1.2.2. Физические характеристики атома водорода
Волновая функция содержит в себе информацию о характере движения электрона в атоме. Поэтому, располагая волновой функцией, с помощью некоторой стандартной процедуры можно извлечь исчерпывающую (с механической точки зрения) информацию о физических свойствах атома, обусловленных движением электрона. Эти характеристики атома целесообразно подразделить на два типа — динамические и пространственные.
Наблюдаемые первого типа отличаются тем, что их операторы коммутируют с гамильтонианом. Следовательно, для каждого стационарного состояния атома эти наблюдаемые имеют постоянные во времени и точно определенные значения (т.е. выражаемые одним числом, а не функцией распределения).
Динамические наблюдаемые
Числовые значения динамических наблюдаемых Аможно вычислить по стандартному уравнению:
А (r,,) =А(r,,)
т.е. они представляют собой собственные значения соответствующих квантовомеханических операторов А. Количество независимых наблюдаемых этого типа равно числу механических степеней свободы атома, которое для атома водорода равно трем. Соответственно, фундаментальный набор включает три наблюдаемых:
энергия — Е,
величина (модуль) вектора орбитального момента— |L |,
проекция вектора орбитального момента на осьz—Lz.
Можно получить простые соотношения, позволяющие выразить значения наблюдаемых этого типа через величины квантовых чисел. Так, значение энергии (в системе СИ) задается формулой:
Следует обратить внимание на то, что энергия зависит только от квантового числа n. Кроме того, энергия имеет отрицательное значение, так как отсчитывается от уровня, соответствующего электрону, удаленному от ядра на бесконечное расстояние. КонстантаR= 13,6 эв = 2,1810 –18 Дж называетсяридбергоми используется в качестве единицы энергии.
Таким образом, стационарные состояния атома водорода распределены по системе дискретных энергетических уровней, сходящихся к некоторому пределу, соответствующему ионизации атома.
Эта сходимость обусловлена гиперболической формой стенок потенциальной ямы, в которой вынужден двигаться электрон.
Следует отметить характерную особенность кулоновской потенциальной ямы — отсутствие «дна». Наиболее отрицательное (наименьшее) значение энергии электрона (при n= 1) можно рассматривать какнулевую энергию, характерную для всякой системы, где доступный для движущейся частицы объем пространства ограничен.
Энергетические уровни вырождены с кратностью n 2 . (Подобная независимость энергии от величины числаимеет место только для одноэлектронных атомов и не наблюдается для многоэлектронных атомов.)
Переходы между энергетическими уровнями можно легко наблюдать экспериментально в виде атомных спектров (эмиссионных или абсорбционных). Полосы в таких спектрах составляют систему нескольких серий:
где числа n1иn2 соответствуют начальному и конечному состояниям.
Модуль вектора орбитального момента можно вычислить по формуле:
Поскольку возможные значения числа ограничены величиной (n– 1), то для каждого энергетического уровня векторLможет иметь толькоnзначений модуля: |L| = 0, 1, 2, …, (n– 1). Модуль вектораLсвязан с пространственным распределением плотности электронного облака и числом узловых поверхностей, разделяющим облако на отдельные фрагменты. Величина проекции вектораLна осьz, характеризующая пространственную ориентацию этого вектора, задается магнитным квантовым числом:
Следует подчеркнуть, что ни энергия, ни узловая структура электронного облака не зависят от величины проекции Lz. Поэтому суперпозиционные состояния типа:
в которых смешаны состояния с одинаковыми числами nи, но с разными значениями числаm(от +до –), также являются собственными для операторовHиL 2 . Однако при наложении внешнего магнитного поля такие суперпозиционные состояния разрушаются и переходят в одно из состояний с определенным значениемLz. При этом наблюдается расщепление вырожденного в отсутствие внешнего поля уровня энергии:
Определить число степеней свободы.
Здравствуйте. Помогите пжл разобраться. Имеется задача. Вроде всё нашёл, кроме i – число степеней свободы. Не могу допетрить. Объясните пжл.
Дано:
Газ: Водород H2
H = 1,0 – относительная атомная масса.
m = 30 гр. – масса газа.
t = 00 C – температура.
P = 1*105 Па – давление.
Найти:
ϑ – количество молей.
N – количество молекул.
n – концентрацию молекул указанной массы газа.
i – число степеней свободы.
Решение:
1. Найдём количество молей ϑ:
Чтобы найти количество молей, нужно ϑ= m/μ . Т. к. относительная атомная масса водорода равна 1,0, и водород имеет два атома, то его молярная масса равна μ(H)=1*2=2 г/моль
ϑ= 30/2=15 моль;
2. Найдём количество молекул N:
Чтобы найти количество молекул, нужно N= ϑ* N_A
N=15*(6,02*〖10〗^23 )=90,3*〖10〗^23
3. Найдём концентрацию молекул n указанной массы газа:
n= N/V, откуда V можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева PV= m/μ RT=ϑRT, V= ϑRT/P, где R=8.31Дж/(моль*K) — универсальная газовая постоянная, а T=t^0+ 273 — температура по шкале Кельвина.
T=0+273=273К;
V= (15*8.31*273)/(1* 〖10〗^5 )= 34029,45/(1* 〖10〗^5 )=34029,45* 〖10〗^(-5)≈0,034м3;
n= (9,03* 〖10〗^23)/0,034 ≈265,6* 〖10〗^23 моль;
Энергия молекул
Количество независимых переменных, которыми определяется состояние системы, называют числом степеней свободы. Для полной характеристики энергетического состояния движения материальной точки в момент времени t требуется задать три компоненты скорости для того, чтобы определить кинетическую энергию и три координаты, чтобы определить потенциальную энергию, получается всего необходимо шесть переменных. В случае динамического рассмотрения движения материальной точки эти переменные являются зависимыми. Статистическая система, которая состоит из n точек, имеет 6n степеней свободы. Из них 3n степеней свободы — носители кинетической энергии и 3n — носители потенциальной энергии, если система находится в поле внешних сил или частицы взаимодействуют между собой.
Степени свободы
Степени свободы делят на: поступательные, вращательные и колебательные. Три степени свободы материальной точки — поступательные. Система из n материальных точек, между которыми нет жестких связей имеет 3 n степени свободы. Каждая жесткая связь уменьшает число степеней свободы на единицу. Рассмотрим молекулу, состоящую из двух атомов, если считать, что между атомами существует одна жесткая связь, то такая молекула имеет пять степеней свободы, три поступательные и две вращательные. Если связь квазиупругая, то степеней свободы будет шесть, причем из них три поступательные, две вращательные и одна колебательная. Трехатомной нелинейной молекуле с жесткой связью между атомами нужно приписать шесть степеней свободы — три поступательные, три вращательные. Поступательные степен свободы не имеют преимуществ друг перед другом.
Средняя энергия молекулы
Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия равная $\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle =\frac<1><2>kT$. В таком случае можно сказать, что средняя энергия молекулы $\left\langle <\varepsilon >\right\rangle$ равна:
где $i=m_
Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы является приближенным, так как получен на основе классической механики и нарушается, если существенными становятся квантовые эффекты.
Необходимо отметить, что поступательно могут двигаться только молекулы газов.
Из(1) следует, что одноатомные молекулы имеют среднюю кинетическую энергию:
Полную энергию i частицы можно представить:
где $U_i\left(x_i,y_i,z_i\right)$- потенциальная энергия сложной частицы во внешних полях, $<\xi >_
Задание: Сравните средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах.
Кислород имеет двухатомную молекулу ($O_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула кислорода обладает пятью степенями свободы (тремя поступательными и двумя вращательными). Из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы имеем средняя энергия молекулы:
\[\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<2>kT\to \left\langle <\varepsilon >_
Азот имеет двухатомную молекулу ($N_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула азота также обладает пятью степенями свободы. Соответственно:
Ответ: Средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах одинаковы.
Задание: Водород находится в сосуде при температуре T=300K. Определите среднюю энергию вращательного движения молекул.
Основой для решения задачи является закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Из него известно, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия $\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle $, равная:
\[\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle =\frac<1><2>kT\ \left(2.1\right).\]
Следовательно, чтобы решить задачу, осталось определить, сколько вращательных степеней свободы имеет молекула водорода. Для этого вспомним химическую формулу водорода:
В молекуле имеется два атома, если молекула жесткая, то общее число степеней свободы такой молекулы будет равно пяти. Из них три приходятся на поступательные степени свободы, на вращательные степени свободы остается две степени. Соответственно:
Ответ: Средняя энергия вращательного движения молекул водорода при заданных условиях равна $4,14\cdot <10>^<-21>Дж$.
Задание: Чему равна суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа, заключенного в объеме 4 л при давлении 1,47 $\cdot <10>^5$Па? Молекулы считать жесткими.
Жесткие двухатомные молекулы имеют пять степеней свободы. Средняя энергия движения молекулы определяет формула:
\[\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<2>kT\to \left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<5><2>kT\left(3.1\right).\]
Следовательно кинетическая энергия всех N молекул газа может быть найдена, как:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>NkT\ \left(3.2\right).\]
\[p=nkT,\ где\ n=\frac
Подставим в (3.2) уравнение из (3.3), получим:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>pV\ \left(3.4\right).\]
Переведем данные в СИ: V=4 л=4$\cdot <10>^<-3>м^3$
\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>1,47\ \cdot <10>^5\cdot 4\cdot <10>^<-3>=1470\ (Дж)\]
Ответ: Суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа при заданных условиях равна $1470\ Дж.$
Распределения Максвелла и Больцмана
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где 
– доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от 
до 
в расчете на единицу этого интервала.
Для этой функции верным является утверждение, что с увеличением температуры:
| максимум кривой смещается вправо |
| площадь под кривой увеличивается |
| величина максимума функции увеличивается |
| площадь под кривой уменьшается |
Решение:
Полная вероятность равна: 
то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости 
при которой функция 
максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где 
– доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от 
до 
в расчете на единицу этого интервала.
Если, не меняя температуры взять другой газ с меньшей молярной массой и таким же числом молекул, то:
Решение:
Функция Максвелла имеет вид 
.
Полная вероятность равна: 
, то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры или массы молекул не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости 
, при которой функция 
максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при уменьшении массы молекул газа максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.
Для этой функции верным является утверждение, что при понижении температуры:
| наиболее вероятная скорость молекул уменьшается |
| величина максимума функции уменьшается |
| площадь под кривой уменьшается |
| максимум кривой смещается вправо |
Решение:
Полная вероятность равна: 
, то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости при которой функция 
максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:
Для этой функции верными являются утверждения:
| положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и от природы газа (его молярной массы) |
| при увеличении числа молекул площадь под кривой не изменяется |
| с ростом температуры газа значение максимума функции увеличивается |
| для газа с большей молярной массой (при той же температуре) максимум функции расположен в области больших скоростей |
Решение:
Из определения функции распределения Максвелла следует, что выражение 
определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до (на графике это – площадь заштрихованной полоски). Тогда площадь под кривой равна и не изменяется при изменении температуры и числа молекул газа. Из формулы наиболее вероятной скорости 
(при которой функция максимальна) следует, что 
прямо пропорциональна 
и обратно пропорциональна 
, где 
и 
– температура и молярная масса газа соответственно.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:
Для этой функции верными являются утверждения:
| с увеличением температуры максимум кривой смещается вправо |
| площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями в интервале от до |
| с ростом температуры значение максимума функции увеличивается |
| с ростом температуры площадь под кривой увеличивается |
Решение:
Из определения функции распределения Максвелла следует, что выражение 
определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до (на графике – площадь заштрихованной полоски). Тогда площадь под кривой равна и не изменяется при изменении температуры. Из формулы наиболее вероятной скорости (при которой функция максимальна) следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:
Для этой функции верными являются утверждения:
| положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и от природы газа (его молярной массы) |
| при увеличении числа молекул площадь под кривой не изменяется |
| с ростом температуры газа значение максимума функции увеличивается |
| для газа с большей молярной массой (при той же температуре) максимум функции расположен в области больших скоростей |
Решение:
Из определения функции распределения Максвелла следует, что выражение определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до (на графике это – площадь заштрихованной полоски). Тогда площадь под кривой равна и не изменяется при изменении температуры и числа молекул газа. Из формулы наиболее вероятной скорости (при которой функция максимальна) следует, что 
прямо пропорциональна и обратно пропорциональна , где и 
– температура и молярная масса газа соответственно.
В трех сосудах находятся газы, причем для температур и масс молекул газов имеют место следующие соотношения: 
, 
На рисунке схематически представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла) для этих газов, где 
– доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:
Для графиков этих функций верными являются утверждения, что:
| кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 2 |
| кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 1 |
| кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 2 |
| кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 3 |
Решение:
имеет смысл площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, и численно равен доле молекул, скорости которых имеют всевозможные значения от 0 до 
. Так как этому условию удовлетворяют все 
молекул, то 
и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости 
, при которой функция 
максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. При увеличении массы молекул значение наиболее вероятной скорости уменьшается, следовательно, максимум функции сместится влево и высота максимума увеличится.
В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота 
На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.
Для этих функций верными являются утверждения, что:
| кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул азота |
| кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул водорода |
| кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул гелия |
| кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул азота |
Решение:
Функция Максвелла имеет вид 
.
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости 
, при которой функция 
максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при увеличении массы молекулы газа максимум функции сместится влево, следовательно, высота максимума увеличится. Наибольшая масса молекул у азота, меньше у гелия и еще меньше у водорода.
В трех одинаковых сосудах находится одинаковое количество газа, причем 
На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.
Для этих функций верными являются утверждения, что:
кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре  |
кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре  |
| кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре |
| кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре |
Решение:
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.
На рисунке представлены графики функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где 
– доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.
Для этих функций верными являются утверждения, что:
| распределение 1 соответствует газу, имеющему наибольшую массу молекул (при одинаковой температуре) |
| распределение 2 соответствует газу, имеющему наибольшую температуру (при одинаковой массе) |
| распределение 1 соответствует газу, имеющему наименьшую массу молекул (при одинаковой температуре) |
| распределение 3 соответствует газу, имеющему наименьшую температуру (при одинаковой массе) |
Решение:
Функция Максвелла имеет вид 
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при увеличении массы молекулы газа максимум функции сместится влево, следовательно, высота максимума увеличится.
Зависимости давления p идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты h для двух разных температур представлены на рисунке.
Для графиков этих функций верным является утверждение, что …
температура  ниже температуры  |
давление газа на высоте h равно давлению на «нулевом уровне»  если температура газа стремится к абсолютному нулю |
| температура выше температуры |
| зависимость давления идеального газа от высоты не зависит от массы молекул |
Решение:
Зависимость давления идеального газа от высоты 
для некоторой температуры 
определяется барометрической формулой: 
где 
давление на высоте 
, 
масса молекулы, 
ускорение свободного падения, 
постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура T. Давление 
определяется весом всего газа и не меняется при изменении температуры.
Формула 
описывает распределение одинаковых молекул массой 
по высоте в изотермической атмосфере; здесь 
– концентрация молекул при 
, 
– их концентрация на высоте 
. Для этой зависимости справедливы следующие утверждения:
приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для одного и того же газа при разных температурах, причем  :  |
приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для двух разных газов при одинаковой температуре, причем массы молекул удовлетворяют соотношению  :  |
приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для одного и того же газа при разных температурах, причем  :  |
приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для двух разных газов при одинаковой температуре, причем массы молекул удовлетворяют соотношению  |
Решение:
Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется распределением Больцмана: , где 
концентрация молекул на высоте , 
масса молекулы, ускорение свободного падения, 
постоянная Больцмана. Из формулы следует, что концентрация газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. При одной и той же температуре молекулы, имеющие меньшую массу, вследствие теплового движения более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» 
меньше, чем для более тяжелых молекул (при одинаковом общем количестве молекул). Для молекул, имеющих б?льшую массу, скорость изменения концентрации выше. С другой стороны для одного и того же газа чем выше температура, тем выше интенсивность хаотического теплового движения, и концентрация молекул газа на «нулевом уровне» меньше концентрации тех же молекул при более низкой температуре. При этом скорость уменьшения концентрации при увеличении высоты при боле высокой температуре ниже, то есть экспоненциальный спад более пологий.
На рисунке представлены графики зависимости концентрации молекул идеального газа n от высоты h над уровнем моря для двух разных температур – 
(распределение Больцмана).
Для графиков этих функций верным является утверждение, что:
температура  выше температуры |
| с понижением температуры молекулы более равномерно распределяются по высоте |
| температура ниже температуры |
| концентрация молекул газа на «нулевом уровне» с повышением температуры увеличивается |
Решение:
Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется распределением Больцмана: 
, где концентрация молекул на высоте , масса молекулы, ускорение свободного падения, постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул 
, и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура: 
. С повышением температуры из-за увеличения энергии хаотического теплового движения молекулы более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» уменьшается, а на высоте увеличивается.
На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа 
во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных газов, где 
массы молекул газа (распределение Больцмана). 
Для этих функций верными являются утверждения, что:
масса  больше массы  |
концентрация молекул газа с меньшей массой на «нулевом уровне»  меньше |
| масса меньше массы |
| концентрация молекул газа с меньшей массой на «нулевом уровне» больше |
Решение:
Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется распределением Больцмана: 
, где концентрация молекул на высоте 
, 
масса молекулы, 
ускорение свободного падения, 
постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул , и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. При одной и той же температуре молекулы, имеющие меньшую массу, более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» уменьшается, а на высоте увеличивается.
Средняя энергия молекул
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна 
Здесь 
, где 
, 
и 
– число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют место поступательное, вращательное и колебательное движение, для водорода (Н2) число i равно …
Решение:
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: 
где 
– постоянная Больцмана, – термодинамическая температура, 
– сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: . Для молекулы водорода 
число степеней свободы поступательного движения 
вращательного – 
, колебательного – 
, поэтому 
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна 
. Здесь 
, где 
, 
и 
– число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, для водяного пара (Н2O) число i равно …
Решение:
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: 
где 
– постоянная Больцмана, – термодинамическая температура, 
– сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: . Для молекулы водяного пара 
число степеней свободы поступательного движения 
вращательного – 
, колебательного – 
, поэтому 
Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет место поступательное и вращательное движение молекулы как целого, средняя кинетическая энергия молекулы водяного пара (
) равна:
 |
 |
 |
 |
Решение:
Для статистической системы в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 
, а на каждую колебательную степень – 
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: 
. Здесь , где – число степеней свободы поступательного движения, – число степеней свободы вращательного движения, – число степеней свободы колебательного движения. Для молекул идеального газа 
, 
для линейных молекул и для нелинейных молекул. Молекула водяного пара является нелинейной, поэтому для нее . Поскольку по условию имеет место поступательное и вращательное движение молекулы как целого, 
. Таким образом, 
. Тогда средняя энергия молекулы водяного пара () равна: 
.
Если не учитывать колебательные движения в молекуле водорода при температуре 200 К, то кинетическая энергия в (Дж) всех молекул в 4 г водорода равна:
 |
 |
 |
 |
Решение:
Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна: 
, где – постоянная Больцмана, – термодинамическая температура; – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы . Молекула водорода 
имеет 3 поступательные и 2 вращательные степени свободы, следовательно, 
В 4 г водорода содержится 
молекул, где 
масса газа, 
молярная масса водорода, 
число Авогадро. Кинетическая энергия всех молекул будет равна: 
Газ занимает объем 5 л под давлением 2 МПа. При этом кинетическая энергия поступательного движения всех его молекул равна:
 |
 |
 |
 |
Решение:
Согласно уравнению кинетической теории для давления идеального газа (основному уравнению МКТ идеальных газов), произведение давления идеального газа и его объема равно двум третям энергии поступательного движения всех его молекул: 
. Отсюда 
.
В соответствии с законом равномерного распределения энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна: 
Здесь , где 
, и 
– число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно.
Для гелия (
) средняя кинетическая энергия молекулы равна:
 |
 |
 |
 |
Решение:
Для статистической системы в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 
, а на каждую колебательную степень – 
. Средняя кинетическая энергия молекулы равна: 
.
Здесь – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: , где – число степеней свободы поступательного движения, равное 3; 
– число степеней свободы вращательного движения, которое может быть равно 0, 2, 3; 
– число степеней свободы колебательного движения, минимальное количество которых равно 1.
Для гелия (
) (одноатомной молекулы) 
, 
и 
. Следовательно, 
.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: