Делить на ноль — это норма. Часть 1
Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.
Disclaimer
Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».
Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.
В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.
Пролог
Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.
1. Вобще-то уже все поделили до нас!
1.1 Аффинное расширение числовой прямой
Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции 
.
Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.
Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.
Оригинал
Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.
Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.
С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.
С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).
1.2 Проективное расширение числовой прямой
Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.
Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.
После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.
Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.
Математическим языком:
По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.
С геометрической точки зрения выполнено проективное расширение числовой прямой (есть информация на wolfram.com). То есть введена идеализированная точка которая соединяет оба конца вещественной прямой. Так как расширение не аффинное, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).
Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.
Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.
Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.
Математическим языком:
Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.
Аналогичная ситуация при нахождении производных
Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.
Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.
В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.
- с обеих сторон путь (количество элементов, которые нужно пройти) от нуля до бесконечности одинаков;
- алгоритм приближения (формула в виде дроби) одинаков;
- знак минус в алгоритме не влияет на скорость или ускорение приближения к бесконечности.
Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.
Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.
В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.
Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).
Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т.е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.
- Изменилось привычное поведение тождеств. Чтобы ими оперировать, нужно не забывать про новые дополнительные условия.
- Искажено привычное поведение нуля. Мы привыкли рассуждать, если ноль раз взять что-либо, то будет ноль. Однако в данной алгебраической системе произведение нуля на бесконечность не определено. Соответственно алгебраическое выражение с переменными, в котором встречается например такая запись
, не может быть упрощено в одностороннем порядке. - Исчезает возможность привычного сравнения. Сравнение на больше-меньше определено только на части пространства. Например, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
- Полученная алгебраическая структура не поле в терминах общей алгебры. Нарушается дистрибутивный закон (показано выше). Так же не существует обратного элемента для бесконечности (произведение этого элемента и бесконечности должно дать единицу). Последние можно рассматривать как следствие неопределенности деления бесконечности на бесконечность. Но все же следует понимать что это грубое упрощение. Строгое определение обратного элемента не связано с операцией деления.
1.2 Колесо
На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.
Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.
Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».
- Умножение ∞ либо ⊥ на ноль не дает ноль. Это приводит к тому, что
в общем случае. - Для ∞ и ⊥ отсутствуют обратные элементы по обеим бинарным операциям. Это значит, что
по умножению в общем случае. Как следствие, нет возможности ввести бинарную операцию деления покрывающую все пространство. - Симметричная ситуация по сложению,
в общем случае.
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).
В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.
Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством 
.
На этот раз результат намного лучше.
- Все операции хорошо определены и нет возможности «вывалиться за борт».
- Элементарная алгебра является частным случаем колеса. Если мы отбросим надстройки ∞ и ⊥ (то есть снова сможем утверждать что
и 
), то все формулы выродятся в привычные. - По ощущениям все что было “не определено” (Undefined) при проективном расширении было обозначено символом
. Данный объект так же поглощает все с чем столкнется как и “не определено”. Все щели, где появились неопределенности при проективном расширении, были заткнуты данным объектом.
Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.
Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?
Ноль шансов: почему мы не делим на ноль?
С первого класса на уроках математики нам повторяют правило: на ноль делить нельзя. А почему нельзя? И что произойдет, если все-таки попробовать разделить? Давайте разбираться.
Что такое деление?
Прежде чем пытаться делить на ноль, нужно понять, что вообще такое деление и как оно работает. Возьмем для примера число восемь и поделим его на несколько чисел: 8:8 = 1, 8:4 = 2, 8:2 = 4, 8:1 = 8. Можно заметить, что чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается результат от деления. Логично предположить, что, если делитель уменьшить еще сильнее, до нуля, частное вырастет до бесконечности. Но так ли это на самом деле?
Математики знают лишь то, что, если делитель стремится к нулю, частное стремится к бесконечности. Но это вовсе не значит, что результат деления на ноль равен бесконечности.
Давайте введем еще одно понятие — обратные числа. Что это?
Посмотрим на те же примеры с другой стороны. При делении восьми на два получается четыре. Тот же самый результат можно получить, умножив восемь на одну вторую: 8:2 = 4 → 8 × ½ = 4. А чтобы из восьми получить единицу, можно либо разделить восемь на восемь, либо умножить восемь на одну восьмую. Получается, что деление можно заменить умножением — для этого достаточно заменить второе число в примере на «перевернутую» версию себя или на обратное число: 8:8 = 1 → 8 × ⅛ = 1.
Почему у нуля нет обратного числа?
Взаимно обратные числа обладают еще одним важным свойством: их произведение всегда равно одному: 8 × ⅛ = 1; 5 × ⅕ = 1; 2 × ½ = 1. Значит, вместо того, чтобы пытаться разделить какое-то число на ноль, достаточно умножить его же на обратное нулю число. Какое число обратно нулю? Такое, которое при умножении на ноль давало бы единицу: 0 × ? = 1. Но не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то кроме нуля!
Можно ли ввести специальное число, обратное нулю?
В математике так нередко делают — например, нельзя извлечь квадратный корень из -1. Но математики ввели специальное число i = √-1, которое открыло много возможностей работы со сложными числами. Мы могли бы договориться, что знак бесконечность ∞ означает нужное нам обратное нулю число: ∞ = 1/0. Можно ли таким числом пользоваться и совершать операции?
0 × ∞ = 1. Пока все в порядке. Тогда 1+1 = 2 можно представить как (0 × ∞) + (0 × ∞) = 2. Это выражение можно сократить до (0 + 0) × ∞ = 2. Но получившееся выражение 0 × ∞ = 2 противоречит нашим изначальным условиям!
Число, обратное нулю, не работает в привычной нам математике и нарушает все ее правила.
Позволяет ли математика делить сам ноль на ноль?
Если попытаться разделить ноль на ноль, ситуация меняется: в таком случае нужно подобрать число, которое при умножении на ноль дало бы ноль: 0 × ? = 0. Получаем проблему, противоположную предыдущей, ведь на этот раз под интересующее нас условие подходит любое число. А так как однозначный ответ выбрать невозможно, говорят, что результат деления нуля на ноль не определен .
Получается, что разделить ноль на ноль нам мешает отсутствие однозначного результата. Любое другое число разделить на ноль не получается из-за самого определения деления как действия, обратного умножению: нет таких чисел, которые при умножении на ноль давали бы не ноль. А значит, и деление на ноль в обычной математике просто не имеет смысла.
Деление натуральных чисел и его свойства, правила и примеры.
Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?
Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.
Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.
Рассмотрим подробно пример 12:6=2:
Число 12 называется делимым. Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем. Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным. Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.
Так что же такое деление?
Деление – это действие, обратное умножению. По произведению одного множителя мы можем найти другой множитель.
Деление проверяется умножением, то есть:
a:b=c, проверка с⋅b=a
18:9=2, проверка 2⋅9=18
Неизвестный множитель.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?
Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.
x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный множитель нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.
Ответ: 10 упаковок шаров.
Неизвестное делимое.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?
Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.
Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18
Ответ: 18 карандашей.
Неизвестный делитель.
Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?
Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3
Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.
Свойства деления натурального числа на единицу.
Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.
7:1=7
a:1=a
Свойства деления натурального числа на нуль.
Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.
Свойства деления нуля на натуральное число.
0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0:a=0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.
Свойство деления одинаковых чисел.
3:3=1
a:a=1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.
Вопросы по теме “Деление”:
В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.
Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.
Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.
Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41
Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9
а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48
б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6
Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3
Почему можно делить на ноль
Начиная со второго или третьего класса школы нас учат, что делить на ноль нельзя.
Это очень строгое правило!
Вот умножать на 0 можно. И сам ноль делить можно. Сколько душе угодно. Хоть бесконечное количество раз. А делить на ноль — ну вот ни в коем случае!
А теперь этой ереси еще и роботов учат. Даже простенький калькулятор при выполнении такого действия выдает ответ: «Деление на ноль невозможно». А в exel, если формула набрана так, что получается деление на 0, то капслоком программа пишет в ячейке: «ДЕЛ/0!«. Ну типа это у вас проблема, а не у меня, и таким образом умывает руки (хотя что именно сейчас умывают себе программы, я, честно говоря, не знаю).
К компьютерным программам вообще и к exel в частности я не имею никаких претензий. И даже на простенький калькулятор, учащий меня жизни, я не обижаюсь. Потому как написаны эти программы человеком (группой людей) и для удобства человека (другой группы людей). Но
С моей точки зрения в делении на ноль ничего страшного нет, просто в результате получается бесконечность и в математике даже есть соответствующий символ — ∞.
То есть формально мы можем любое рациональное число r разделить на 0 и в итоге получим:
r/0 = ∞ (687.1)
Всего и делов-то.
Сейчас не будем останавливаться на тонкостях определения рационального числа r, ноля и бесконечности, просто отметим тот факт, что делить на ноль вполне можно.
Из-за чего же так ругаются компьютерные программы и еще не вымершие учители математики при делении на ноль?
А тут все просто:
Деление на ноль вносит бесконечно большую неопределенность в решение задачи, точнее предполагает бесконечно большое количество правильных ответов.
1. Когда число r отрицательное и мы его делим на 0 то в итоге:
— r/0 = ∞ или — r/0 = — ∞? (687.2)
Ну то есть формально, если есть положительная бесконечность, то должна быть и отрицательная бесконечность. Но с другой стороны, отрицательная бесконечность — это и есть ноль? И тогда — r/0 = — 0 или — r/0 = 0. Или нет? В общем непонятно.
2. Когда мы делим 0/0, то все еще сложнее
2.1. Если просто сократить одинаковые числитель и знаменателль, то:
0/0 = 1 (687.3.1)
2.2. Если вспомнить правило, что при делении ноля будет ноль, то:
0/0 = 0 (687.3.2)
2.3. А если напирать на бесконечность, то:
0/0 = ∞ (687.3.3)
Но проблема даже не в этом. Ладно бы было только три варианта ответа. Вон в квадратных уравнениях 2 корня, т.е. два варианта ответа и ничего, никого это не напрягает.
2.4. А тут дело в том, что при делении 0/0 теоретически возможен любой вариант ответа и любой из них будет правильным!
где r — любое возможное число, включая 0, 1, ∞.
Ну и что, скажете вы, вон в тригонометрии тоже возможно бесконечно большое количество вариантов ответа, потому как угол теоретически может иметь любое значение?
Формально все так, только в данном случае мы имеем дело с разными бесконечностями. В тригонометрии количество вариантов решений на один круг (360 градусов) ограничено, т.е. четко детерминировано и является положительным натуральным числом n и как правило n < 100. То есть получается, что при решении тригонометрических уравнений количество возможных ответов:
А вот при делении 0/0:
Если нет, то посмотрим на соотношение количеств:
Т.е. формально по методу нынешних математиков решением уравнения (687.3.8) будет ноль, потому что отношение например 100 к бесконечности — ноль да и дело с концом. Но как мы видим, это не совсем так.
Но самое интересное это то, что к такому положению вещей привели сами математики. Сначала допускающие, что 4·0 = 0 = 0/4, а потом зависающие при делении на 0. Хотя даже невооруженным глазом видно, что в уравнении:
50·0 = 0 = 0/50 (687.4.1)
что-то не так с логикой. Нет, ну поначалу-то все хорошо. Математики говорят, что 0 — это настолько малая величина, что на сколько ее не раздели или умножь, все равно в итоге будет ноль. Не стоит заморачиваться.
Но вот пример из жизни: у вас в кармане нет денег, пустота, 0. Вы полезли в карман и выяснили, что денег у вас нет (1 операция), там 0. Но вы человек забывчивый, и залезали к себе в карман 50 раз (50 операций). С точки зрения конечного результата ничего не изменилось (ну как минимум потому, что деньги зарабатываются другими способами), у вас как был 0, так и остался. Но с точки зрения выполненных операций 1 операция и 50 операций — это очень большая разница.
Идем дальше. Если мы разделим все члены уравнения (687.4.1) на 0, то получим:
50·0/0 = 0/0 = 0/(50·0) (687.4.2)
50 = 1 = 1/50 (687.4.3) (по правилу сокращения одинаковых числителя и знаменателя)
0 = 0 = 0 (687.4.4) (по правилу деления ноля)
∞ = ∞ = ∞ (687.4.5) (по правилу, вытекающему из общей логики)
И если с уравнениями (687.4.4) и (687.4.5) все более-менее нормально, равенство хотя бы формально соблюдается, то уравнение (687.4.3) — это явно не уравнение, а неравенство. Потому что в обычном мире:
50 ≠ 1 ≠ 1/50 (687.4.3.2)
А если быть более точным, то:
50 > 1 > 1/50 (687.4.3.3)
На приведенных выше примерах мы наглядно увидели, что при столь легкомысленном отношении к умножению на ноль и к делению ноля и возникает проблема деления на ноль.
Ну типа, сначала мы от всех этих бесконечно малых величин вроде 50·0 или 0/50 избавились, чтобы упростить расчет. А когда приходит время делить на 0, то никто уже и не помнит, чего там было в самом начале, в итоге, когда мы любое рациональное число делим на ноль (уравнение (687.1)), то:
r/0 = 0; r/0 = r; r/0 = k; r/0 = ∞ (687.5)
Где k — вот вообще какое угодно число, не равное r. И все эти ответы могут быть правильными! Вот поэтому математики и роботы ругаются при делении на ноль.
На мой взгляд, решить эту проблему достаточно просто, нужно только более четко определить понятия 0 и ∞.
Например, 0 — это не просто 0, а десятичная периодическая дробь, но в конце — единичка, и записывается эта дробь так:
0 = 0.(0)1 (687.6)
Ну то есть в этой дроби получается бесконечное количество нолей после запятой, а потому значение последней цифры уже вроде как и не имеет принципиального значения, ноль это или единица, для стороннего наблюдателя. А вот для расчетов имеет очень большое значение. Потому что вот эта последняя единичка и не позволяет так вольно обращаться с нулем при расчетах.
С бесконечностью примерно такая же ситуация, ее можно выразить как:
∞ = 1/0.(0)1 (687.7)
И если бы разного рода калькуляторы и расчетные программы вместо менторского утверджения типа: «Деление на ноль невозможно» просто выдавали результат: 1/0.(0)1, то это было бы намного лучше. Ну вот хотя бы с чисто психологической точки зрения.
А то детский сад получается, честное слово! «Нельзя!, Невозможно!» Да вы дайте человеку результат, а уж он пусть делает с этим результатом, что захочет.
Ну и один пример расчета из реальной жизни. Так сказать, прикладная математика.
При расчете стержней ферм часто используется метод вырезания узлов. И если у фермы нет консолей, она опирается концами на опоры, то при рассмотрении приопорных стержней фермы и отсутствии распределенной нагрузки на верхний и нижний пояса фермы возникает следующая ситуация:
В рассматриваемом узле действует только одна внешняя сила — опорная реакция А (или В). Исходя из условий равновесия системы сначала определяются сжимающие напряжения в наклонном стержне верхнего пояса. Значение этих напряжений зависит от угла наклона стержня верхнего пояса по отношению к стержню нижнего пояса. Т.е.
Nв.с. = А/sina
а затем определяются растягивающие напряжения в горизонтальном стержне нижнего пояса:
Когда нейтральные оси стержней параллельны, более того совпадают в горизонтальной плоскости, то sina = 0, а cosa = 1. А значит и напряжения в этих стержнях равны бесконечности. С одной стороны это очень странно, ну вот как может вполне определенная сила А, приложенная вертикально, вызвать такой беспредел в горизонтальных стержнях?
А оказывается может. Вот просто потому, что она не может одновременно растягивать один стержень и сжимать другой при нулевом угле наклона между стержнями. Тут не только компьютер, тут и человек надолго зависнет, не говоря уже о простой силе.
Вообще-то ответ тут достаточно прост, если угол между стержнями верхнего и нижнего пояса равен 0, то это — не ферма и рассчитывать ее нужно по другой методике, когда в обоих стержнях будет растяжение в нижней зоне сечения и сжатие в верхней зоне сечения.
Но это уже проблема человека, а не компьютера.
И да, тут можно было бы еще порассуждать на тему абсолютного ноля и абсолютной бесконечности. Ну типа 0 — это просто 0, а вот 0, умноженный на 0, это уже ноль второго порядка, ну или 0 2 . Соответственно абсолютный ноль — это 0 ∞ . С бесконечностью такая же ситуация, т.е. бесконечность — это просто бесконечность (хотя для меня бесконечность — это совсем не просто, более того, я до сих пор эту самую бесконечность осмыслить не могу), а бесконечность, умноженная на бесконечность это уже бесконечность второго порядка. Соотвественно абсолютная бесконечность это бесконечность в бесконечной степени. А чего стесняться? Ведь это для нас ∞ = ∞ ∞ , а для бесконечности все может быть далеко не так.
А еще у Вас есть уникальная возможность помочь автору материально. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 0121 5641
Кошелек webmoney: R158114101090
Или: Z166164591614
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).