение образную ассоциацию, которая поможет хорошо запомнить действие. Читаем следующий параграф:

Как возвести матрицу в квадрат?

Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.

Возвести квадратную матрицу в квадрат – это значит, умножить её саму на себя:

Возвести в квадрат матрицу

Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»:

Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =)

Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.

Ответ:

Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже.

Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице

Материал, по меньшей мере, частично вам знаком. Для тех, кто не знает термина:
Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: . Собственно, подробная иллюстрация с конкретными примерами уже была дана в статье Действия с матрицами.

Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач.

Если у квадратной матрицы существует обратная матрица , то их умножение коммутативно:

Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно вычислить произведение либо произведение и убедиться в том, что получится единичная матрица . Конкретные примеры можно посмотреть в статье Как найти обратную матрицу?

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: , и т.д.

При этом справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.

Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи: .

Желающие могут провести проверку и убедиться, что:

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.

Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц

Для матриц и действительного числа справедливо следующее свойство:

То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы.

Примечание: вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц.

Решение:

(1) Согласно свойству перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на .

Окончательный ответ лучше оставить в виде , хотя, в принципе, годится и внесение дроби: . На технических тонкостях умножения матрицы на число я подробно останавливался на уроке Действия с матрицами.

Ответ:

Маленькая шарада для самостоятельного решения:

Решение и ответ в конце урока.

Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь.

Прицепим к локомотиву ещё один вагон:

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения:

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

2) Используем формулу

Ответ:

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос:

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу:

То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу .

Возвести матрицу в куб.

Это небольшая задачка для самостоятельного решения.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: – это произведение трёх матриц.

1) . Иными словами, сначала находим , затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение

Дополнительное задание к Примеру 8:

Возвести матрицу в четвёртую степень.

Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами:

1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение .

2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой .

Оба варианта решения и ответ – в конце урока.

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:

1) находим ;
2) находим ;
3) возводим матрицу в пятую степень: .

Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах.

Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка.

Матричные выражения

Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / деление и в последнюю очередь – сложение /вычитание.

Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом, например:

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением.

С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей.

Все задания будут из реальных контрольных работ, и мы начнём с самого простого:

Даны матрицы . Найти:

Решение: порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение.

Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров.

Не удивляйтесь, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа.

Пробуем вычислить второе выражение:

Тут всё нормально.

Ответ: действие выполнить невозможно, .

Найти значения выражений:

Решение: Разбираемся с произведением . Сначала транспонируем матрицы «дэ»:

И умножаем матрицы:

Матричное умножение выполнить невозможно, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

А вот с произведением проблем не возникает:

Еще раз заметьте, как на первом же шаге множитель (–1) выносится вперёд, и ноги до него доходят в самую последнюю очередь.

С более сложными выражениями вроде чайникам рекомендую разбираться поэтапно, чтобы не запутаться:

Сначала находим произведение:

Затем считаем второе слагаемое:

И, наконец, всё выражение:

Более подготовленные студенты могут оформить решение одной строкой:

Ответ: действие выполнить невозможно, , .

Пара заключительных примеров для самостоятельного решения:

Для матриц Примера №10 выполнить действия:

Вычислить значение матричного многочлена , если .

В последнем примере решение удобно оформить по пунктам.

Матричные выражения – это просто! И вряд ли на практике вам встретится что-то сложнее, чем разобранные примеры.

Теперь во всеоружии можно приступить к изучению матричных уравнений.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Ответ:

Пример 5: Решение:

Ответ:

Пример 7: Решение:
1) Используем формулу

2) Используем формулу

Ответ:

Пример 8: Решение: Сначала возведём матрицу в квадрат:

Возведём матрицу в куб:

Возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами:

Ответ:

Пример 11: Решение:

Возведение в квадрат невозможно, поскольку операция определена только для квадратных матриц.

Ответ: , действие выполнить невозможно,

Пример 12: Решение:
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ:
Примечание: выражение можно было вычислить и по-другому – предварительно раскрыть скобки:

Операции над матрицами

Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:

В этой матрице две строки (m = 2) и три столбца (n = 3), т.е. она состоит из шести элементов aij, где i — номер строки, j — номер столбца. При этом принимает значения от 1 до 2, а от одного до трех (записывается ). А именно, a11= 3; a12= 0; a13= -1; a21= 0; a22= 1,5; a23= 5.

Матрицы А и В одного размера (m х n) называют равными, если они поэлементно совпадают, т.е. aij = bij для , т.е. для любых i и j (можно записать "i, j).

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, а матрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.

Например, — матрица-строка, а .

Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.

Например, — квадратная матрица второго порядка.

Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (aij, i = j). Эти элементы образуют главную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементы a11= 3 и a22= 5.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, — диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной (обычно обозначаются буквой Е). Например, — единичная матрица третьего порядка.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например, — треугольная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции:

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число l называется матрица В = lА, элементы которой bij = laij для любых i и j.

Например, если , то .

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой сij = aij + bij для "i, j.

Например, если то

Отметим, что через предыдущие операции можно определить вычитание матриц одинакового размера: разность А-В = А + (-1)*В.

3. Умножение матриц. Произведением матрицы А размера m x n на матрицу В размера n x p называется такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. .

, то размер матрицы-произведения будет 2 x 3, и она будет иметь вид:

В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

На основе операции умножения для квадратных матриц определена операция возведения в степень. Целой положительной степенью А m (m > 1) квадратной матрицы А называются произведение m матриц, равных А, т.е.

Подчеркнем, что сложение (вычитание) и умножение матриц определены не для любых двух матриц, а только для удовлетворяющим определенным требованиям к своей размерности. Для нахождения суммы или разности матриц их размер обязательно должен быть одинаковым. Для нахождения произведения матриц число столбцов первой из них должно совпадать с числом строк второй (такие матрицы называют согласованными).

Рассмотрим некоторые свойства рассмотренных операций, аналогичные свойствам операций над числами.

1) Коммутативный (переместительный) закон сложения:

2) Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

5) Ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

Подчеркнем, что переместительный закон умножения для матриц в общем случае НЕ выполняется, т.е. AB ¹ BA. Более того, из существования AB не обязательно следует существование ВА (матрицы могут быть не согласованными, и тогда их произведение вообще не определено, как в приведенном примере умножения матриц). Но даже если оба произведения существуют, они обычно разные.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А (умножение на единичную матрицу здесь аналогично умножению на единицу при умножении чисел):

Подчеркнем еще одно отличие умножения матриц от умножения чисел. Произведение чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. О матрицах этого сказать нельзя, т.е. произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице. Например,

Продолжим рассмотрение операций над матрицами.

4. Транспонирование матрицы представляет собой операцию перехода от матрицы А размера m x n к матрице А Т размера n x m, в которой строки и столбцы поменялись местами:

Свойства операции транспонирования:

1) Из определения следует, что если матрицу транспонировать дважды, мы вернемся к исходной матрице: (A T ) T = A.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак транспонирования: (lА) T = lА T .

3) Транспонирование дистрибутивно относительно умножения и сложения матриц: (AB) T = B T A T и (A + B) T = B T + A T .

Определители матриц

Для каждой квадратной матрицы А вводится число |А|, которое называют ее определителем. Иногда его еще обозначают буквой D.

Это понятие является важным для решения ряда практических задач. Определим его через способ вычисления.

Для матрицы А первого порядка ее определителем называют ее единственный элемент |А| = D1 = а11.

Для матрицы А второго порядка ее определителем называют число, которое вычисляют по формуле |А| = D2 = а11* а22 – а21* а12

Для матрицы А третьего порядка ее определителем называют число, которое вычисляют по формуле

Оно представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, в каждое из которых входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Для запоминания формулы определителя принято пользоваться так называемым правилом треугольников или правилом Сарруса (рисунок 6.1).

На рисунке 6.1 схема слева показывает, каким образом выбирать элементы для слагаемых со знаком «плюс», — они находятся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых ей параллельны. Схема слева используется для слагаемых со знаком «минус»; на ней вместо главной диагонали берется так называемая побочная.

Определители более высоких порядков вычисляют рекуррентным способом, т.е. определитель четвертого порядка через определитель третьего порядка, определитель пятого порядка через определитель четвертого порядка и т.д. Для описания этого способа необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы (сразу же отметим, что сам способ, который будет рассмотрен далее, подходит и для определителей третьего и второго порядка).

Минором Мij элемента аij матрицы n-го порядка называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Каждая матрица n-го порядка имеет n 2 миноров (n-1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением Aij элемента аij матрицы n-го порядка называют его минор, взятый со знаком (-1) ( i+ j) :

Из определения следует, что Aij = Мij, если сумма номеров строки и столбца четная, и Aij = -Мij, если она нечетная.

Например, если , то ; и т.д.

Способ вычисления определителя состоит в следующем: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки; );

(разложение по элементам j-го столбца; ).

Отметим, что и в общем случае определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Сформулируем основные свойства определителей.

1. Если какая-либо строка или столбец матрицы состоит из одних нулей, то определитель равен 0 (следует из способа расчета).

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то и ее определитель умножится на это число (также следует из способа расчета – на расчет алгебраических дополнений общий множитель не влияет, а все остальные слагаемые умножены именно на это число).

Замечание: за знак определителя можно выносить общий множитель именно строки или столбца (в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех ее элементов). Например, , но .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |А Т | = |А| (доказательство проводить не будем).

4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

Для доказательства этого свойства вначале предположим, что переставлены две соседние строки матрицы: i-я и (i+1)-я. Для расчета определителя исходной матрицы осуществим разложение по i-й строке, а для определителя новой матрицы (с переставленными строками) – по (i+1)–й (которая в ней такая же, т.е. поэлементно совпадает). Тогда при расчете второго определителя каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак, так как (-1) будет возводиться не в степень (i + j), а в степень (i + 1+ j), а в остальном формулы отличаться не будут. Таким образом, знак определителя изменится на противоположный.

Теперь предположим, что переставлены не соседние, а две произвольные строки, например, i-я и (i+t)-я. Такую перестановку можно представить как последовательное смещение i-й строки на t строк вниз, а (i+t)-й строки — на (t-1) строк вверх[1]. При этом знак определителя поменяется (t + t – 1) = 2t – 1 число раз, т.е. нечетное число раз. Следовательно, в конечном итоге он поменяется на противоположный.

Аналогичные рассуждения можно поменять для столбцов.

5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

В самом деле, если одинаковые строки (столбцы) переставить местами, то будет получена та же самая матрица с тем же самым определителей. С другой стороны, по предыдущему свойству он должен поменять знак, т.е. D = -D Û D = 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то определитель равен 0.

Это свойство основано на предыдущем свойстве и выносе за скобку общего множителя (после выноса за скобку коэффициента пропорциональности в матрице будут одинаковые строки или столбцы, и в результате этот коэффициент будет умножаться на ноль).

7. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) той же матрицы всегда равна 0: при i ¹ j.

Чтобы доказать это свойство, достаточно заменить в матрице А j–ю строку на i–ю. В полученной матрице будет две одинаковые строки, поэтому ее определитель равен 0. С другой стороны, его можно вычислить разложением по элементам j -й строки: .

8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам строки или столбца матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

В самом деле, пусть к элементам i–й строки прибавляют элементы j-й строки, умноженные на l. Тогда элементы новой i–й строки примут вид
(aik + lajk, "k). Вычислим определитель новой матрицы разложением по элементам i-й строке (отметим, что алгебраические дополнения ее элементов при этом не изменятся):

Мы получили, что этот определитель не отличается от определителя исходной матрицы.

9. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: |АВ| = |А| * |В| (доказательство проводить не будем).

Рассмотренные выше свойства определителей используют для упрощения их вычисления. Обычно стараются преобразовать матрицу к такому виду, чтобы какой-либо столбец или строка содержали как можно больше нулей. После этого определитель легко найти разложением по этой строке или столбцу.

Обратная матрица

Матрицу А -1 называют обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной, или особенной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А -1 , т.е. А -1 * А = Е. Тогда |А -1 * А| = |А -1 | * |А| = |Е| = 1. Следовательно,
|А| ¹ 0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| ¹ 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу , которую называют присоединенной (взаимной, союзной): .

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной . Получим . Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что .

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом , т.е. .

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А -1 . Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А -1 .

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А|. Если |А| = 0, то матрица А — вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| ¹ 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А Т .

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А -1 * А = А * А -1 = Е.

1. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

¹ 0.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

3) (А m ) -1 = (А -1 ) m

4) (АB) -1 = B -1 * А -1

5) (А -1 ) T = (А T ) -1

Ранг матрицы

Минором k-го порядка матрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицы k-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. k £ min . Например, из матрицы А5х3 можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангом матрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, или r(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
r(А) £ min ;

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е. r(А) = 0 Û А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е. r(А) = n Û |А| ¹ 0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А) £ 2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными:

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Если матрица А получена из матрицы B элементарными преобразованиями, то эти матрицы называют эквивалентными и обозначают А

Теорема. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу), т.е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а11 = 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а11 ¹ 0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а11 ¹ 0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строке a21 = 0. В третьей строке a31 = -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т.е. на (-а3111) = -(-4)/2 =
= 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а4111) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а22 ¹ 0 (если бы было а22 = 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а3222) = (-а4222) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *