Сколько целочисленных решений имеет неравенство х ^ 2 — 6х — 14< ; = 0(меньше либо равно)?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство х ^ 2 — 6х — 14< ; = 0(меньше либо равно).
D = 36 + 4 * 14 = 4 * (9 + 14) = 4 * 23
(х)1 ; 2 = 3 + — корень(23)
график функции (левая часть неравенства) — — — парабола, ветви вверх = > ; решение неравенства между корнями : х принадлежит [3 — корень(23) ; 3 + корень(23)]
корень(23) — — — это число больше 4 (чуть меньше 5) = > ; целые числа, удовлетворяющие неравенству : — 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 — — — их 9.
Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство.
Сколько целочисленный решений имеет неравенство x в 4ой степени больше 9x?
Сколько целочисленный решений имеет неравенство x в 4ой степени больше 9x.
Сколько целочисленных решений имеет система неравенств?
Сколько целочисленных решений имеет система неравенств.
Решение неравенства log понизу 2 (3х — 1) / (х — 1) меньше либо равно 2 имеет вид?
Решение неравенства log понизу 2 (3х — 1) / (х — 1) меньше либо равно 2 имеет вид?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство 3x + 2 — 20?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство 3x + 2 — 20?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство x ^ 6< ; 6x?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство x ^ 6< ; 6x.
Сколько целочисленных решений имеет неравенство : х ^ 2 — 6х< ; 0?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство : х ^ 2 — 6х< ; 0?
Найти сумму всех целочисленных решений неравенства √(6x — x ^ 2 — 8) / (x ^ 2 + 4) меньше либо равно 0?
Найти сумму всех целочисленных решений неравенства √(6x — x ^ 2 — 8) / (x ^ 2 + 4) меньше либо равно 0.
ПОМОГИТЕ?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство 15 — x ^ 2 + 10x> ; 0?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство 2x² + 7x — 9 < ; 0?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство 2x² + 7x — 9 < ; 0.
На странице вопроса Сколько целочисленных решений имеет неравенство х ^ 2 — 6х — 14< ; = 0(меньше либо равно)? из категории Алгебра вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
— 9 (8 — 9x) = 4x + 5 — 72 + 81x = 4x + 5 81x — 4x = 5 + 72 77x = 77 x = 1.
( — 10)²( — 0, 7 — 5 * ( — 10)) — 32 = 100 * ( — 0. 7 + 50) — 32 = 100 * 49. 3 — 32 = 4930 — 32 = 4898.
Photomath скачай , он решит.
АВ ( 3 ; 1 ) BC ( (1 — 3) ; (7 — 1)) BС( — 2 ; 6) Скалярное произведение векторов AB * BC = 3 * ( — 2) + 1 * 6 = 0 Вектора перпендикулярны. Угол B прямой.
— 48. Если хочешь скачай калькулятор дробей.
Минус 47. Одна треть. Вот так вот.
— (4 а в 5 степени * в в 3 степени ) 2 степень / 8a в 7 степени в в 4 степени . — 16 а в 10 степени в 6 степени / 8а в 7 степени в в 4 степени . — 2а в 3 степени в 2 степени .
Упр.37.34 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Сколько целочисленных решений имеет неравенство
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Но из этих значений исходно-
При x 1 выполняется как первое неравенство, так и исходное неравенство.
При x 2 первое неравенство не выполняется.
При остальных значениях x 3, 4.
первое неравенство не разрешимо, так как левая часть неравенства x ( x 2 5) 3 будет отрицательной.
Для решения задачи необходимо найти все точки плоскости uOt , обе координаты которых натуральные числа, расположенные
под прямой (и возможно на ней) t 4 u 2
параболой t u 2 11 u
т.е. нужных нам точек ( t ; u ),
Пример 105 . (МГУ, 1972). Определить,
сколько целочисленных решений имеет неравенство
( n 2 2)( n 2 22)( n 2 52)( n 2 152) 0
Решение. Методом интервалов по n 2 определяем решения (см. рис. 2):
2 n 2 22 или 52 n 2 152.
Дальше подбором находим n 2, 3; 4
или n 8, 9; 10; 11; 12.
Ответ : 16 решений.
Пример 106 . (МГУ, 1997). Найти все пары натуральных чисел ( t ; u ), удовлетворяющие одновременно двум неравенствам
2 t 47 22 u 2 u 2 ,
Решение. Решим оба неравенства относительно t :
Если u 8, то из первого неравенства системы получаем, что
t 64 11 8 47 1 . 2 2
Если же u 9, то первое неравенство дает t 0, поэтому точек ( t ; u ), при u 9
то система принимает вид
то система принимает вид
18.05.2011 . 41 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Пример 108. (МИОО 2010). Найти все целые решения уравнения 113 x 179 y 17, удовлетворяющие неравенствам x 0, y 100 0.
7.4 . Уравнения и неравенства
Уравнение с одной неизвестной
Пример 107. Может ли квадратное уравнение ax 2 bx c 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23?
Первое решение. Рассмотрим уравнение
Так как 23 – нечетное число, а 4 ac – четное, то b 2 и, следовательно, b – нечетное число, т.е. b 2 k 1, k Z . Тогда
(2 k 1) 2 4 ac 23; 4( k 2 k ac ) 22. По-
следнее уравнение не имеет решений, так как 22 не делится на 4.
Второе решение. Перепишем уравнение b 2 4 ac 23 в виде b 2 25 4 ac 2 и разложим обе части уравнения на множители:
( b 5)( b 5) 2(2 ac 1). ( * )
Так как в правой части уравнения – число четное, то и в левой – тоже четное, следовательно, b 5 и b 5 одновременно четные (докажите), т.е. b 5 2 m , b 5 2 k . Левая часть уравнения ( * ) делится на 4, а
не имеет решений в целых
Третье решение. Перепишем уравне-
в виде b 2 4 ac 23 или
Решение. Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида. Имеем
Перепишем уравнение в
113( x y ) 66 y 17.
Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так: 113 2 66 19.Получаем
66(2 u y ) 19 u 17.
Обозначим 2 u y , 66 19 u 17, 66 3 19 9. Получаем уравнение
19(3 u ) 9 17, 3 u ; 19 9 17, 9(2 ) 17,
Наконец, получаем уравнение 9 t 17.Это уравнение имеет решение:17 9 t , где t – любое целое число. Проделываем обратные действия:
t 2 t 34 18 t 19 t 34, u 3 66 t 119,
y 2 u 113 t 204, x u y 179 t 323.
y 113 t 204, где t – любое целое число. Из условия x 0, y 100, т.е. из сис-
b 2 4( ac 5) 3. Получили, что квадрат
натурального числа при делении на 4 дает
остаток 3, что невозможно (докажите).
найдем t 2, затем x 35; y 22.
Ответ : не может.
Ответ: x 35; y 22.
18.05.2011 . 42 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Уравнения второй степени с двумя неизвестными
Пример 109. (Московская математическая регата, 2005/2006, 11 класс).
Найти все целые решения уравнения: x 2 2 xy 2 x y 1 0.
Первое решение. Преобразуем данное уравнение, выразив переменную у через переменную х :
y (2 x 1) x 2 2 x 1;
так как 2 x 1 0 при любых целых значениях х . Для того, чтобы у было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробь
x 2 принимала целые значения. 2 x 1
поэтому числа x 2
и 2 x 1 – взаимно про-
Таким образом, решения дан-
Второе решение. Запишем данное уравнение как квадратное относительно
x 2 2( y 1) x ( y 1)
D ( y 1) 2 ( y 1) ( y 1) y .
Для того чтобы x было целым, необходимо и достаточно, чтобы D являлось квадратом целого числа. Это возможно только, если D 0 y 1 или y 0, так как в остальных случаях число ( y 1) y находится в интервале между двумя со-
седними квадратами: ( y 1) 2
y 1, то x 0; если y 0, то
Третье решение. Преобразуем данное
уравнение, выделив квадрат
( x 2 y 2 1 2 xy 2 x 2 y ) y 2 y 0 ( x y 1) 2 ( y 1) y . По доказанному выше ( y 1) y является квадратом целого
числа тогда, и только тогда, когда y 0
Ответ: x 0; y 1 или x 1; y 0.
Уравнения высшей степени
Теорема. Если ab d 2 , а , b и d – натуральные числа, и числа а и b взаимно просты, то а и b – точные квадраты.
Пример 110. (ММО, 2002, 9 класс).
Решение. Если ( m ; n ) – решение данно-
тоже решения. Поэтому будем
искать только неотрицательные решения.
m 4 2 n 2 1 следует,
уравнение в виде
m 4 1 ( m 1)( m 1)( m 2
2 t (2 t 2) (4 t 2 4 t 2) 2 n 2 .
Отсюда 8 t ( t 1) (2 t 2 2 t 1) 2 n 2 , т.е. n
трудно проверить, что
2 t ( t 1) 1 попарно взаимно просты.
Действительно, пусть, например, d де-
2 t ( t 1) 1 2 t ( t 1) . Взаимная простота двух остальных пар доказывается аналогично.
Произведение этих взаимно простых чисел – полный квадрат. Согласно теореме каждое из них также является полным квадратом.
Итак, t и t 1 – полные квадраты. Это возможно только при t 0.Действительно,
если t 2 , t 1 2 ,
18.05.2011 . 43 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Пример 111. (МИОО 2010). Найти все пары натуральных чисел разной четности, удовлетворяющие уравнению
Решение. Пусть m n . Приведем уравнение к виду
mn 12 m 12 n 12 2
В качестве возможного
3 2 pq , где р – нечетно, а q –
четно, имеем следующие варианты:
Неизвестные m и n входят в уравнение симметрично. Поэтому получаем ответ.
Ответ : (13;156); (15;60); (21;28), (156;13); (60;15); (28;21).
Пример 112. (Московская математическая регата, 2002/2003, 11 класс).
Найти все целые решения уравнения
x 
x y 2002.
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
x 
x ( y 2002) 2 ,
По условию, x – целое число, поэтому t 
x – также целое. Чтобы уравнение t 2 t ( y 2002) 2 0 имело целые решения, необходимо, чтобы дискриминант D 1 4( y 2002) 2 являлся полным квадратом. Так как второе слагаемое, в свою очередь, при всех целых значениях у является полным квадратом, то следующее за ним натуральное число является квадратом тогда и только тогда, когда
( y 2002) 2 0 y 2002. Откуда t 0
или t 1, то есть, x 0.
Ответ: x 0; y 2002.
Теорема. Если остаток от деления
на b равен r 1 , а остаток от деления
b равен r 2 , то остаток от деления
на b равен остатку от деления r 1 r 2
Опорная задача. Докажите, что остаток от деления на 3 числа 5 k равен 1, если k четно, и 2, если k нечетно.
Пример 113. (ММО, 1998, 11 класс) .
Решить в натуральных числах уравнение
Решение. Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т.е. 1 (см. теорему). Поэтому k четное число (см. опорную задачу). Аналогично, левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число m тоже четное. Итак,
4 n 5 k 3 m 5 2 k 0 3 2 m 0 ,
2 2 n (5 k 0 3 m 0 )(5 k 0 3 m 0 ).
Поэтому 5 k 0 3 m 0
где p и q – целые неотрицательные числа p q 2 n . Таким образом,
5 k 0 1 (2 p 2 q ) 2
3 m 0 1 (2 q 2 p ) 2 q 1 2 p 1 . 2
18.05.2011 . 44 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Значит, число 2 q 1 2 p 1
q 1 2 s (иначе левая часть не делится на
3). Тогда 3 m 0 (2 s 1)(2 s 1) – произведе-
ние двух множителей, отличающихся на 2 и являющиеся степенями тройки. Эти
Уравнения смешанного типа
Пример 114. (МГУ, 1979). Найти все целые корни уравнения
Решение. Из данного уравнения получаем
9 x 2 160 x 800
Отсюда приходим к иррациональному уравнению
9 x 2 160 x 800 3 x 16 n ,
которое равносильно системе
160 x 800 (3 x 16 n )
3 x 16 n 0; x , n Z.
Уравнение системы приведем к виду
8(3 n 5)(3 n 5) 9 x (3 n 5) 25
(3 n 5)(8(3 n 5) 9 x ) 25.
Последнее равенство означает, что 3 n 5 является делителем числа 25, т.е. 3 n 5 есть одно из чисел 1, 5, 25. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это возможно только если n равняется одному
из чисел n 1 10, n 2 2, n 3 0. Соот-
ветствующие значения x находятся из ра-
Условию 3 x 16 n 0
Уравнения, содержащие знак факториала
Пример 115. (МИОО, 2011) . Решить в натуральных числах уравнение
Решение . Запишем уравнение в следующем виде
Отсюда следует, что k n m или n k m .
Если k n , то получаем 4 k ! m !. Отсюда после деления обеих частей равенства на k ! получаем
Следовательно, 4 делится на k 1. Так как k натуральное число, то возможны два
случая k 1 2 или k 1 4.
В первом случае получаем
это невозможно, так как под-
2 1! 2! 2 1!, что неверно.
Во втором случае
Значит, тройка чисел
Рассмотрим теперь случай,
Тогда вынося в левой части уравнения ( * ) n !, получим и
2 n ! (( n 1) . k 1) m !
2 (( n 1) . k 1) ( n 1) . m 2 ( n 1) . k 2 ( n 1) . m .
Правая часть последнего равенства делится на n 1 и k (так как n k m ). В левой части одно слагаемое делится на n 1 и k . Чтобы сумма в левой части делилась на n 1 и k необходимо, чтобы число 2 делилось n 1 и k . Это возможно, если
18.05.2011 . 45 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
n 1 k 2. Тогда из уравнения ( * ) получаем m 3. Значит, тройка чисел (1; 2; 3)
– решение исходного уравнения.. Аналогично в случае n k получим
еще одно решение (2;1; 3).
Ответ : (1; 2; 3), (2;1; 3), (2;1; 3).
Пример 116. (МИОО, 2011). Решить в натуральных числах уравнение
n k 1 n ! 5(30 k 11).
Решение . Так как левую часть равенст-
должна делиться на n .
удовлетворяет условию задачи.
5(30 k 11) не имеет простых
делителей меньших, чем 5, то n 5.
этом случае можем
m 1. Тогда равенство примет вид
5 k m k 1 4!6 7 . 5 m 30 k 11.
Левая часть этого равенства делится на 5, а правая нет. Значит таких n нет.
Пусть n 5. В этом случае равенство примет вид
5 k 1 5! 5(30 k 11).
Отсюда получаем 5 k 1 6 k 7.
и k 2 равенство невозможно.
обе части равны 25. Покажем,
других решений последнее уравнение не имеет. Для этого рассмотрим последовательность a k 5 k 1 6 k 7 и запишем разность
5 k 6( k 1) 7 5 k 1 6 k 7
Очевидно, что при k 2 эта разность положительна. Следовательно, при k 3 получим a k a 3 0 .
Уравнения с простыми числами
Пример 117. Решить в простых числах уравнение x y 1 z .
Решение. Число z больше 2, так как если z 2, то x 1, а это не возможно. То-
гда z нечетно, а следовательно, число x четно. Но x – простое, поэтому x 2. Получаем уравнение: 2 y 1 z .
нечетно, то сумма 2 y 1 делит-
ся на 3, причем частное от такого деления
но в этом случае z составное.
Значит, число у четное, т.е. y 2. Находим z 5.
Ответ : x 2, y 2, z 5.
Пример 118. Доказать, что уравнение x ! y ! 10 z 9 не имеет решений в натуральных числах.
Решение. Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или у меньше 2. Пусть для определенности, x 1, т.е. y ! 10 z 8. Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому y 4, но ни одно из натуральных чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. Итак, данное равнение не имеет решений в натуральных числах.
Замечание. Один из способов доказательства неразрешимости уравнения рассмотрен в разделе «Метод от противного».
Пример 119. (МИОО 2010). Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А ?
Решение. Пусть в автобус типа В входит k человек, а в автобус типа А входит k 7 человек, и пусть каждый из трех автобусов типа В сделает по m рейсов, а каждый из двух автобусов типа А по m 1. Так как в обоих случаях автобусы переве-
18.05.2011 . 46 www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целыечисла ( от учебных задач до олимпиадных )
Сколько целочисленных решений имеет неравенство
Сколько целочисленных решений имеет неравенство ? Ответ дайте в десятичной системе счисления, в ответе запишите только число.
Можете объяснить как решать подобные задачи?
Я привёл оба числа в десятичную систему (38 и 63) и вычитал из большего меньшее, но ответ не верный (20 верно)
Сколько решений имеет выражение
Сколько решений имеет это выражение если есть возможность распишите.
Сколько целых решений имеет неравенство
1-5logx4 + 6log2x4<0 помогите решить и объясните как решается
При каких значениях параметра a неравенство не имеет целых решений
См. приложение. Не знаю как решать. Натолкните на правильную мысль, пожалуйста. Не знаю, как.
Объясните, почему вы вычитали из большего меньшее.
Добавлено через 43 секунды
Кроме того, меньшее число есть 42 в десятичной системе.
Сообщение от 3D Homer
Сообщение от 3D Homer
Сообщение от nublin1
Вы неверно перевели 1 число:
1*25+3*5+2=42
63 — 42 — 1 = 20 (между 63 и 42)
Можно было решать и в 5-ричной системе:
2235
—
1325 Так как из 2 3 не вычитается, добавляем 5; 7-3=4
——
0415=4*5+1=21 — вычитаем единицу, чтобы получить количество чисел на интервале
Ответ 20
Сколько решений имеет ДУ
Здравствуйте. Помогите пожалуйста с вопросом. Сколько решений имеет ДУ n-го порядка и почему? Я.
Сколько решений имеет уравнение
Добрый день, форумчане. Являюсь учеником 11 класса физико-математического лицея. Вот попалась.
Сколько решений имеет ребус
Написал программу, которая решает следующий ребус: ABC+DEF=XYZ Суть ребуса в том, что нужно.
Сколько решений имеет уравнение x + y^2 + z^3 + u^4 = 21?
Сколько решений имеет уравнение x + y^2 + z^3 + u^4 = 21 в целых неотрицательных числах.