Как избавиться от квадратного корня в уравнении
Когда вы впервые узнали о квадратах чисел, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции с квадратами, а также о квадратном корне. Эта обратная связь между квадратными числами и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет влияние другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила о том, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень с одной стороны уравнения. Затем возведите в квадрат обе стороны уравнения и продолжайте решение для переменной. Не забудьте проверить свою работу в конце.
Простой пример
Прежде чем рассмотреть некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями, рассмотрим простой пример: Решите уравнение √ x + 1 = 5 для x .
Изолировать квадратный корень
Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. Например, если исходное уравнение было √ x + 1 = 5, вы бы вычли 1 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее:
Квадрат обе стороны уравнения
Возведение в квадрат обеих сторон уравнения устраняет знак квадратного корня. Это дает вам:
Или, как только упростили:
Вы удалили знак квадратного корня, и у вас есть значение для x , поэтому ваша работа здесь завершена. Но подождите, есть еще один шаг:
Проверь свою работу
Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:
Поскольку это вернуло правильное утверждение (5 = 5, в отличие от неверного утверждения, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным. В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод Устранение радикалов может иногда создавать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении, поэтому лучше всегда иметь привычку проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная сейчас.
Немного более сложный пример
Что если у вас есть более сложное выражение под знаком радикала (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы все еще можете применить тот же процесс, который использовался в предыдущем примере, но это уравнение выдвигает на первый план пару правил, которым вы должны следовать.
Изолировать радикальное
Как и раньше, используйте операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение радикала на одной стороне уравнения. В этом случае вычитание 5 с обеих сторон дает вам:
Предупреждения
Обратите внимание, что вас просят изолировать квадратный корень (который предположительно содержит переменную, потому что, если бы она была константой вроде √9, вы могли бы просто решить ее на месте; √9 = 3). Вас не просят изолировать переменную. Этот шаг наступает позже, после того как вы удалили знак квадратного корня.
Квадрат обе стороны
Возведите в квадрат обе стороны уравнения, что дает вам следующее:
Что упрощает до:
Предупреждения
Обратите внимание, что вы должны поставить квадрат под знаком радикала, а не только в переменной.
Изолировать переменную
Теперь, когда вы удалили корень или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:
Проверь свою работу
Как и прежде, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:
Что упрощает до:
Упрощение радикала дает вам:
29 = 29, верное утверждение, которое указывает на действительный результат.
Как оценить логарифмы с основанием квадратного корня
Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, а b — значение, в котором логарифм .
Как оценить, используя кривую квадратного корня
Кривая квадратного корня — это метод повышения оценок всего класса, чтобы привести их в соответствие с ожиданиями. Его можно использовать для коррекции неожиданно сложных испытаний или, как правило, для сложных занятий.
Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на Ти-84
Чтобы найти квадратный корень с помощью моделей Texas Instruments TI-84, найдите символ квадратного корня. Эта вторая функция находится над клавишей x в квадрате на всех моделях. Нажмите вторую функциональную клавишу в левом верхнем углу клавиатуры и выберите клавишу х в квадрате. Введите значение, о котором идет речь, и нажмите Enter.
Метод замены переменной
Метод замены переменной — это один из основных методов решения сложных уравнений и неравенств. Цель метода свести сложное уравнение или неравенство к более простому путем введения новой переменной. Так как метод почти полностью аналогичен и для неравенств, и для уравнений, то разберем основные варианты замены на уравнениях, а в конце урока обсудим, какие есть особенности замены переменной в неравенствах.
Итак, находим одинаковые части уравнения, содержащие переменную \(x\): это могут быть просто \(x^n\), или целые выражения, зависящие от \(x\), и обозначаем их новой переменной \(t\). Главное, чтобы после замены в исходном уравнении не осталось переменной \(x\).
Первый вид замены, которую мы рассмотрим, это степенная замена, то есть мы во всем уравнении заменим \(x^n\) на новую букву \(t\). Для начала рассмотрим биквадратные уравнения.
Биквадратное уравнение
Биквадратные уравнения внешне очень похожи на обыкновенные квадратные уравнения, только степень у переменной \(x\) вдвое больше: $$ax^4+bx^2+c=0;$$ где \(a\), \(b\) и \(c\) какие-то числа;
Чтобы решить такое уравнение, обозначим за переменную \(t=x^2\). Тогда логично предположить, что \(x^4=(x^2)^2=t^2\). Обратите внимание, что \(t \geq 0,\) потому что квадрат всегда неотрицателен. Поэтому если у вас получатся отрицательные \(t\), их надо будет выкинуть.
Подставим новое обозначение в исходное уравнение, вместо \(x^4\) пишем \(t^2\), а вместо \(x^2\) пишем просто \(t\): $$at^2+bt+c=0;$$ Так наше уравнение четвертой степени превратилось в обыкновенное квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант.
После того, как мы найдем корни \(t_1\) и \(t_2\), нужно будет вернуться к исходной переменной \(x\), ведь нас просят найти именно \(x\), а не \(t\).
Посмотрим, как это выглядит на практике:
Пример 1 $$2x^4-17x^2-9=0;$$ Пусть \(t=x^2\), так как квадрат не может быть отрицательным, то \(t \geq 0\): $$2t^2-17t-9=0;$$ $$a=2; \quad b=-17; \quad c=-9;$$ Находим дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-17)^2-4*2*(-9)=289+72=361=19^2;$$ Корни: $$t_1=\frac<-b+\sqrt
И обратная замена для второго корня \(t_2:\) $$t_2=-0,5 \quad \Rightarrow \quad x^2=-0,5;$$ Но квадрат не может быть равен отрицательному числу, значит последнее уравнение не имеет корней. \(t_2=-0,5\) можно было отсеять сразу и не делать обратную замену, так как мы в начале решения уже накладывали ограничение на \(t \geq 0.\)
Ответ: \(x_1=3, \quad x_2=-3.\)
Пример 2 $$x^4-16=0;$$ Пусть \(t=x^2; \; (t \geq 0)\), тогда \(x^4=t^2\): $$t^2-16=0;$$ Это неполное квадратное уравнение, чтобы его решить перекинем \(16\) в правую часть: $$t^2=16;$$ $$t_1=4, \quad t_2=-4;$$ Корень \(t_2=-4\) не подходит, так как \(t \geq 0.\)
Вернемся от переменной \(t\) к \(x\): $$t_1=4 \quad \Rightarrow \quad x^2=4;$$ $$x_1=2, \quad x_2=-2;$$ Ответ: \(x_1=2, \quad x_2=-2.\)
Рассмотрим еще один пример на замену, очень похожий на биквадратные уравнения — триквадратное уравнение:
Пример 3 $$3x^6-11x^3-4=0;$$ Замечаем, что \(x^6=(x^3)^2\). Тогда можно обозначить за \(t=x^3\), а \(t^2=x^6\). Уравнение принимает вид: $$3t^2-11t-4=0;$$ Получили обыкновенное квадратное уравнение, которое решается через дискриминант: $$D=(-11)^2-4*3*(-4)=121+48=169=13^2;$$ $$t_1=\frac<-(-11)-13><2*3>=\frac<-2><6>=-\frac<1><3>;$$ $$t_2=\frac<-(-11)+13><2*3>=\frac<24><6>=4;$$ Сделаем обратную замену \(t=x^3\): $$t_1=-\frac<1> <3>\quad \Rightarrow \quad x^3=-\frac<1><3>;$$ И вот тут главное отличие от биквадратного уравнения: куб может быть равен отрицательному числу. Правда, чтобы решить эти кубические уравнения нам понадобится кубический корень (что это такое можно почитать здесь): $$x_1=\sqrt[3]<-\frac<1><3>>;$$ $$t_2=4 \quad \Rightarrow \quad x^3=4;$$ $$x_2=\sqrt[3]<4>;$$ Ответ: \(x_1=\sqrt[3]<-\frac<1><3>>, \quad x_2=\sqrt[3]<4>.\)
Замена многочлена
Можно существенно упростить уравнение или неравенство, если в нем есть «куски» из одинаковых многочленов. При этом важно помнить: после замены в уравнении не должно оставаться исходной переменной \(x\).
В общем виде эта замена выглядит так: $$a*P^2(x)+b*P(x)+P(x)=0;$$ где \(P(x)\) — это многочлен \(n-й\) степени; \(a\), \(b\) — некоторые числа; Пусть \(t=P(x)\), тогда исходное уравнение принимает вид: $$a*t^2+b*t+t=0;$$
Давайте посмотрим на примере, так станет гораздо понятнее:
Пример 4 $$(x^2+x+1)(x^2+x+2)=12;$$ Внимательно смотрим на уравнение и замечаем, что можно обозначить \((x^2+2x)\) за \(t\). Тогда исходное уравнение принимает вид: $$(t+1)(t+2)=12;$$ Раскрываем скобки: $$t^2+2t+t+2=12;$$ $$t^2+3t-10=0;$$ $$D=3^2+4*10=9+40=49;$$ $$t_1=\frac<-3+7><2>=\frac<4><2>=2;$$ $$t_2=\frac<-3-7><2>=\frac<-10><2>=-5;$$ Вспоминаем, что \(t=x^2+x\) и делаем обратную замену: $$t_1=2 \quad \Rightarrow \quad x^2+x=2;$$ $$x^2+x-2=0;$$ $$D=1^2-4*1*(-2)=9;$$ $$x_1=\frac<-1+3><2>=\frac<2><2>=1;$$ $$x_2=\frac<-1-3><2>=\frac<-4><2>=-2;$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=-5 \quad \Rightarrow \quad x^2+x=-5;$$ $$x^2+x+5=0;$$ $$D=1^2-4*1*5=-19
Отмеченные промежутки на числовой прямой для переменной \(t\) обязательно выписываем: $$t\in[-2;-\frac<1><2>] \cup [\frac<1><2>;2];$$ Эти промежутки можно записать в виде систем неравенств или двойных неравенств (смысл тот же, просто запись разная). Нам так будет удобнее делать обратную замену: $$-2 \leq t \leq -\frac<1> <2>\quad \Rightarrow \quad \begin
Как избавиться от квадратного корня в уравнении
Когда вы впервые узнали о числах в квадрате вроде 3 2 , 5 2 а такжеИкс 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции возведения в квадрат числа, а именно о квадратном корне. Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем в нем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения. Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.
Прежде чем рассматривать некоторые из потенциальных «ловушек» решения уравнения с квадратными корнями в нем, рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение дляИкс:
Что делать, если под знаком корня (квадратного корня) стоит более сложное выражение? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.
Как избавиться от квадрата в уравнении
Решить иррациональное уравнение 
Мы имеем дело с иррациональным уравнением в его простейшем виде с четным показателем корня, то есть, с уравнением 
, где 2·k – четный натуральный показатель корня, f(x) , g(x) – рациональные выражения. В нашем случае k=1 , f(x)=1−5·x , g(x)=x−3 . Такое иррациональное уравнение можно решить методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Напомним алгоритм этого метода решения для простейшего иррационального уравнения с четным показателем корня:
- Возводим в одну и ту же четную степень, равную показателю корня в левой части уравнения, обе части уравнения.
- Решаем полученное уравнение. Если оно не имеет решений, то не имеет решений и исходное уравнение. Если решения есть, то отсеиваем посторонние корни.
Пройдем эти шаги.
Решаемое иррациональное уравнение в левой части содержит квадратный корень (показатель корня равен 2 ), поэтому возводим обе части уравнения в квадрат, что в дальнейшем позволит избавиться от знака корня. Это дает нам уравнение 
, причем, это уравнение-следствие, так как мы знаем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию.
Теперь нам нужно решить полученное уравнение . Его решение будем вести через преобразование уравнений.
На базе определения корня заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным выражением 1−5·x , и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», выражение в правой части заменим тождественно равным ему выражением x 2 −6·x+9 . Это нас приводит к уравнению 1−5·x=x 2 −6·x+9 . Заметим, что при таком переходе происходит расширение ОДЗ: для уравнения ОДЗ определяется условием 1−5·x≥0 , которое задает числовое множество x≤1/5 , а для полученного уравнения 1−5·x=x 2 −6·x+9 ОДЗ, очевидно, есть множество всех действительных чисел R . Значит, проведенные преобразования дают уравнение-следствие.
Дальше полученное уравнение 1−5·x=x 2 −6·x+9 путем равносильных преобразований, заключающихся в переносе слагаемых с противоположным знаком, группировке и приведении подобных слагаемых, а также умножении обеих частей уравнения −1 , приводится к квадратному уравнению x 2 −x+8=0 .
Полученное квадратное уравнение решим через дискриминант. Вычисляем дискриминант: D=(−1) 2 −4·1·8=−31 . Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Итак, уравнение x 2 −x+8=0 не имеет корней. Так как это уравнение является следствием исходного уравнения (в цепочке преобразований были переходы к уравнениям-следствиям), то исходное иррациональное уравнение тоже не имеет корней.
Обычно решение описывается как можно более коротко, но, естественно, без ущерба для логики действий:
