Задачи на кинетическую и потенциальную энергию с подробными решениями
А почему-бы и нет? У нас уже были задачи на свободное падение, законы Ньютона, силу трения и проч. и проч. Сегодня решаем задачи на кинетическую и потенциальную энергию.
А вообще, помните, что мы занимаемся далеко не только решением задач. Наш телеграм – это полезная информация для студентов всех специальностей, новости, лайфхаки, акции и скидки.
Задачи на кинетическую и потенциальную энергию
Приведем примеры задач на нахождение кинетической и потенциальной энергии с решением. Прежде чем приступать к практике, почитайте теорию по теме, повторите общую памятку по решению задач по физике и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.
Задача №1 на кинетическую энергию
Условие
Максимальная высота, на которую поднимается тело массой 1 кг, подброшенное вертикально вверх, составляет 20 м. Найдите, чему была равна кинетическая энергия сразу же после броска.
Решение
Потенциальная энергия тела над поверхностью Земли составляет:
Здесь m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота. Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия тела в наивысшей точке должна равняться кинетической энергии тела в начальный момент, то есть:
Принимая ускорение свободного падения равным 10 м/с2, находим кинетическую энергию тела сразу же после броска:
Ответ: 200 Дж.
Задача №2 на потенциальную энергию
Условие
Чему равна потенциальная энергия трех кубических дециметров воды на высоте 10 м?
Решение
По определению, потенциальная энергия равна в поле силы тяжести равна:
Масса трех кубических дециметров воды (трех литров) легко находится из формулы для плотности воды:
Осталось вычислить потенциальную энергию:
Ответ: 300 Дж.
При решении задач не забывайте переводить все размерности величин в систему СИ.
Задача №3 на полную механическую энергию
Условие
Какова полная механическая энергия дирижабля массой 5 тонн, если он летит на высоте 2 км со скоростью 60 км/ч?
Решение
Полная механическая энергия состоит из кинетической и потенциальной энергий:
Ответ: 100,7 МДж.
Задача №4 на кинетическую и потенциальную энергию
Условие
Шарик массой 200 г падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю. Какова его кинетическая энергия в момент перед ударом о землю, если потеря энергии за счет сопротивления воздуха составила 4 Дж? (Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
Решение
Перед началом падения потенциальная энергия шарика составляет:
По закону сохранения энергии, эта энергия должна перейти в кинетическую энергию Ек за вычетом потери за счет сопротивления воздуха дельта Е. Таким образом, можем найти кинетическую энергию:
Ответ: 36 Дж.
Задача №5 кинетическую и потенциальную энергию
Условие
Шарик висит на нити. В нем застревает пуля, летящая горизонтально, в результате чего нить отклоняется на некоторый угол. Как изменятся при увеличении массы шарика следующие величины: импульс, полученный шариком в результате попадания в него пули; скорость, которая будет у шарика тотчас после удара; угол отклонения нити?
Решение
Согласно закону сохранения импульса, скорость шарика с застрявшей в нем пулей равна
Здесь M и m – массы шарика и пули соответственно, v – скорость пули перед ударом. Таким образом, при увеличении массы шарика его скорость после удара уменьшится.
Найдем импульс, переданный шарику при попадании пули:
Следовательно, с увеличением массы шарика переданный ему импульс увеличивается.
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия пули перейдет в потенциальную энергию шарика с пулей:
Таким образом, при увеличении массы шарика угол отклонения нити уменьшится, поскольку уменьшится скорость u.
Ответ: см решение выше.
Вопросы на потенциальную и кинетическую энергию
Вопрос 1. Что такое энергия? Что такое механическая энергия?
Ответ. Для энергии существует множество определений. В наиболее общем смысле:
Энергия – мера способности тела совершать работу.
Механическая энергия – это энергия, связанная с движением тела или его положением в пространстве. Механическая энергия в механике описывается суммой кинетической и потенциальной энергии.
Вопрос 2. Сформулируйте закон сохранения энергии
Ответ. Закон сохранения энергии является фундаментальным физическим принципом. Для каждого вида энергии он имеет свою формулировку. Для механической энергии:
Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается неизменной.
Вопрос 3. Какие силы называются консервативными?
Ответ. Консервативные, или потенциальные силы – это силы, работа которых не зависит от формы траектории. В качестве примера такой силы можно привести силу тяжести.
Вопрос 4. Какую энергию называют кинетической?
Ответ. Кинетическая энергия является энергией движения. Ею обладают только движущиеся тела, она зависит от массы тела и его скорости.
Вопрос 5. Какую энергию называют потенциальной?
Ответ. Потенциальная энергия является энергией взаимодействия в поле консервативных сил. Она зависит от положения тела и выбора системы отсчета. Например, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести зависит от массы тела, ускорения свободного падения и высоты над нулевым уровнем.
Не знаете, как решать задачи на кинетическую или потенциальную энергию? Проблемы с выполнением любых других студенческих работ? Обращайтесь в профессиональный сервис для учащихся за помощью и консультациями.
ЕГЭ Физика, Как решить задачу про пулю, застрявшую в шаре?
В маленький шар массой M = 230 г., висящий на нити длиной l = 50 см., попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля. Минимальная скорость пули ν₀, при которой шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости, равна 120 м/с.
Чему равна масса пули?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.
Дано: M = 230 г = 0,23 кг, l = 50 см = 0,5 м; ν₀ = 120 м/с.
Найти: m.
Решение.
В данной задаче мы рассматриваем инерционную систему отсчета.
Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения импульса.
Составим уравнение, используя закон сохранения импульса.
После того, как пуля попадает в шар, они продолжают двигаться вместе. Для данного случая справедлив закон сохранения механической энергии.
В данном случае мы можем пренебречь сопротивлением воздуха.
Сила натяжения нити не совершает работу при передвижении шара. Она перпендикулярна скорости движения шара с пулей.
Составим уравнение, используя закон сохранения механической энергии.
(m + M)* v1^2 / 2 = (m + M)* v2^2 / 2 + (m + M) * g * 2l.
Второй закон Ньютона.
(m + M)g = (m + M)* v2^2 / l.
Найдем отсюда v2.
Подставим полученное значение в закон сохранение энергии.
Далее необходимо подставить значение v1 в уравнение закона сохранения импульса.
Тут тонкость в том, что шар висит на нити, а не на стержне, поэтому пуля мало того, что должна заставить шарик подняться на высоту в две длины нити, — он ещё должен при этом сохранить некоторую скорость, чтоб нить оставалась натянутой за счёт центробежной силы (если скорость меньше — в верхней точки траектории или даже не доходя до этой точки шарик начнёт падать свободно). Значит, скорость шарика в верхней точки должна быть как минимум равной корню из gL (что враз следует из равенства центробежного ускорения ускорению свободного падения, то есть g = v²/L).
Ну и дополнительно часть скорости, а значит и энергии, пошла на то, чтоб поднять шарик на высоту в 2l, причём понятно какая: это (vₒ²-v²)/2 = 2gL. То есть изменение кинетической энергии перешло в изменение энергии потенциальной. Коэффициент, равный суммарной массе шарика и пули, тут сокращается.
Вот из этих двух уравнений можно найти начальную скорость шарика с пулей после того, как в него попадает пуля. А из закона сохранения импульса — и массу пули.
Задание 7. Механика Часть 2 задания на соответствие
1. Задание 7 № 2901. Груз изображенного на рисунке пружинного маятника может совершать гармонические колебания между точками 1 и 3.
Период колебаний груза Т. Графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих колебания груза после начала колебаний из положения в точке 1.
1) Потенциальная энергия пружинного маятника;
2) Кинетическая энергия груза на пружине;
3) Проекция скорости груза на ось Ох;
4) Проекция ускорения груза на ось
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
С учетом того, что маятник начинает колебания из положения в точке 1, для зависимости координаты груза от времени имеем . Следовательно, для проекции скорости получаем:
.
График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует проекции скорости груза на ось Ox (А — 3). Нули графика соответствуют положениям маятника в точка 1 и 3, а максимумы и минимумы — положению устойчивого равновесия. Легко видеть, что график Б представляет потенциальную энергию пружинного маятника (Б — 1). Действительно,
.
Максимумы потенциальной энергии соответствуют положениям груза в точках 1 и 3, а минимумы — точке 2.
2. Задание 7 № 2902. Груз изображенного на рисунке пружинного маятника может совершать гармонические колебания между точками 1 и 3. Период колебаний груза Т.
Графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих колебания груза после начала колебаний из положения в точке 1.
1) Потенциальная энергия пружинного маятника;
2) Кинетическая энергия груза на пружине;
3) Проекция скорости груза на ось Ох;
4) Проекция ускорения груза на ось Ох.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
С учетом того, что маятник начинает колебания из положения в точке 1, для зависимости координаты груза от времени имеем Следовательно, для проекции скорости получаем:
.
Легко видеть, что график А представляет кинетическую энергию груза на пружине (А — 2). Действительно,
.
Минимум кинетической энергии соответствуют положениям груза в точках 1 и 3, а максимумы — точке 2. В свою очередь для проекции ускорения получаем:
.
График Б отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график Б соответствует проекции ускорения груза на ось Ox (Б — 4).
3. Задание 7 № 2907. Математический маятник совершает гармонические колебания между точками 1 и 2.
Графики А и Б представляют зависимость от времени t физических величин, характеризующих колебания. В начальный момент времени маятник находился в положении 1.
1) Проекция скорости на ось Оy;
2) Проекция ускорения на ось Ох;
3) Кинетическая энергия маятника;
4) Потенциальная энергия маятника относительно поверхности земли.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Считая колебания математического маятника малыми, с учетом того, что они начинаются из положения 1, для зависимости координаты маятника от времени имеем
.
Следовательно, для проекции ускорения получаем:
.
График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует проекции ускорения на ось Ox (А — 2). Нули графика соответствуют положению равновесия, а максимумы и минимумы — положениям 1 и 2. Легко видеть, что график Б представляет кинетическую энергию маятника (Б — 3). Действительно,
.
Максимумы кинетической энергии соответствуют положению равновесия, в котором скорость маятника максимальна, а минимумы — крайним положениям 1 и 2, в которых скорость обращается в ноль.
4. Задание 7 № 2908. Математический маятник совершает гармонические колебания между точками 1 и 2.
Графики А и Б представляют зависимость от времени t физических величин, характеризующих колебания. В начальный момент времени t маятник находился в положении 1.
1) Потенциальная энергия маятника относительно поверхности земли;
2) Кинетическая энергия маятника;
3) Проекция ускорения на ось Ох.
4) Проекция скорости на ось Ох.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Считая колебания математического маятника малыми, с учетом того, что они начинаются из положения 1, для зависимости координаты маятника от времени имеем
.
Следовательно, для проекции скорости получаем:
.
График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует проекции скорости на ось (А — 4). Нули графика соответствуют крайним положениям 1 и 2, а максимумы и минимумы — положению равновесия. Легко видеть, что график Б представляет кинетическую энергию маятника (Б — 2). Действительно,
.
Максимумы кинетической энергии соответствуют положению равновесия, в котором скорость маятника максимальна, а минимумы — крайним положениям 1 и 2, в которых скорость обращается в ноль.
5. Задание 7 № 2909. Камень бросили вертикально вверх с поверхности земли. Считая сопротивление воздуха малым, установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
1) Проекция скорости камня ;
2) Кинетическая энергия камня;
3) Проекция ускорения камня ;
4) Энергия взаимодействия камня с Землей.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Пренебрегая силой сопротивления воздуха, заключаем, что на камень действует только сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение свободного падения, направленное вниз. Тогда зависимость проекции скорости камня от времени приобретает вид
. График Б отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график Б соответствует проекции скорости камня
(Б — 1). Легко видеть, что график А представляет кинетическую энергию камня (А — 2). Действительно,
.
6. Задание 7 № 3103. Груз массой , подвешенный к длинной нерастяжимой нити длиной
, совершает колебания с периодом
. Угол максимального отклонения равен
. Что произойдет с периодом колебаний, максимальной кинетической энергией и частотой колебаний нитяного маятника, если при неизменном максимальном угле отклонения груза увеличить длину нити?
К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго и внесите в строку ответов выбранные цифры под соответствующими буквами.
А) Период колебаний
Б) Максимальная кинетическая энергия
В) Частота колебаний
Период колебаний связан с длиной нити и величиной ускорения свободного падения соотношением
. Следовательно, при увеличении длины нити период колебаний увеличится (А — 1). Частота обратно пропорциональна периоду, значит, частота уменьшится (В — 2). При колебаниях нитяного маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, поскольку на него не действует никаких внешних сил, совершающих работу. Будем отсчитывать потенциальную энергию маятника от положения устойчивого равновесия. Тогда максимальная кинетическая энергия груза будет равна его потенциальной энергии во время максимального отклонения из положения равновесия.
Из рисунка видно, что при увеличении длины нити и неизменном угле максимального отклонения, высота подъема груза над положением равновесия увеличивается , а значит, увеличивается его потенциальная энергия в этом положении. Таким образом, при увеличении длины нити и неизменном угле
максимальная кинетическая энергия груза увеличивается(Б — 1).
7. Задание 7 № 3131. Груз, подвешенный на пружине, совершает вынужденные гармонические колебания под действием силы, меняющейся с частотой . Установите соответствие между физическими величинами и частотой их изменения в этом процессе. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ЧАСТОТА ИХ ИЗМЕНЕНИЯ
А) Кинетическая энергия
1)
2)
3)
4)
Под действием силы, меняющейся с частотой , груз на пружине совершает вынужденные гармонические колебания с такой же частотой. Следовательно, закон изменения координаты груза со временем имеет вид
. Таким образом, закон изменения скорости со временем:
. Отсюда получаем, что частота изменения скорости груза также равна
(Б — 2). Кинетическая энергия груза изменяется по закону
. Следовательно, частота изменения кинетической энергии равна
(А — 3)
8. Задание 7 № 3134. Шарик висит на нити. В нем застревает пуля, летящая горизонтально, в результате чего нить отклоняется на некоторый угол. Как изменятся при увеличении массы шарика следующие три величины: импульс, полученный шариком в результате попадания в него пули; скорость, которая будет у шарика тотчас после удара; угол отклонения нити? Пуля застревает очень быстро. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Импульс, полученный шариком
в результате попадания в него пули
Скорость, которая будет у шарика
тотчас после удара
Угол отклонения нити
Пояснение. Для выполнения этого задания надо знать два закона сохранения — импульса и механической энергии. В процессе застревания система «шарик + пуля» является в горизонтальном направлении изолированной, а значит, ее импульс сохраняется при этом неизменным и равным импульсу летящей пули. Это дает возможность установить, каким образом влияет масса шарика на импульс всей системы тотчас после застревания. Что же касается угла отклонения нити, то он тем больше, чем больше скорость системы — в соответствии с законом сохранения механической энергии.
Скорость шарика с застрявшей в нем пулей сразу после удара можно найти из закона сохранения импульса, она равна: , где
и
— массы пули и шарика соответственно, а
— скорость пули до удара. Отсюда видно, что при увеличении массы шарика скорость, которая у него будет сразу после удара, уменьшается.
Импульс, переданный шарику равен Из выражения для импульса шарика видно, что с увеличением массы шарика импульс, переданный ему увеличивается.
При движении выполняется закон сохранения полной механической энергии, поскольку на шарик не действует никаких внешних сил, совершающих работу. Угол отклонения тем больше, чем выше поднимется шарик, а высоту подъема можно найти из закона сохранения энергии:
.
Следовательно при увеличении массы шарика угол отклонения, как и скорость, уменьшается.
9. Задание 7 № 3136. Тележка с песком стоит на рельсах. В неё попадает снаряд, летящий горизонтально вдоль рельсов. Как изменятся при уменьшении скорости снаряда следующие три величины: скорость системы «тележка + снаряд», импульс этой системы, её кинетическая энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
На систему «тележка + снаряд» в горизонтальном направлении не действует никаких внешних сил, а значит, в этом направлении выполняется закон сохранения импульса. Следовательно, импульс системы равен импульсу снаряда до удара. Если уменьшить начальную скорость снаряда, то уменьшается импульс снаряда, а значит, и импульс системы «тележка + снаряд» после удара. Раз уменьшается импульс системы, уменьшается и скорость системы. Кинетическая энергия тележки с застрявшим в ней снарядом пропорциональна квадрату скорости системы. Следовательно, кинетическая энергия тоже уменьшается при уменьшении скорости снаряда.
10. Задание 7 № 3165. Массивный шарик, подвешенный к потолку на упругой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. Как ведут себя скорость и ускорение шарика в момент, когда шарик проходит положение равновесия, двигаясь вниз?
Олимпиадная.
В начальный момент времени энергия системы была mv^2/2
Ее должно хватить во первых чтобы поднять шарик с пулей на высоту двойного радиуса (M+m)2gL
и должна остаться энергия E0 чтобы шарик прокрутился на следующей четверти окружности
определим эту энергию для этого введем систему координат связан с шариком
вдоль нити действуют силы N (реакция нити) , (M+m)gsinA, (m+M)v^2/L уравнение
N=(m+M)v^2/L-(M+m)gsinA необходимо чтобы N>0 вплоть до A=0
скорость в зависимости от угла можно найти из закона сохранения энегрии
(m+M)v^2/2=E0+(M+m)g(2L-H) H=L+LcosA — высота шарика
Отсюда можно найти mv^2/L и зависимости N(A)
находим минимум дифференцированием он при A=45град подставим N(45)>=0
из этого найдем E0
Тогда минимальная энергия которуя должна сообщить пуля
E0+(M+m)2gL=((M+m)gLsin45-(m+M)gL(1-cos45))/2+(M+m)2gL=mv0^2/2
откуда скорость пули v0