Нахождение углов треугольника по заданным сторонам
Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.
От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.
Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).
Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.
Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)
Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.
Углы треугольника
Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.
α = 180°-β-γ
Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), минус удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos (α)
Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:
cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc
,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.
Как найти угол по трем сторонам
Углы являются важной частью геометрии и точно их нахождение может быть полезно во многих ситуациях. Если известны три стороны треугольника, то можно легко вычислить все углы, используя формулу косинуса. Однако, этот процесс может оказаться непростым для тех, кто не знаком с математическими вычислениями.
В этой статье мы рассмотрим, какой метод используется для нахождения угла по трем сторонам треугольника и как легко и быстро вычислить этот угол, используя примеры и простые объяснения.
Подготовьтесь, чтобы узнать все, что нужно знать о вычислении угла по трем сторонам треугольника и узнайте, как это может помочь вам в жизни.
Как найти угол по трем сторонам
Найдем угол между сторонами треугольника с помощью известных длин этих сторон и теоремы косинусов.
Для этого нужно использовать формулу:
Где a, b, c — длины сторон, а ∡ — угол между сторонами a и b.
- Дан треугольник со сторонами a=3, b=4, c=5.
- Найдем угол между сторонами a и b.
- cos ∡ = (3² + 4² — 5²)/(2·3·4) = -0,2679.
- Из таблицы или калькулятора находим арккосинус этого значения: ∡ ≈ 104,48°.
Таким образом, угол между сторонами a и b треугольника со сторонами 3, 4 и 5 равен 104,48°.
Основные понятия и определения
Угол – это геометрическая фигура, которая образуется двумя лучами, исходящими из общей точки (вершины угла). Угол измеряется в градусах, минутах и секундах.
Вершина угла – это общая точка, из которой исходят два луча угла.
Начальная сторона угла – это один из лучей угла.
Конечная сторона угла – это второй луч угла.
Смежные углы – это два угла, которые имеют общую начальную и общую конечную стороны.
Вертикальные углы – это пара углов, расположенных на противоположных концах пересекающихся прямых, и которые равны между собой.
Сумма углов треугольника – это 180 градусов. То есть, сумма всех углов треугольника равняется 180 градусов.
Теорема косинусов – это формула, используемая для вычисления размера угла треугольника, если известны длины всех трех его сторон.
Теорема синусов – это формула, используемая для вычисления размера угла треугольника, если известны длины двух его сторон и угол между ними.
Формула нахождения угла по трем сторонам
Для того чтобы найти угол треугольника, необходимо знать значения трех его сторон. Для этого можно использовать формулу косинусов.
Формула косинусов выглядит следующим образом:
где A – угол треугольника, противолежащий стороне a; b и c – длины двух других сторон.
Таким образом, чтобы найти значение угла, нужно подставить известные значения сторон треугольника в эту формулу и вычислить косинус угла A. Затем, используя табличку косинусов, найти значение самого угла.
Применение этой формулы позволяет найти все углы треугольника, если известны длины его сторон.
Примеры вычисления угла по трем сторонам
Для вычисления угла по трем сторонам необходимо использовать теорему косинусов. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1. Даны стороны треугольника: a = 5, b = 7, c = 9. Найти угол между сторонами a и b.
Используя теорему косинусов, можно вычислить косинус искомого угла:
cos(A) = (b^2 + c^2 — a^2) / (2 * b * c)
cos(A) = (7^2 + 9^2 — 5^2) / (2 * 7 * 9) = 0.91304
Искомый угол A можно найти, использовав обратную функцию косинуса:
A = arccos(0.91304) ≈ 25.68°
Ответ: угол между сторонами a и b ≈ 25.68°.
Пример 2. Даны стороны треугольника: a = 6, b = 8, c = 10. Найти угол между сторонами a и c.
Используя теорему косинусов, можно вычислить косинус искомого угла:
cos(B) = (a^2 + c^2 — b^2) / (2 * a * c)
cos(B) = (6^2 + 10^2 — 8^2) / (2 * 6 * 10) = 0.5
Искомый угол B можно найти, использовав обратную функцию косинуса:
B = arccos(0.5) = 60°
Ответ: угол между сторонами a и c = 60°.
Пример 3. Даны стороны треугольника: a = 3, b = 4, c = 5. Найти угол между сторонами b и c.
Найти углы треугольника
Онлайн калькулятор предоставляет возможность решать геометрические задачи, связанные с нахождением углов треугольника, если известны длины его трех сторон.
Для нахождения углов треугольника, если известны длины его трех сторон (a, b и c), можно воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон и косинусами углов треугольника.
Теорема косинусов для треугольника ABC:
cos(α) = (a^2 + c^2 — b^2) / (2 * a * c),
cos(β) = (a^2 + b^2 — c^2) / (2 * a * b),
cos(γ) = (b^2 + c^2 — a^2) / (2 * b * c).
Где:
α, β, γ — углы треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника противолежащие углам α, β, γ соответственно.
После нахождения косинусов углов треугольника, можно получить сами углы путем нахождения арккосинусов соответствующих значений:
α = arccos(cos(α)),
β = arccos(cos(β)),
γ = arccos(cos(γ)).
Обратите внимание, что результаты арккосинусов будут выражены в радианах, их можно перевести в градусы, умножив на (180/pi).
Используя эти формулы, калькулятор может вычислить углы треугольника, если известны длины его сторон.