Как определить знак производной на промежутке тригонометрия

Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции

Сегодня у нас заключительный урок на производные из ЕГЭ по математике. И как всегда по традиции последняя задача будет немножко нестандартной. Итак:

Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/3]:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Общая схема вычисления наибольшего значения функции

Перед тем, как мы начнем решать эту задачу, хотел бы напомнить вам общий универсальный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он состоит из 4 шагов:

1. Первый шаг состоит в том, что нужно найти производную нашей функции: y ‘ = ?

2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю в результате решения у нас получится один или несколько корней: x <1>, x <2>, .

3. Затем берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об отрезке [0; π/3]. Другими словами, мы вычеркиваем все корни, которые не лежат на интересующем нас отрезке: x <1>, x <2>∈ [0; π/3].

4. Наконец, подставляем концы отрезка, а также оставшиеся корни в нашей исходное уравнение. Другими словами, мы находим y (0); y (π/3); y ( x ₁); y ( x ₂), т. е. значение функции в нулях производной.

Это стандартная схема, и мы применяли ее уже много раз.

Экстремумы функции на отрезке: пояснение

Естественно, при взгляде на этот алгоритм у многих учеников сразу возникают вопросы. Первый и самый распространенный: «Почему это мы подставляем в нашу функцию концы отрезка? Неужели недостаточно просто посчитать функцию в нулях производной?»

К сожалению, недостаточно. Взгляните вот на такую функцию:

На этом рисунке видно, что наибольшее значение функции достигается именно в правом верхнем конце отрезка — в точке b , а никак не в точке x ₁, которая является точкой максимума и, соответственно, возникает при решении уравнения y ‘ = 0. То же самое и с наименьшим значением — оно достигается в точке a , но ни в коем случае не в точке x ₂, которая также возникнет при решении y ‘ = 0.

Локальный и глобальный экстремум функции: в чем разница?

Вспомните определение производной и точки экстремума: в данном случае точка x ₁ будет являться точкой локального максимума, т. е. на некотором интервале, достаточно небольшом, именно на этой точке будет приниматься наибольшее значение. То же самое касается и точки x ₂. На некотором небольшом интервале, т. е. на определенном отступе от этой точки вправо или влево функция действительно будет принимать наименьшее значение именно в точке x ₂.

Однако на глобальном отрезке никто этого не гарантировал. И часто случается так, что настоящее наибольшее или наименьшее значение функции достигается именно на концах рассматриваемого отрезка. Особенно это качается задач B15, которые любят давать на пробниках и разных демонстрационных ЕГЭ по математике.

Наибольшее или наименьшее значение функции совсем не обязательно достигается в нулях производной. Очень часто такие значения возникают на концах отрезка, где производная отлична от нуля.

В общем, чтобы подстраховаться и не допустить обидных ошибок на настоящем экзамене, настоятельно рекомендую вам считать значения функции не только в нулях производной, но и на концах отрезка, т. е. в нашем случае в точках х = 0 и х = π/3.

Решение задачи B15 с тригонометрией

С теорией разобрались, давайте решать нашу задачу. Для начала нам нужно посчитать производную функции:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Производная тригонометрической функции

y ‘ = (2sin 2 x + cos 4 x )’ = (2sin 2 x )’ + (cos 4 x )’

И вот тут возникает проблема в данной задаче: дело в том, что внутри синуса и косинуса стоит не переменная х, а выражение 2х и даже 4х.

Как поступать с такими конструкциями? Конечно, можно воспользоваться производной сложной функции, посчитать и в итоге получить правильное значение, но давайте не будем лезть в дебри, а вспомним замечательную формулу, которая рассматривалась не нескольких уроках, посвященным подготовке к ЕГЭ по математике. Формула следующая:

x → kx + b
( f ( x ))’ → k ( f ‘ ( kx + b ))

Другими словами, замена переменной функции не проходит для всей функции бесследно. В случае, если вместо х мы подставляем линейную функцию, то перед новой производной появляется коэффициент.

Линейная замена переменной приводит лишь к одному дополнительному множителю в производной. Никаких сложных формул при линейной замене применять не нужно!

Это частный случай производной сложной функции. Однако сложные функции в реальном ЕГЭ не встречаются. Поэтому вам достаточно будет знать упрощенную конструкцию, которую мы записали. Ее очень легко применять.

Производная функции при линейной замене

Давайте посчитаем производную sin 2 x . Для этого вспомним такое:

Тогда производная от sin 2 x будет выглядеть так:

(sin 2 x )’ = 2 · cos 2 x

Все, производная 2sin 2 x найдена. Аналогично давайте разберемся и с производной cos 4 x :

(cos 4 x )’ = 4 · (−sin 4 x ) = −4 sin 4 x

А теперь собираем это все в одну конструкцию и получаем:

y ‘ = 4 cos 2 x − 4 sin 4 x

Считаем нули производной — точки экстремума

Итак, первый шаг нашего алгоритма выполнен, мы нашли производную. Теперь приравниваем эту производную к нулю и решаем полученное уравнение:

2 cos 2 x − 4 sin 4 x = 0

Перед нами обычное тригонометрическое уравнение и все, что нам требуется сделать в нем — это свести все тригонометрические функции к одному и тому же аргументу. Как правило, в таких задачах следует стремиться к наименьшему аргументу. Поэтому вспомним формулу двойного угла:

sin 2λ = 2 sin λ cos λ

В нашем случае это будет выглядеть так:

sin 4 x = sin 2 · 2 x = 2 · sin 2 x · cos 2 x

Обратите внимание! Мы пишем именно 2х, потому что в исходной формуле, которую мы разложили, вместо переменной λ стоит именно 2х.

Итак, с синусом двойного угла мы разобрались, перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Получим:

4 cos 2 x − 8 sin 2 x cos 2 x = 0
4 cos 2 x (1 − 2 sin 2 x · 1) = 0

Итак, мы разложили наше уравнение на множители. Теперь вспоминаем: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Запишем:

cos 2 x = 0
1 − 2 sin 2 x = 0

Первое уравнение решается элементарно:

2 x = π/2 + π n , n ∈ Z

А со вторым уравнением будет немного посложнее:

sin 2 x = 1/2
2 x = π/6 + 2π n
2 x = π − π/6 + 2π n

Напомню, что решение простейших тригонометрических уравнений, которые содержат синус, лучше записывать как совокупность из двух наборов корней.

Однако на этом решение уравнения еще не закончилось. Взгляните, мы нашли только 2х, а нужно найти просто х. Находим:

x = π/3 + π n /2;
x = π/12 + πn;
x = 5π/12 + π n .

Производная тригонометрической функции: отбор корней на отрезке

Уравнение решено. Переходим к третьему шагу: необходимо отобрать корны, которые лежат на отрезке [0; π/3].

Для этого нам сначала потребуется начертить радар, а потом отметить на мне все три набора корней. На этом же отрезке отмечаем концы отрезка. Получим:

На самом деле из всего этого многообразия нас интересуют лишь две точки: π/4 и π/12. Все, третий шаг выполнен. Мы отобрали корни на отрезке.

Вычисление наибольшего значения функции

А теперь возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, что нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке. Т. е. нужно взять функцию

y = 2sin 2 x + cos 4 x

И подставить в нее следующие числа:

1. Оба конца нашего отрезка — числа 0 и π/3
2. А также два корня производной, которую мы нашли: π/4 и π/12

Затем из полученных четырех значений функции надо выбрать наибольшее.

Давайте решать. В первую очередь предлагаю подставить корни нашей производной, т. е. числа π/4 и π/12. Получим:

y (π/4) = 2 · sin 2 · π/4 + cos 4 · π/4 = 2 · sin π/2 + cos π = 2 · 1 − 1 = 1

Подставляем второе число — x = π/12:

y (π/12) = 2 · sin 2 · π/12 + cos 4 · π/12 = 2 · sin π/6 + cos π/3 = 2 · 1/2 + 1/2 = 1,5

Все, с корнями из производной мы разобрались, теперь считаем значение функции на концах отрезка:

y (0) = 2 · sin 0 + cos 0 = 2 · 0 + 1 = 1

Вычисление сложных значений тригонометрической функции

Теперь подставляем правый конец отрезка:

y (π/3) = 2 · sin 2 · π/3 + cos 4 · π/3 = 2 · sin 2π/3 + cos 4π/3

Оба аргумента и в синусе, и в косинусе являются нестандартными значениями (их нет в классической таблице значений тригонометрических функций), поэтому давайте отметим их на тригонометрическом круге:

С помощью полученных данных вычисляем значение функции:

Это иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. Следовательно, оно не является ответом к задаче.

Итого нам на выбор осталось три числа: y = 1; y = 1,5; y = 1. Требуется найти наибольшее значение. Следовательно, ответом будет являться y = 1,5. Все, задача решена.

Ключевые моменты в задачах B15 на производную функции

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых факта в решении этой задачи. В первую очередь, речь идет о производной сложной функции. В реальных задачах из ЕГЭ по математике встречается лишь упрощенная версия формулы, которую мы записали в самом начале решения задачи.

Итак, запомните: если в табличной производной заменить переменную х на линейное выражение kx + b , то и в самой производной нужно везде вместо х подставить выражение kx + b . Кроме того, перед самой производной нужно добавить множитель k — тот саамый, который стоял перед х во время замены.

Это универсальное правило, и оно работает всегда. Давайте посмотрим. Например, у нас есть следующая функция:

Возьмем большую степень, чтобы у вас не возникало соблазна раскрывать ее по формулам сокращенного умножения. А теперь мы хотим посчитать производную:

Как это сделать? Очень просто. Вспоминаем: производная функции y = x 101 является табличной и легко считается:

Теперь, если вместо переменной х мы хотим подставить выражение kx + b , например, 5х + 7, то получим, что производная такой функции будет равна:

y ‘ = 101 · (5 x + 7) 101 · 5

Последний множитель «5» появился из-за того, что вместо переменной х мы подставили линейную функцию 5х + 7, т. е. выражение, которое при х содержит множитель 5. Если бы перед их стоял коэффициент k = 10, мы умножили бы производную на 10.

При этом второе слагаемое — число b = 7 — никак не влияет на результат. Т.е. на итоговую производную влияет только коэффициент при х. Запомните это.

Особенности записи корней тригонометрического уравнения

Второй важный момент касается отбора корней и решения тригонометрических уравнений, а конкретно — я бы хотел поговорить про решение тригонометрических уравнений, содержащих синус.

Как обычно нас учат записывать решение таких уравнений? Еще в школьных учебниках можно увидеть формулу:

sin x = a → x = (−1) n · arcsin a + π n , n ∈ Z

Естественно, многие ученики спросят: почему мы не используем эту формулу? Зачем разбивать эту формулу на какую-то совокупность, что-то там считать, усложняя себе задачу?

На самом деле такая запись имеет одно единственное преимущество — краткость. Во всем остальном работать с этой записью — сплошное мучение:

1. Непонятно, что делать с множителем (−1) n . Как отмечать постоянно гуляющее то в плюс, то в минус число на тригонометрическом круге?
2. Если вы захотите отбирать корни не с помощью тригонометрического круга, а с помощью двойного неравенства, опять же возникает проблема, потому что слагаемое (−1) n · arcsin a нужно будет вычитать из обеих частей неравенства. Затем полученную конструкцию нужно будет разделить на π, и вот тут возникает проблема: а что делать с множителем (−1) n ? Он снова будет мешать нам и служить источником многочисленных ошибок для большинства учеников.

Чтобы избежать этих многочисленных проблем, просто записывайте решение синуса в виде совокупности из двух уравнений, так, как мы и сделали сегодня при решении нашей задачи.

Вот и все замечания. Я специально детально рассказывал каждый шаг решения — настолько детально, что сам допустил ошибку при вычислении производной. Но ничего страшного, мы заметили ошибку вовремя, и поэтому итоговый ответ и все выкладки получись правильными.:)

Желаю вам удачи при решении сложных задач на ЕГЭ по математике, тренируйтесь в решении задач, смотрите видеоуроки и сдавайте ЕГЭ на «отлично». А у меня на этом все.

Исследование функции с помощью производной

В ЕГЭ по математике есть задание на исследование функции при помощи производной. Исследовать функцию — значит, не строя ее график, найти, где она принимает наибольшие и наименьшие значения, где она возрастает, а где убывает. Когда перед глазами график функции, это все легко увидеть. Посмотрите на Рис.1:

Все «холмы» будут наибольшими значениями функции, еще их называют максимумами (точки \(A, \; B, \; C\)), а все «впадины» будут наименьшими значениями функции, их называют минимумами (точки \(M, \; N, \; K\)).

А на промежутках графика от точки \(A\) до точки \(M\), от \(B\) до \(N\) и от \(C\) до \(K\) функция убывает (участки показаны синим цветом). На промежутках: участок до точки \(A\), от \(M\) до \(B\), от \(N\) до \(C\) и участок после точки \(K\), функция возрастает (участки показаны зеленым цветом).

Все вышеперечисленные факты видны из графика функции. А что, если у вас нет графика, а есть только уравнение самой функции? Тогда определить все это поможет производная, график функции нам не понадобится.

Вспомните, как мы вводили определение производной. Производная — это скорость изменения функции, на сколько меняется значение функции на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\): $$f^=\frac<\Delta f><\Delta x>=\frac <\Delta x>\quad при \quad x \to 0;$$ Если функция растет, то значение функции в следующей точке будет больше, чем в предыдущей (\(f_B-f_A>0\)), а значит производная должна быть положительной. При этом, чем больше выросло значение функции, тем больше будет значение производной.

Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.

Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:

$$f^(x)>0 \leftrightarrow f(x) \Uparrow ;$$ $$f^(x)

И прямо как в методе интервалов в неравенствах расставим знаки производной на числовой прямой. Чтобы определить знак производной, берем любое значение \(x\) из выбранного промежутка и подставляем в производную (*). Например, из самого правого промежутка возьмем \(x=8\), подставляем в (*): $$\frac<(x-7)(x+7)>=\frac<(8-7)(8+7)><8^2>>0;$$ Видим, что производная при \(x=8\) будет положительна, ставим знак \(+\) на нашей числовой прямой. Аналогичным образом расставляем знаки для всех промежутков. Еще раз повторю, действия полностью аналогичны тому, что вы делали, когда учились решать неравенства методом интервалов.

Там, где стоят плюсы, производная положительна, а значит функция на этих промежутках возрастает. Там, где стоят минусы, производная отрицательна, а значит функция убывает. Покажем это при помощи наклонных стрелочек вверх (возрастающая функция) и вниз (убывающая функция) под числовой прямой.

Теперь не составит труда определить, какая именно точка будет минимумом, а какая максимумом. Если функция перед точкой \(x=-7\) сначала растет (мы как-бы поднимаемся в гору), а потом, сразу после точки \(x=-7\), убывает (мы спускаемся с горы), то в этой точке будет максимум (вершина горы).

С точкой \(x=7\) все наоборот: сначала функция убывает (спускаемся с горы), а потом возрастает (поднимаемся в гору). Значит \(x=7\) будет точкой минимума (яма).

Мы исследовали функцию \(y=\frac<49>+x+11\). Теперь мы знаем, что:
На промежутке \(x \in (-\infty;-7)\) функция возрастает;
На промежутке \(x \in (-7;0) \cup (0;7)\) функция убывает;
На промежутке \(x \in (7;+\infty)\) функция опять возрастает;
Точка \(x=-7\) является максимумом функции, а точка \(x=7\) будет минимумом.

Может возникнуть вопрос: «А как же точка \(x=0\)?» Дело в том, что точка \(x=0\) она из знаменателя нашей функции, то есть она выколотая (функция не существует в этой точке). Поэтому на нее не обращаем внимания. В таких точках обычно возникают асимптоты, об этом вы узнаете в более продвинутом курсе. Для ЕГЭ по математике это не понадобится.

Обратите внимание, что мы исследовали функцию при помощи производной без построения графика. То есть мы не знаем, как выглядит график данной функции. Но и без этого смогли сделать очень важные выводы, и теперь имеем представление, как он должен примерно выглядеть: где возрастает, где убывает, где точки экстремума. Это очень помогает, когда функции сложные и построить их графики затруднительно.

Рассмотрим еще один пример, в котором найдем наибольшее и наименьшее значение функции. Обычно наибольшие или наименьшие значения функции просят найти на каком-нибудь промежутке:

Пример 18
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(y=11+48x-x^3\) на отрезке \([-5;10]\).

Находим производную: $$y^=(11+48x-x^3)^=48-3x^2;$$ Приравниваем к нулю и раскладываем на множители: $$48-3x^2=0;$$ $$3(16-x^2)=0;$$ $$3(4-x)(4+x)=0;$$ Отметим корни уравнения на числовой прямой:

Расставляем знаки производной, как в методе интервалов, и отмечаем промежутки возрастания и убывания при помощи стрелочек (там где производная положительна, функция возрастает, там где отрицательна — убывает):

Из рисунка видим, что до \(x=-4\) производная была отрицательна, а значит функция убывает, после точки \(x=-4\) производная положительна, значит функция возрастает. \(x=-4\) будет точкой минимума.

До точки \(x=4\) производная положительна, а сразу после — отрицательна. Значит функция сначала возрастала, потом убывала. \(x=4\) будет точкой максимума.

Точки экстремума мы нашли, но в условии задачи нас просят найти наибольшие и наименьшие значения функции. Для этого подставим найденные точки экстремума в исходную функцию. Не в производную, а в саму функцию, которая написана в условии! $$y(-4)=11+48x-x^3=11+48*(-4)-(-4)^3=11-192+64=-117;$$ $$y(4)=11+48x-x^3=11+48*4-4^3=11+192-64=139;$$ Кроме этого, необходимо проверить значения функции в точках на границах данного в условии отрезка \([-5;10]\): $$y(-5)=11+48x-x^3=11+48*(-5)-(-5)^3=11-240+125=-104;$$ $$y(10)=11+48x-x^3=11+48*10-10^3=11+480-1000=-509;$$ Среди найденных значений выбираем наибольшее значение функции на промежутке \(x\in[-5;10]\): $$y(4)=139;$$ И наименьшее: $$y(10)=-509;$$ Как видите, наибольшее значение будет в точке максимума \(x=4\), а вот наименьшее значение будет не в точке минимума \(x=-4\), а в правой границе отрезка: в точке \(x=10\)! Поэтому очень важно при нахождении наибольших или наименьших значений всегда проверять значение функции на конце отрезка.

Давайте разберемся, как такое может быть. Почему минимальное значение у нас получилось не в точке минимума, а в границе отрезка.

Чтобы разобраться, нарисуем схематичный график нашей исходной функции. Рисовать будем не по точкам, как вы привыкли, а нарисуем примерно, используя информацию, которую мы выяснили при помощи производной:
на отрезке \(x \in [-5;-4)\) функция убывает;
точка \(x=-4\) будет минимумом со значением \(y(-4)=-117\);
на отрезке \(x \in (-4;4)\) функция возрастает до точки максимума \(x=4\) со значением \(y(4)=139\);
и затем на отрезке \(x \in (4;10)\) функция убывает до значения \(y(10)=-509\).

Как мы уже обсуждали, в точках, где производная равна нулю, будут локальные минимумы и максимумы. Это значит, что в некоторой окрестности точки экстремума (и слева, и справа от нее), функция будет принимать наибольшее или наименьшее значение, только в окрестности этой точки. И совсем необязательно это будет наибольшее или наименьшее значение всей функций. Что мы и видим на схематичном графике на рисунке 10: наименьшее значение будет в границе отрезка \(x=10\), а не в точке минимума.

Алгоритм исследования функции при помощи производной

• Находим производную от функции;
• Приравниваем производную функции к нулю. Находим корни получившегося уравнения, и, если возможно, раскладываем на множители;
• Рисуем числовую прямую, на ней отмечаем найденные корни;
• Расставляем \((+)\) над теми промежутками, где производная положительна, и \((-)\) там, где производная отрицательна. Аналогично методу интервалов в неравенствах;
• Там где производная положительная, функция возрастает, а там, где отрицательная — убывает, отмечаем промежутки возрастания и убывания при помощи наклонных стрелочек вверх и вниз;
• Точки на числовой прямой, в которых производная существует, будут экстремумами функции;
• Если перед точкой экстремума функция возрастала, а после убывала, то эта точка будет максимумом функции, а если наоборот, то минимумом. Если в условии задачи требовалось найти именно ТОЧКИ минимума и максимума, то на этом решение закончено.
• Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции, необходимо подставить концы данного отрезка, на котором исследуется функция, и найденные точки минимума и максимума в исходную функцию, и выбрать самое большое или самое маленькое значение соответственно.

Основные виды заданий на производную в ЕГЭ

Разберем задания из ЕГЭ по математике с самыми часто встречающимися функциями.

Пример 19
Найдите точку максимума функции \(y=-\frac\).

Первым делом находим производную от функции. Здесь нам понадобится формула производной от частного двух функций \((\frac)^=\frac<(f(x))^*g(x)-f(x)*(g(x))^><(g(x))^2>:\) $$y^=(-\frac)^=-\frac*(x^2+441)-x*(x^2+441)^><(x^2+441)^2>=$$ $$=-\frac<1*(x^2+441)-x*2x><(x^2+441)^2>=-\frac<(x^2+441)^2>=-\frac<-x^2+441><(x^2+441)^2>=$$ $$=\frac<(x^2+441)^2>=\frac<(x-21)(x+21)><(x^2+441)^2>;$$ Приравниваем к нулю: $$\frac<(x-21)(x+21)><(x^2+441)^2>=0;$$ Корнями получившегося уравнения будут \(x=\pm21\). Знаменатель будет всегда положительный. Отметим корни на числовой прямой, определим знаки производной и стрелочками покажем промежутки возрастания и убывания самой функции:

Точка \(x=-21\) будет точкой максимума, а точка \(x=21\) — точкой минимума. В задании требовалось найти только точку максимума, можем записать ответ.

Ответ: Точка максимума \(x=-21\).

Пример 20
Найдите наименьшее значение функции \(y=3x—ln(x+3)^3\) на интервале \([-2,5;0].\)

Ищем производную, но перед этим вынесем степень из-под логарифма (свойства логарифма): $$y^=(3x-ln(x+3)^3)^=(3x-3*ln(x+3))^=3-3*\frac<1>=\frac<3x+9-3>=\frac<3x+6>;$$ Приравниваем производную к нулю и находим корни на заданном отрезке: $$\frac<3x+6>=0;$$ $$x=-2;$$ На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

В точке \(x=-2\) будет минимум функции. Точка \(x=-3\) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.

Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка \(x\in[-2,5;0]\): $$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$ $$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$ $$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$

Обратите внимание, что значение функции в точках \((-2,5)\) и \((0)\) получились «плохие»: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.

Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке \([-2,5;-2)\) функция убывает, а на промежутке \((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.

Пример 21
Найдите наименьшее значение функции \(y=x*\sqrt-9x+25\) на интервале \([1;50].\)

Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения \((f(x)*g(x))^=(f(x))^*g(x)+f(x)*(g(x))^:\) $$y^=(x*\sqrt-9x+25)^=(x\sqrt)^-(9x)^+25^=x^*\sqrt+x*(\sqrt)^-9=$$ $$=1*\sqrt+x*\frac<1><2\sqrt>-9=\sqrt+\frac<\sqrt*\sqrt><2\sqrt>-9=\sqrt+\frac<1><2>*\sqrt-9=\frac<3><2>*\sqrt-9;$$ Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени: $$\sqrt=x^<\frac<1><2>>;$$ $$y^=(x*\sqrt-9x+25)^=(x*x^<\frac<1><2>>-9x+25)^=(x^<2>-9x+25)^=\frac<3>[2>*x^<\frac<1><2>>-9=\frac<3><2>*\sqrt-9;$$ Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале: $$\frac<3><2>*\sqrt-9=0;$$ $$\sqrt=9*\frac<2><3>;$$ $$\sqrt=6;$$ $$x=36;$$ На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

Тригонометрическая функция (макс и мин)

Тригонометрическая функция. Продолжаем рассматривать задачи связанные с нахождением точек максимума (минимума). Советую повторить теорию необходимую для решения задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале и на нахождение точек максимума (минимума) функции. В этой статье разберём две задачи в этой теме, рассмотрим тригонометрические функции. Задачи с логарифмами уже были нами рассмотрены ранее .

Ещё раз запишем алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни разбивают числовую ось на интервалы, отмечаем их.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляем произвольные значения из интервалов в производную).

77492. Найдите точку максимума функции y = (2x –3) cos x – 2sin x + 5

принадлежащую промежутку (0;П/2).

Найдём производную функции:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. Следовательно:

Решаем уравнение – sin x = 0:

В условии дан промежуток (0;П/2). Ему не принадлежит ни один из полученных корней. *Обратите внимание, что указанные границы исключены (скобки круглые).

Решаем уравнение: 2х – 3 = 0, получим х = 1,5.

Запишем данный промежуток в радианах, получим: (0;1,57), так как

Следовательно полученное значение принадлежит промежутку (0;П/2):

Конечно, нам интуитивно понятно, что полученная точка это и есть точка максимума, и казалось бы в дальнейших вычислениях и рассуждениях нет необходимости. Но любая задача данного типа должна быть решена до конца по указанному алгоритму. Это важно!

Полученное значение х разбивает данный промежуток на два других. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных промежутков (0;1,5) и (1,5;1,57) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

*В подобных случаях необязательно вычислять значения выражений. Важно установить их знаки (положительный либо отрицательный). Например, мы видим, что выражение:

(3,14/2) – 3 имеет отрицательный знак

3,14 – 3 имеет положительный знак

В целом этого достаточно для определения знака выражения.

Таким образом, в точке х = 1,5 функция меняет знак с положительного на отрицательный. Это означает, что данная точка является точкой максимума функции на заданном промежутке.

77493. Найдите точку минимума функции y = (0,5 – x) cos x + sin x

принадлежащую промежутку (0;П/2).

Найдём производную функции:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. Следовательно:

Решаем уравнение – sin x = 0:

В условии дан промежуток (0;П/2). Ему не принадлежит ни один из полученных корней.

Решаем уравнение: 0,5 – х = 0, получим х = 0,5.

Запишем данный промежуток в радианах: (0;1,57).

*Показано в предыдущем примере.

Следовательно полученное значение принадлежит промежутку (0;П/2):

Найденное значение х разбивает данный промежуток на два других. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных промежутков (0;0,5) и (0,5;1,57) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

*Синус 0,3 радиана и синус 1 радиана имеют положительные знаки, так как оба эти угла лежат в пределах от 0 до 90 градусов. А мы знаем, что синусы углов лежащих в первой четверти имеют положительные значения.

Таким образом, в точке х = 0,5 функция меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что данная точка является точкой минимума функции на заданном промежутке.

Как видите всё просто. Необходимо понимать свойства производной для исследования функций, понимать как «работать» с мерами углов, знать основы тригонометрии.

В будущем мы рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрических функций на заданном интервале, не пропустите!

Посмотрите, что нашёл в интернете. Оказывается, что при извержении вулканов тоже молнии бывают. Да ещё какие!

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

1. Особенности исследования тригонометрических функци

2. Исследование функции без использования производной

По­стро­ить гра­фик функ­ции .

Пре­об­ра­зу­ем фор­му­лу: .

Най­дем пе­ри­од дан­ной функ­ции. У функ­ции наи­мень­ший пе­ри­од . У функ­ции , если по­ни­зить сте­пень и вы­ра­зить через — пе­ри­од . Итак,

функ­ция имеет наи­мень­ший пе­ри­од . Это озна­ча­ет, что гра­фик функ­ции сна­ча­ла можно по­стро­ить на про­ме­жут­ке дли­ной , а потом про­дол­жить по пе­ри­о­дич­но­сти.

Функ­ция чет­ная, так как для всех из . Гра­фик сим­мет­рич­ный от­но­си­тель­но оси .

Учи­ты­вая пе­ри­о­дич­ность функ­ции, можно по­стро­ить гра­фик этой функ­ции на любом про­ме­жут­ке, дли­ной . Свой­ство чет­но­сти функ­ции дает воз­мож­ность за­да­чу упро­стить, а имен­но, по­стро­ить гра­фик на участ­ке , а на участ­ке — по­стро­ить по сим­мет­рии.

: .

, когда , от­сю­да или .

Знак функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле удоб­но опре­де­лить с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.1). Точки , , — точки, ко­то­рые фор­ми­ру­ют ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции.

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции на еди­нич­ной окруж­но­сти

Вы­яс­ним знак функ­ции на ин­тер­ва­ле . Для этого возь­мем зна­че­ние функ­ции в ка­кой-ни­будь точке из этого ин­тер­ва­ла. На­при­мер,

, зна­чит, на этом ин­тер­ва­ле функ­ция от­ри­ца­тель­на. Даль­ше, на ин­тер­ва­ле функ­ция ме­ня­ет знак. В силу сим­мет­рии, на ин­тер­ва­ле — функ­ция от­ри­ца­тель­на, а на ин­тер­ва­ле — функ­ция по­ло­жи­тель­на (см. рис.2).

По­стро­им гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня.

Точка — яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма, так как на про­ме­жут­ках и — функ­ция от­ри­ца­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся под осью , и толь­ко в точке она равна нулю. Зна­чит, функ­ция в окрест­но­сти кор­ней ведет себя сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.3):

Рис. 3. Гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня

3. Исследование функции с помощью производной и построение графика

По­нят­но, что на ин­тер­ва­лах и – функ­ция будет иметь точки экс­тре­му­ма.

При­рав­ня­ем ее к нулю:

, от­сю­да .

— это все кри­ти­че­ские точки, ко­то­рые имеет функ­ция. Но нам нужны те, ко­то­рые по­па­да­ют в вы­бран­ный про­ме­жу­ток: , , . Вы­чис­лим зна­че­ние функ­ции в точ­ках , и опре­де­лим – это точки мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма.

Най­дем знак про­из­вод­ной, в ка­кой- либо точке из ин­тер­ва­ла :

. Таким об­ра­зом, точка — точка ми­ни­му­ма, а — точка мак­си­му­ма. Вы­чис­лим:

; .

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. рис.5-6).

Рис. 5. Гра­фик функ­ции на

Рис. 6. Гра­фик функ­ции

Одна из ти­по­вых задач – на­хож­де­ние мно­же­ства зна­че­ний функ­ции.

Ответ: .