Черчение. 10 класс
Для выполнения чертежей некоторых изделий необходимо овладеть приемами деления окружностей на равные части и построения многоугольников, вписанных в окружность (рис. 34, 35).
Деление окружности на 2 и 4 равные части. Любой диаметр делит окружность на две равные части. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят ее на четыре равные части.
Как вы считаете, как вписать в окружность квадрат, стороны которого параллельны осевым линиям?
Последовательность деления окружности на 4 равные части
1. Проводят окружность с радиусом R.
2. Из точек С и В тем же радиусом R, что и радиус окружности, проводят дуги до их взаимного пересечения.
3. Точку пересечения соединяют прямой с центром окружности. Получают точки 1 и 3.
4. Аналогично выполняют построение из точек А и С.
Установите последовательность операций по делению окружности на восемь равных частей.
Деление окружности на 3 и 6 равных частей
Последовательность деления окружности
1. Проводят окружность с заданным радиусом R.
2. Из точки А тем же радиусом R проводят дугу до пересечения с окружностью в точках 2 и 3.
3. Точки пересечения 2 и 3 соединяют прямыми
линиями, получают вписанный треугольник.
Составьте алгоритм деления окружности на три равные части таким образом, чтобы получить геометрические фигуры, изображенные на рисунке.
При делении окружности на 6 равных частей выполняется то же построение, что и при делении окружности на 3 части, но дугу описывают не один, а два раза, из точек 1 и 4 радиусом окруж ности R.
Выполнять деление окружности на равные части можно не только с помощью циркуля, но и используя угольник. Разделить окружность на число частей n можно, используя формулу расчета длины хорды (см. Памятку 4).
Угольником с углами 30° и 60°. Гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности
Зная, на какое число (п) следует разделить окружность, находят по таблице коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр окружности D получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности п раз
Деление окружности на 5 равных частей
Последовательность деления окружности
1. Из точки А радиусом окружности R проводят дугу до пересечения окружности в точках n и m. Соединяют полученные точки n и m прямой линией. На пересечении с горизонтальной осевой линией получают точку В.
2. Из точки В радиусом, равным отрезку ВС, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D.
3. Соединив точки С и D, получаем отрезок СD, который и является длиной стороны пятиугольника. Из точки С проводят дугу радиусом, равным СD, и получают точки 5 и 2. Из полученных точек 5 и 2 проводят еще по одной дуге R = CD и находят точки 3 и 4.
Как вы считаете, каким образом можно разделить окружность на 10 равных частей для получения рисунка орнамента? Предложите способ деления окружности.
Деление окружности на 7 равных частей
Последовательность деления окружности на 7 равных частей аналогично по построению с алгоритмом деления на 5 равных частей.
1. Из точки А проводят дугу радиусом окружности R, которая пересекает окружность в двух точках.
2. Соединив точки пересечения прямой, при пересечении с горизонтальной осевой линией получаем точку В. Отрезок СВ является длиной стороны семиугольника
3. Из точки 1 радиусом, равным отрезку СВ, делают по окружности 7 засечек и получают семь точек.
Знаете ли вы, что не все кривые линии могут быть вычерчены с помощью циркуля и их построение выполняется по ряду точек? При вычерчивании кривой полученный ряд точек соединяют по лекалу, поэтому ее называют лекальной кривой линией. Точность построения лекальной кривой повышается с увеличением числа промежуточных точек на ее участке. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, которые получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью.
К лекальным кривым также относят эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда, циклоидальные кривые.
Архимедова спираль была открыта Архимедом в III в. до н. э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигалась на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние. Спираль Архимеда встречается не только в природе, ее используют в архитектуре, технике. Например, по спирали Архимеда идет звуковая дорожка или строится круговая лестница.
С помощью деления окружности на равные части составляются круговые орнаменты — узоры, украшающие различные сооружения, утварь, оружие и т. д. Основа создания орнамента — геометрические построения. На рисунок орнамента могут влиять технические, растительные, текстовые мотивы. Круговые орнаменты могут быть как простыми, например для геометрической резьбы, так и очень сложными, требующими серьезных геометрических построений.
Как разделить дугу на равные части
Библиографическая ссылка на статью:
Плисова Н.Н. Точное деление угла и дуги окружности на три равные части и на большее число равных частей в классической геометрии // Современные научные исследования и инновации. 2022. № 11 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2022/11/98969 (дата обращения: 05.09.2023).
В классической геометрии все построения выполняются простой линейкой, не имеющей шкалы, и циркулем; расстояния измеряются раствором циркуля.
Вывод равенства построенных углов основывается на аксиоматике планиметрии, которая приведена в книге автора [1] и не приводится заново в этой статье.
Способ точного деления угла и дуги окружности на три равные части по правилам классической геометрии.
Дано: угол произвольной величины, заданный геометрически.
Задача: с помощью простой линейки и циркуля разделить данный угол на три равные части.
Решение: Пускай угол с вершиной в точке О образован лучами а и с . Проводим дугу окружности с центром в точке О и некоторым радиусом R ; точки ее пересечения с лучами а и с , являющимися сторонами данного угла, обозначаем через А и С соответственно (Рис. 1).
Проводим дугу окружности с центром в точке О и радиусом 2 R ; точку ее пересечения с лучом а обозначаем через В (до луча с эту дугу не доводим). Соотношение между радиусами второй и первой окружностей может быть и другим; удвоение радиуса наиболее просто и удобно, для чего на луче а от точки А откладывается расстояние R , конец отрезка обозначается через В . На дуге окружности с центром в точке О и радиусом 2 R от точки В последовательно откладываем три раза некоторое расстояние п : раствором циркуля последовательно откладываются хорды длиной п , не достигая луча с ; концы отложенных отрезков обозначаются через В 1 , В 2 и В 3 (Рис. 1). По теореме 5.2.4., длины дуг ВВ 1 , В 1 В 2 и В 2 В 3 , которые стягивают равные хорды ВВ 1 , В 1 В 2 и В 2 В 3 , равны.
Через точки С и В 3 проводим прямую; луч а продолжаем по прямой до пересечения его с прямой СВ 3 , точку пересечения обозначаем через Р . Проводим прямую через точки Р и В 1 , точку ее пересечения с дугой АС обозначаем через А 1 ; проводим прямую через точки Р и В 2 , точку ее пересечения с дугой АС обозначаем через А 2 (Рис. 1).
Через точку А 1 проводим луч с началом в точке О ; через точку А 2 проводим луч с началом в точке О . Лучи ОА 1 и ОА 2 разбивают угол АОС на три равные части (Рис. 1).
Действительно, хорды ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 равны: , следовательно, по теореме 5.2.4. (доказанной в п. 2. этой статьи), длины соответствующих дуг тоже равны: .
Окружности с центром в точке О и радиусами R и k·R являются концентрическими (Def. 5.15.1.), где ; дуги ВВ 3 и АС параллельны по определению параллельных кривых, данному в [3]. По аксиоме 4.3.2. о независимости величины угла от длины его сторон, угол АРА 1 равен углу ВРВ 1 , угол А 1 РА 2 равен углу В 1 РВ 2 , угол А 2 РС равен углу В 2 РВ 3 (Рис. 1): , , , при этом длины дуг ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 , ограниченных сторонами углов ВРВ 1 , В 1 РВ 2 , В 2 РВ 3 , равны: , следовательно, длины дуг АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С , ограниченных сторонами углов АРА 1 , А 1 РА 2 и А 2 РС , тоже равны по аксиоме 6.7. о равенстве фигур: . Значит, дуга АС разбита на три равные части (Рис. 1); таким образом решена задача разделения дуги окружности на три равные части.
Длина дуги окружности равна произведению радиуса окружности на угловую величину дуги, выраженную в радианах [2]: , , ; угловая величина дуги равна величине центрального угла, стороны которого ограничивают эту дугу. Из равенства длин дуг АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С следует равенство их угловых величин: . Равенство угловых величин дуг АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С означает равенство соответствующих им центральных углов (Рис. 1): ; величина каждого из них равна 1/3 величины угла АОС (по аксиоме 4.7.1.).
Доказательства теоремы о равенстве длин дуг при равенстве стягивающих их хорд и обратной теоремы.
Теорема 5.2.4.: Если длины хорд, стягивающих дуги окружностей равного радиуса, равны, то равны и длины этих дуг.
Доказательство: Пускай длины хорд АВ и СЕ , стягивающих соответствующие дуги окружности с центром в точке О и радиусом r , равны (Рис. 2). Тогда треугольники АОВ и СОЕ равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, углы АОВ и СОЕ равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.).
Длина дуги окружности равна произведению ее угловой величины, выраженной в радианах, на радиус окружности [2]; угловая величина дуги равна величине центрального угла, ограничивающего эту дугу. Длина дуги АВ равна: ; длина дуги СЕ равна: ; при этом , следовательно, длины дуг АВ и СЕ равны: , что и требовалось доказать.
Теорема 5.2.5., обратная теореме 5.2.4.: Если длины дуг окружностей равного радиуса равны, то равны и длины хорд, стягивающих эти дуги.
Доказательство: Пускай длины дуг АВ и СЕ окружности с центром в точке О и радиусом r равны (Рис. 2). Длина дуги АВ равна: ; длина дуги СЕ равна: ; при этом , следовательно, . Тогда треугольники АОВ и СОЕ равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.), следовательно, хорды АВ и СЕ равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.), что и требовалось доказать.
Примеры точного деления острых углов разной величины на три равные части.
Предложенный способ деления угла на три равные части применен к углам в 30°, 45°, 60° и 90°. Эти углы строились с помощью транспортира; деление каждого из них на три равные части проводилось только с помощью простой линейки и циркуля; результаты деления проверялись с помощью транспортира, при этом было установлено, что результаты деления – точные.
На рисунке 2 угол АОС равен 60° и разделен на три части лучами е и р ; радиус ОВ в 2 раза больше радиуса ОА . Углы АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС равны; величина каждого из них равна 20°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС также разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
На рисунке 3 угол АОС равен 30° и разделен на три части лучами е и р ; радиус ОВ в 2 раза больше радиуса ОА . Углы АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС равны; величина каждого из них равна 10°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС также разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
На рисунке 4 угол АОС равен 45° и разделен на три части лучами е и р ; радиус ОВ в 2 раза больше радиуса ОА . Углы АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС равны; величина каждого из них равна 15°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС также разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
На рисунке 5 угол АОС равен 90° и разделен на три части лучами е и р ; радиус ОВ в 2 раза больше радиуса ОА . Углы АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС равны; величина каждого из них равна 30°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС также разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
Предложенным способом осуществляется деление угла на три равные части, когда отношение радиусов концентрических окружностей отлично от 2. На рисунке 6 представлен угол АОС в 60°, при этом радиус ОВ в 1,5 раза больше радиуса ОА . Углы АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС равны; величина каждого из них равна 20°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС также разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
Точное деление тупого угла и соответствующей дуги окружности на три равные части по правилам классической геометрии.
Деление тупого угла на три равные части осуществляется тем же самым способом, что и деление острого угла; при этом обоснование равенства частей остается в силе. Деление тупого угла на три равные части осуществлено на примере угла в 120° (Рис. 7); радиус ОВ в 2 раза больше радиуса ОА .
На рисунке 7 угол АОС разделен лучами е и р на три угла АОА 1 , А 1 ОА 2 и А 2 ОС ; величина каждого из них равна 40°, то есть 1/3 величины угла АОС . При этом дуга АС , ограниченная сторонами исходного угла, тоже разделена на три равные части: АА 1 , А 1 А 2 и А 2 С .
Точное деление угла и дуги окружности на пять равных частей по правилам классической геометрии.
Предложенным способом осуществляется деление угла на пять равных частей, только в отличие от деления угла на три равные части, на дуге окружности с центром в точке О и радиусом 2 R от точки В последовательно откладывается некоторое расстояние s пять раз, то есть раствором циркуля последовательно откладываются хорды длиной s , не достигая луча с ; концы отложенных отрезков обозначаются через В 1 , В 2 , В 3 , В 4 и В 5 (Рис. 8). По теореме 5.2.4., длины дуг ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 , В 4 В 5 , которые стягивают равные хорды ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 и В 4 В 5 , равны.
Через точки С и В 5 проводится прямая; луч а продолжается по прямой до пересечения его с прямой СВ 5 , точка пересечения обозначается через Р . Затем проводятся прямые через точки Р и В 1 , точки Р и В 2 , точки Р и В 3 , точки Р и В 4 ; точки пересечения этих прямых с дугой АС обозначаются через А 1 , А 2 , А 3 , А 4 соответственно (Рис. 8).
Через точки А 1 , А 2 , А 3 , А 4 проводятся лучи с началом в точке О , которые разбивают угол АОС на пять равных частей; лучи обозначены через е , р , п и d (Рис. 8). При этом дуга АС тоже оказывается разделенной на пять равных частей: АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 и А 4 С .
Равенство пяти углов, на которые разделен угол АОС , выводится так же, как и равенство построенных углов при делении исходного угла на три части, только дуг и углов будет пять, отличается и количество точек деления.
Хорды ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 , В 4 В 5 равны: , следовательно, по теореме 5.2.4. (доказанной в п. 2. этой статьи), длины соответствующих дуг тоже равны: .
Окружности с центром в точке О и радиусами R и k · R являются концентрическими (Def. 5.15.1.), где ; дуги ВВ 5 и АС параллельны по определению параллельных кривых, данному в [3]. По аксиоме 4.3.2. о независимости величины угла от длины его сторон, углы АРА 1 и ВРВ 1 , углы А 1 РА 2 и В 1 РВ 2 , углы А 2 РА 3 и В 2 РВ 3 , углы А 3 РА 4 и В 3 РВ 4 , углы А 4 РС и В 4 РВ 5 равны: , , , , , при этом длины дуг ВВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 , В 4 В 5 , ограниченных сторонами углов ВРВ 1 , В 1 РВ 2 , В 2 РВ 3 , В 3 РВ 4 , В 4 РВ 5 , равны: , следовательно, длины дуг АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 и А 4 С , ограниченных сторонами углов АРА 1 , А 1 РА 2 , А 2 РА 3 , А 3 РА 4 и А 4 РС , тоже равны – по аксиоме 6.7. о равенстве фигур: . Значит, дуга АС разбита на пять равных частей (Рис. 8); таким образом решена задача разделения дуги окружности на пять равных частей.
Длина дуги окружности равна произведению угловой величины этой дуги, выраженной в радианах, на радиус окружности [2]: , , , , ; угловая величина дуги равна величине центрального угла, стороны которого ограничивают эту дугу. Из равенства длин дуг АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 и А 4 С следует равенство их угловых величин: . Равенство угловых величин дуг АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 и А 4 С означает равенство соответствующих им центральных углов (Рис. 8): ; величина каждого из них равна 1/5 величины угла АОС (по аксиоме 4.7.1.).
Применимость разработанного способа деления угла на пять равных частей показана на примере острого угла в 60°, представленного на рисунке 8, и тупого угла в 120°, представленного на рисунке 9; тупой угол разбивается на пять равных частей так же, как и острый угол. Исходные углы АОС построены с помощью транспортира, отношение радиусов окружностей равно 2. Деление исходных углов АОС на пять равных частей проведено только с помощью простой линейки и циркуля. Результаты деления проверены с помощью транспортира: для угла в 60° величина каждого из построенных углов равна 12°, для угла в 120° величина каждого из построенных углов равна 24°, то есть в обоих случаях точно равна 1/5 величины угла АОС . При этом дуга АС тоже разделена на пять равных частей: АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 и А 4 С .
На рисунке 10 представлен угол АОС в 60°, при этом радиус ОВ второй окружности в 1,5 раза больше радиуса ОА . Угол АОС разделен на пять частей, величина каждого из построенных углов равна 12°, то есть 1/5 величины угла АОС . Дуга АС при этом тоже разделена на пять равных частей.
Разработанным способом может быть осуществлено деление угла и дуги окружности на большее число равных частей.
Выводы.
Разработан способ точного деления угла и дуги окружности на три равные части по правилам классической геометрии, то есть с помощью простой линейки и циркуля. Этот способ деления угла на три равные части применим к острым и тупым углам любой величины. Разработанным способом осуществляется деление угла и дуги окружности на пять и на большее число равных частей, причем как острого, так и тупого угла. Результаты деления, проверенные с помощью транспортира, точные. Задачи деления угла и дуги окружности на несколько равных частей взаимосвязаны и решаются одновременно.
Как разделить дугу окружности на равные части
Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.
Деление круга на равные по площади части радиусами
Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
Деление круга на равные части радиусами
Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:
- Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
- Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
- Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.
Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов
Деление круга на равные части параллельными хордами
Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.
Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.
Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.
По теореме Пифагора получаем следующую функцию
Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:
Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем
Итак, полное выражение
Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)
Таким образом мы можем приравнять
Что дает нам такое финальное уравнение
Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.
Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.
Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.
Деление окружности на любое число равных частей
Как разделить окружность на заданное количество одинаковых частей, терминология при построении окружности, деление окружности на 3, 4, 5, 6, 8, 10 частей.
Термины при построениях окружности
Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.
Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.
Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.
Части окружностей называются дугами.
Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой.
Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной.
Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности.
Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом.
Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.
Деление окружности на 4 и 8 одинаковых частей
Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.
Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)
Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.
Деление окружности на 5 и 10 равных частей
Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «а» в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние «b-О» даёт сторону правильного десятиугольника.
Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)
Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки «1» окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные ( или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть ( N ) равных частей.
Нахождение центра дуги окружности
Для нахождения центра дуги окружности нужно выполнить следующие построения: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки А, В, С, D и соединяем их попарно хордами АВ и СD. Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров даёт центр данной дуги и соответствующей ей окружности.
Bau-enginer
Деление окружности на равные части
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
В данной статье Вы узнаете как разделить окружность на 3-6, 4-8, 5-10 и n частей.
Как разделить окружность на 3 и 6 частей
Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей проводим окружность заданного радиуса и со ответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения вертикальной или горизонтальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6 раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шестиугольник. Соединение точек через однудает равносторонний треугольник, и деление окружности на 3 равные части.
Деление окружности на 3-6 равных частей
Как разделить окружность на 5 и 10 частей
Для того чтобы разделить окружность на 5 и 10 равных частей необходимо построить правильный пятиугольник. Для его построения необходимо выполнить следующее. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «а» в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т . 5) и получают сторону правильного пятиугольника, затем откладывают полученное расстояние по окружности 5 раз до получения правильного пятиугольника. Расстояние «b-0» дает сторону правильного пятиугольник.
Деление окружности на 5-10 равных частей
Как разделить окружность на n — равных частей
Иначе необходимо построить правильный многоугольник с n количеством сторон. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки «1″ окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей, на которые мы делим данную окружность, например 9 . Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Провод им линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через четные (или нечетные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т. к. точки 1, 2,… 9 делят окружность на 9 (N) равных частей.
Деление окружности на n равные части
Деление окружности на произвольное число равных частей можно производить с помощью таблицы хорд, численное выражение которых определяется умножением радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу деления, представленный в таблице.
Таблица хорд (коэффициентов для деления окружности)
| Число частей делений окружности | Коэффициент | Число частей делений окружности | Коэффициент | Число частей делений окружности | Коэффициент |
| 1 | 0,000 | 11 | 0,282 | 21 | 0,149 |
| 2 | 1,000 | 12 | 0,258 | 22 | 0,142 |
| 3 | 0,866 | 13 | 0,239 | 23 | 0,136 |
| 4 | 0,707 | 14 | 0,223 | 24 | 0,130 |
| 5 | 0,588 | 15 | 0,208 | 25 | 0,125 |
| 6 | 0,500 | 16 | 0,195 | 26 | 0,120 |
| 7 | 0,434 | 17 | 0,184 | 27 | 0,116 |
| 8 | 0,383 | 18 | 0,178 | 28 | 0,112 |
| 9 | 0,342 | 19 | 0,165 | 29 | 0,108 |
| 10 | 0,309 | 20 | 0,156 | 30 | 0,104 |
Как найти центр дуги окружности
Необходимо выполнить следующее: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки A, B, C, D и соединяем их попарно хордами AB и CD.
Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров дает центр данной дуги и соответствующей ей окружности.
Приближенное деление дуги окружности на произвольное число равныx частей можно выполнить при помощи циркуля методом последовательного приближения.
Bau-enginer
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
В данной статье Вы узнаете как разделить окружность на 3-6, 4-8, 5-10 и n частей.
Как разделить окружность на 3 и 6 частей
Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей проводим окружность заданного радиуса и со ответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения вертикальной или горизонтальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6 раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шестиугольник. Соединение точек через однудает равносторонний треугольник, и деление окружности на 3 равные части.
Деление окружности на 3-6 равных частей
Как разделить окружность на 5 и 10 частей
Для того чтобы разделить окружность на 5 и 10 равных частей необходимо построить правильный пятиугольник. Для его построения необходимо выполнить следующее. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «а» в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т . 5) и получают сторону правильного пятиугольника, затем откладывают полученное расстояние по окружности 5 раз до получения правильного пятиугольника. Расстояние «b-0» дает сторону правильного пятиугольник.
Деление окружности на 5-10 равных частей
Как разделить окружность на n — равных частей
Иначе необходимо построить правильный многоугольник с n количеством сторон. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки «1″ окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей, на которые мы делим данную окружность, например 9 . Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Провод им линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через четные (или нечетные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т. к. точки 1, 2,… 9 делят окружность на 9 (N) равных частей.
Деление окружности на n равные части
Деление окружности на произвольное число равных частей можно производить с помощью таблицы хорд, численное выражение которых определяется умножением радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу деления, представленный в таблице.
Таблица хорд (коэффициентов для деления окружности)
| Число частей делений окружности | Коэффициент | Число частей делений окружности | Коэффициент | Число частей делений окружности | Коэффициент |
| 1 | 0,000 | 11 | 0,282 | 21 | 0,149 |
| 2 | 1,000 | 12 | 0,258 | 22 | 0,142 |
| 3 | 0,866 | 13 | 0,239 | 23 | 0,136 |
| 4 | 0,707 | 14 | 0,223 | 24 | 0,130 |
| 5 | 0,588 | 15 | 0,208 | 25 | 0,125 |
| 6 | 0,500 | 16 | 0,195 | 26 | 0,120 |
| 7 | 0,434 | 17 | 0,184 | 27 | 0,116 |
| 8 | 0,383 | 18 | 0,178 | 28 | 0,112 |
| 9 | 0,342 | 19 | 0,165 | 29 | 0,108 |
| 10 | 0,309 | 20 | 0,156 | 30 | 0,104 |
Как найти центр дуги окружности
Необходимо выполнить следующее: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки A, B, C, D и соединяем их попарно хордами AB и CD.
Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров дает центр данной дуги и соответствующей ей окружности.
Приближенное деление дуги окружности на произвольное число равныx частей можно выполнить при помощи циркуля методом последовательного приближения.