Почему модуль не дифференцируема в нуле

Задача 22320 Доказать, что функция y=|x| не имеет.

При Δх > 0
lim_(Δx→0+0) Δx/ Δx=1
При Δx < 0
lim_(Δx→0-0) (-Δx)/ Δx=-1
Предел в точке 0 не существует, потому что пределы слева и справа различны, и производная в точке 0 не существует.
Что и требовалось доказать

Все решения

Функция у=|x| непрерывна в любой точке числовой оси,в том числе и в точке Xо=O. Но в точке Xо=0 данная функция производной не имеет потому, что Δу(0)/ Δх=(у(0+ Δх)-у(0))/ Δх=у( Δх)/ Δх=| Δх|/ Δ= < 1 при Δх > o.
<-1 при Δх < o.
Поэтому предел Δу(0)/ Δх при Δ х стремится к нулю не существует и не существует производной функции у=|x| в точке Xо=0.

Глава 6. Производные и дифференциалы

Пусть определена в окрестности точки .

Определение 6.1.1. Числовую функцию называютдифференцируемой в точке , если для всехимеет место равенство

, (1)

где число не зависит от , априи бесконечно малая функциянепрерывна в точке, т.е..

Числовую функцию называютдифференцируемой на множестве, еслидифференцируема в каждой точке.

Примеры. Линейная функция дифференцируема на всей числовой прямой, действительно,. Аналогично, квадратичная функциядифференцируема. Действительно, , .

Теорема 6.1.1. Функция , дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Доказательство. В силу формулы (1), .

Эта теорема даёт необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Пример функции (позже мы докажем, что эта функция не дифференцируема в точке), показывает, что утверждение, обратное теореме 6.1.1, неверно.

6.1.2.Производная

Пусть определена в окрестности точки .

Поскольку на множестве определена функция и— предельная точка множества, рассмотрим вопрос о существовании предела отношения в точке .

Определение 6.1.2. Число (если оно существует) называютпроизводной функции в точкеи обозначают символом.

, (2)

при условии, что предел существует.

Для обозначения производной также используется символ .

Производная представляет собой математическую модель большого количества величин, имеющих важнейшее значение в естественных и гуманитарных науках.

Например, скорость прямолинейного движения есть производная перемещения как функции времени. Часто полезно, по аналогии с этим, трактовать и производную любой функции в точке как скорость изменения функции в этой точке.

Важным понятием в экономике являются предельные величины. Например, пусть обозначает величину издержек производства, рассматриваемую как функцию от количествавыпускаемой продукции. Если прирост продукции, приращение издержек производства , тосреднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производнаявыражаетпредельные издержки производства и является приблизительной характеристикой дополнительных затрат на производство единицы дополнительной продукции.

Вполне аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и т.п.

Предельные величины также часто называют маржинальными.

Рассмотрим простые примеры вычисления производных.

Примеры. Линейная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная— постоянная.

В частности, постоянная имеет всюду производную, равную нулю, а тождественная функция — производную, равную единице.

Квадратичная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная равна.

Рассмотрим пример непрерывной функции, не имеющей производной.

Функция модуль не имеет производной в точке 0.

Действительно, не существует, поскольку предел приэтого отношения равен 1, а предел приравен -1 и, следовательно, предел прине существует, так как эти односторонние пределы различные. В этом примере мы встретились с ситуацией, когда существуют односторонние пределы и . Эти пределы называются, соответственно, правой и левой производной и обозначаются . Для существования производной, по теореме 3.5.1, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны друг другу.

Теорема 6.1.2. Функция , дифференцируемая в точке, имеет в этой точке производную, и эта производная равна коэффициентув представлении функциипо формуле (1).

Доказательство. Согласно определению 6.1.1, — предельная точка области определения функции . В силу формулы (1), для всех .Так как при, то на основании формулы (2) заключаем, чтосуществует и равна.

Теорема 6.1.2 показывает, что функция , дифференцируемая в точке, представима в виде

, (3)

где при.

Из этой теоремы следует, что функция не является дифференцируемой в точке 0, поскольку не имеет производной в этой точке.

Теорема 6.1.3. Функция , имеющая производную в точке, дифференцируема в этой точке.

Доказательство. По условию, существует . Следовательно, по теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,

, где при . (4)

Тогда также прии для всех справедлива формула (3). Тем самым, дифференцируема в точке, причём в определении дифференцируемости).

Теоремы 6.1.2 и 6.1.3 означают, что функция дифференцируема в данной точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную. Нахождение производной функциидля функцииназываютдифференцированием этой функции.

Научный форум dxdy

Дано уравнение:
$y = x \cdot y'$

Вот его решение:
$y \cdot dx = x \cdot dy (1)$
$$\frac<dx> <x>= \frac<dy> <y>(2)$» /><br /><img decoding=$
$C2 \cdot |x| = |y| (4)$
$C \cdot x = y (5)$

Итак, разве мы можем вот так просто избавиться от модуля ( переход (4) в (5) )?
Спасибо

i	Twolka , на будущее. нижние индексы набираются так: .

Последний раз редактировалось Twolka 24.02.2018, 15:57, всего редактировалось 1 раз.

Но мы же рассматриваем функции
Здесь получается, что они все являются прямыми (что правильно в принципе)
НО! Если бы функция была бы не определена в в точке $x = 0$ ?
Ведь и функции-модули вошли бы в решение, разве не так?

Производная

Для начал вспомним что такое модуль (абсолютная величина) от $x$. Модуль есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
\[\left\vert\right\vert = \begin
x,& x \geqslant 0 \\
-x, & x \lt 0
\end.\]
Модуль можно определить через функцию корня:
\[\vert\vert=\sqrt.\]
Используя такое определение достаточно легко найти производную модуля (продифференцировав $\sqrt$ по $x$, используя правило дифференцирования сложной функции):
\[\frac |x| = \frac\sqrt = \frac<1><2\sqrt> \cdot 2x=\frac<\sqrt> = \frac<|x|>,\ где \ x\neq 0.\]

Или можно воспользоваться первым определением модуля и найти производную через ее определение.
\[|x|’=\lim_<\Delta x\to0>\frac<|x+\Delta x|-|x|><\Delta x>.\]
Если $x\gt 0$, то:
\[\lim_<\Delta x\to0>\frac<|x+\Delta x|-|x|><\Delta x>=\lim_<\Delta x\to0>\frac<\Delta x>=1.\]
Если $x\lt 0$, то:
\[\lim_<\Delta x\to0>\frac<|x+\Delta x|-|x|><\Delta x>=\lim_<\Delta x\to0>\frac<-(x+\Delta x)-(-x)><\Delta x>=-1.\]
Если x=0, то предел:
\[\lim_<\Delta x\to0>\frac<|0+\Delta x|-|0|><\Delta x>\]
не существует, так как левый (-1) и правый (1) пределы не равны.

Если рассматривать график модуля, то видно, что в точке $x=0$ невозможно провести касательную, это и означает, что в точке $x=0$ производная модуля не существует: