Когда производная не существует на графике

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) — максимум

При имеем (1;-1) — минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Когда производная не существует

Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и : и .
Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции.

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2)

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

3. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
Отсюда следует: .
Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной(формула 4).

4. Механический смысл производной

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5

Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

5. Дифференциал и его связь с производной
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции – это произведение производной и приращения аргумента (формула 6).

Геометрический смысл дифференциала ясен из рисунка 2.

Здесь . Из можно записать: , где β – угол наклона касательной АС к оси ОХ. Но если , то . Дифференциал CD равен сумме отрезков BС и BD (приращение функции). Но, если , то и отрезок . Значит, дифференциал отличается от производной на бесконечно малую величину.

6. Основные свойства производных и дифференциалов. Производная сложной функции
6.1 Правила дифференцирования функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Если , то , .
Если и — дифференцируемые функции в точке , то можно записать:

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,
где С – постоянное число
2.
Частные случаи:

3.
Частный случай

4.
Частный случай

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

6.2 Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией: . Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле:

6.3 Вторая производная

Если производная функции дифференцируема в точке , то её производная называется второй производной функции в точке , и обозначается .

6.4 Правило Лопиталя

Пусть при для функций и, дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия. (формулы 7).

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: и . Рассмотрите примеры.

При неопределённостях другого типа: , , , , нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо , либо . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

: пусть ,, тогда данная неопределённость приводится к типу посредством следующего преобразования:

: пусть , , тогда данная неопределённость приводится к типу или с помощью преобразований:

остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если же после применения правила Лопиталя неопределённость типа или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если .

7. Применение производной в исследовании функций
7.1 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной (рисунок 3). Если же функция разрывная в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

7.2 Достаточные признаки монотонности функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

7.3 Теорема Дарбу

Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.Рассмотрите примеры

Следовательно, функция на рисунке 4а возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Точка не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

7.4 Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б).

В точках , (рис.5a) и (рис.5b) производная равна 0. В точках , (рис.5б) производная не существует. Но все они – это точки экстремума.

7.5 Необходимое условие экстремума

Если — точка экстремума функции и производная существует в этой точке, то .

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если же производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция всегда имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции равна 0 при , но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).
С другой стороны, функция , представленная на рис.3, имеет минимум в точке , но в этой точке производной не существует.

7.6 Достаточные условия экстремума

Если производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус, то — точка максимума.
Если производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс, то — точка минимума.

7.7 План исследования функции
Для построения графика функции нужно:

Пример . Исследование функции , построение графика
1) область определения (x – любое действительное число); область значений , так как – многочлен нечётной степени;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (докажите самостоятельно);
3) – непериодическая функция (докажите самостоятельно);
4) график функции пересекается с осью Y в точке , так как .
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: .
Один из его корней очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: . Оно получено делением многочлена на двучлен . Легко проверить, что два других корня: и . Таким образом, нулями функции являются:-2, -1 и 1.

5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.

Теперь мы располагаем полной информацией для построения графика данной функции (рис. 8).

7.8 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Функция называется выпуклой на интервале , если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .
Функция называется вогнутой на интервале , если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .

7.9 Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Пусть функция дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале , тогда: если для любого , то функция является вогнутой на интервале ; если для любого , то функция является выпуклой на интервале .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба существует вторая производная , то .
Пример : Рассмотрим график функции . Эта функция является вогнутой при и выпуклой при .
В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .

Материалы для технологии «Поле знаний» по теме «Производная» предоставлены Шевляк А.Г.

БЕЗ ГРАФИКА как понять, когда производная не существует на пальцах, простым языком на КОНКРЕТНЫХ примерах с цифрами

Думаю, что сначала надо рассмотреть что такое производная. В математике ее определяют как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Т. е. для того чтобы взять производную в некоторой точке x0 нужно найти отношение [f(x)-f(x0)]/[x-x0], когда x расположена как можно ближе к точке x0. Теперь, исходя из этого определения, можно рассмотреть варианты, когда такое отношение не существует.

Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.

Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -1<x<1.>1). Понятно, что в точке x0=1 производная не определена.

Оба этих типа «плохих» функций называются разрывные функции.

Существует и третий тип разрывных функций, у которых производная в некоторой точке не существует. Такие функции похожи на первый тип, но в отличие от них они неопределенны только в одной точке x0, а в ее окрестности будет все в порядке. Тогда говорят, что точка x0 выколота. Примером такой функции будет функция 1/x. Она не имеет производную в окрестности точки x0=0, поскольку и сама функция, и ее производная в этой точке будут равны бесконечности, а значит и не определены в области действительных чисел.

Чтобы рассмотреть четвертый тип «плохих» функций, которые не являются разрывными нужно определить понятие правой и левой производной. Конечно можно и без них, но мне кажется, что так будет нагляднее.

Итак, если для первого и третьего типов мы ничего не можем сделать в точке x0, то для второго типов мы можем определить так называемые правые и левые производные. Для их определения надо чуть-чуть изменить нашу формулу на такую: [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]. Здесь точки x1 и x2 будут приближаться к точке x0 слева (левая производная) или справа (правая производная)

Так вот четвертым типом будут функции, которые непрерывны, но производная слева и производная справа не будут равны друг другу. В точке x0 такие функции имеют излом (угол) . Примером такой функции будет функция модуля, т. е. y=|x|. Она имеет излом в точке x0=0

Кажется, что это все возможные типы функций, у которых не существует производная, хотя мог что-нибудь и пропустить.

Как знать, когда производная не существует — манекены — Бизнес — 2022

Существует три ситуации, когда производная не существует. Производной функции в данной точке является наклон касательной линии в этой точке. Итак, если вы не можете нарисовать касательную линию, нет никакой производной — это случается в случаях 1 и 2 ниже. В случае 3 есть касательная линия, но ее наклон и производная не определены.

Три ситуации показаны в следующем списке.

Если нет ни одной касательной линии и, следовательно, никакой производной ни на одном из трех типов разрыв :

A сменный разрыв — это причудливый термин для отверстия — как отверстия в функциях r и s на приведенном выше рисунке.

Бесконечный разрыв как при x = 3 на функции p на приведенном выше рисунке.

A скачок разрыва как на x = 3 на функции q на приведенном выше рисунке.

Следовательно, преемственность является обязательным условием для дифференцируемости. Однако это не условие достаточное , как показывают следующие два случая. Копай, что логик-говорить. Если нет никакой касательной линии и, следовательно, нет никакой производной в остром

углу для функции. См. Функцию f на приведенном выше рисунке.

вертикальную точку перегиба . В этом случае наклон не определен и, следовательно, производная не существует. См. Функцию g на приведенном выше рисунке.

Производная

Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и : и .
Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции.

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2)

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

3. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
Отсюда следует: .
Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной(формула 4).

4. Механический смысл производной

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5

Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

5. Дифференциал и его связь с производной
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции – это произведение производной и приращения аргумента (формула 6).

Геометрический смысл дифференциала ясен из рисунка 2.

Здесь . Из можно записать: , где β – угол наклона касательной АС к оси ОХ. Но если , то . Дифференциал CD равен сумме отрезков BС и BD (приращение функции). Но, если , то и отрезок . Значит, дифференциал отличается от производной на бесконечно малую величину.

6. Основные свойства производных и дифференциалов. Производная сложной функции
6.1 Правила дифференцирования функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Если , то , .
Если и — дифференцируемые функции в точке , то можно записать:

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,
где С – постоянное число
2.
Частные случаи:

3.
Частный случай

4.
Частный случай

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

6.2 Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией: . Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле:

6.3 Вторая производная

Если производная функции дифференцируема в точке , то её производная называется второй производной функции в точке , и обозначается .

6.4 Правило Лопиталя

Пусть при для функций и, дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия. (формулы 7).

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: и . Рассмотрите примеры.

При неопределённостях другого типа: , , , , нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо , либо . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

: пусть ,, тогда данная неопределённость приводится к типу посредством следующего преобразования:

: пусть , , тогда данная неопределённость приводится к типу или с помощью преобразований:

остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если же после применения правила Лопиталя неопределённость типа или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если .

7. Применение производной в исследовании функций
7.1 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной (рисунок 3). Если же функция разрывная в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

7.2 Достаточные признаки монотонности функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

7.3 Теорема Дарбу

Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.Рассмотрите примеры

Следовательно, функция на рисунке 4а возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Точка не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

7.4 Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б).

В точках , (рис.5a) и (рис.5b) производная равна 0. В точках , (рис.5б) производная не существует. Но все они – это точки экстремума.

7.5 Необходимое условие экстремума

Если — точка экстремума функции и производная существует в этой точке, то .

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если же производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция всегда имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции равна 0 при , но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).
С другой стороны, функция , представленная на рис.3, имеет минимум в точке , но в этой точке производной не существует.

7.6 Достаточные условия экстремума

Если производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус, то — точка максимума.
Если производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс, то — точка минимума.

7.7 План исследования функции
Для построения графика функции нужно:

Пример . Исследование функции , построение графика
1) область определения (x – любое действительное число); область значений , так как – многочлен нечётной степени;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (докажите самостоятельно);
3) – непериодическая функция (докажите самостоятельно);
4) график функции пересекается с осью Y в точке , так как .
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: .
Один из его корней очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: . Оно получено делением многочлена на двучлен . Легко проверить, что два других корня: и . Таким образом, нулями функции являются:-2, -1 и 1.

5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.

Теперь мы располагаем полной информацией для построения графика данной функции (рис. 8).

7.8 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Функция называется выпуклой на интервале , если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .
Функция называется вогнутой на интервале , если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .

7.9 Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Пусть функция дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале , тогда: если для любого , то функция является вогнутой на интервале ; если для любого , то функция является выпуклой на интервале .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба существует вторая производная , то .
Пример : Рассмотрим график функции . Эта функция является вогнутой при и выпуклой при .
В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .

Материалы для технологии «Поле знаний» по теме «Производная» предоставлены Шевляк А.Г.

Производная, основные определения и понятия

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Пусть х – это аргумент функции f ( x ) и ∆ x возьмем малое число, не равное 0 . Значение ∆ x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x + ∆ x .

Когда значение аргумента x 0 переходит к x 0 + ∆ x , тогда и значение функции меняется от f ( x 0 ) до f ( x 0 + ∆ x ) , если имеется условие монотонности функции из отрезка [ x 0 ; x 0 + ∆ x ] . Приращение функции f ( x ) – это разность f ( x 0 + ∆ x ) — f ( x 0 ) = ∆ f ( x ) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.

Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f ( x ) = sin ( x 2 ) , тогда следует зафиксировать точку x 0 = 1 . 6 и приращение аргумента вида ∆ x = 0 . 4 . Тогда получим, что приращение функции при переходе от x 0 = 1 . 6 к x 0 + ∆ x = 1 . 6 + 0 . 4 = 2 будет равно:

∆ f ( x ) = ∆ sin ( x 2 ) = sin ( ( x 0 + ∆ x ) 2 ) — sin ( x 0 2 ) = = sin 2 2 — sin 1 . 6 2 = sin 4 — sin 2 . 56 ≈ — 1 . 306

Так как приращение ∆ f ( x ) отрицательное из отрезка [ 1 . 6 ; 2 ] , то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f ( x ) определена из промежутка ( a ; b ) , тогда x 0 и x 0 + ∆ x считаются точками данного промежутка. Производная функции f ( x ) в точке x 0 — это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆ x → 0 . Данное определение записывается как f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x .

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , если конечная производная в ней существует.

Когда функция вида f ( x ) дифференцируема в каждой точке из промежутка ( a ; b ) , тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка ( a ; b ) может принимать значения функции f ‘ ( x ) , иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f ‘ ( x ) , которая называется производной функции f ( x ) из интервала ( a ; b ) .

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Найти производную функции sin ( 2 x ) в точке x 0 = π 6 .

Решение

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ sin ( 2 x 0 ) ∆ x = lim ∆ x → 0 sin ( 2 ( x 0 + ∆ x ) ) — sin ( 2 x 0 ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin 2 ( x 0 + ∆ x ) — 2 x 0 3 · cos 2 ( x 0 + ∆ x ) + 2 x 0 2 ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 cos ( 2 x 0 + ∆ x ) = = 2 · 1 · cos ( 2 x 0 + 0 ) = 2 cos ( 2 x 0 ) = 2 cos 2 · π 6 = = 2 cos π 3 = 2 · 1 2 = 1

Ответ: ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 1 .

Найти производную функции f ( x ) = 3 x 3 — 1 из промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Решение

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x 0 = x , где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f ‘ ( x ) = 3 x 3 — 1 ‘ = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 3 ( 3 + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = 0 0

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ) ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) ∆ x · ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 2 ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — ( 3 x 3 — 1 ) ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · lim ∆ x → 0 3 x 2 + 3 x ∆ x + ( ∆ x ) 2 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · 3 x 2 + 3 x · 0 + ( 0 ) 2 3 ( x + 0 ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = 9 x 2 2 3 x 3 — 1

Ответ: 3 x 3 — 1 ‘ = 9 x 2 2 3 x 3 — 1 и x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f ( x ) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида D f x : x ∈ [ 1 3 3 ; + ∞ ) , а производная определена на интервале D f x : x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . То есть при дифференцировании функция f ‘ ( x ) — это производная заданной функции f ( x ) из промежутка x ∈ D ( f ( x ) ) D ( f ‘ ( x ) ) .

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.