Математика 7 класс.Сколько в графе рёбер, если в нём 5 вершин со степенями 2, 3, 3, 4, 4?
Решаем задачу на нахождение количества рёбер в графе с помощью математических формул
Граф — это абстрактная структура, представляющая собой множество вершин (узлов) и множество рёбер, соединяющих эти вершины. Решение задачи на нахождение количества рёбер в графе может понадобиться при анализе связности графа или при определении его характеристик.
Исследуем свойства графов и находим количество рёбер в конкретном примере
Граф — математическая структура, представляющая собой набор вершин, соединённых рёбрами. Графы могут иметь различные свойства, такие как направленность рёбер, вес рёбер и т.д. Графы используются в различных областях, таких как транспортные системы, социальные сети, биоинформатика и т.д.
Практическое применение теории графов в математических задачах 7 класса: нахождение количества рёбер
В математике существует раздел, называемый теорией графов, который изучает свойства и структуру графов. Графом называется система из точек, называемых вершинами, и отрезков, соединяющих эти точки, называемых рёбрами.
В однородном графе 12 вершин степень каждой вершины 5 сколько ребер в этом графе
Задача 1:
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?
Решение:
Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф, вершины которого соответствуют телефонам, а ребра – соединяющим их проводам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна пяти. Подсчитаем количество ребер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком подсчете каждое ребро учтено дважды (оно ведь соединяет две вершины!). Поэтому число ребер графа должно быть равно 15 • 5/2. Но это число нецелое! Следовательно, такого графа не существует, а значит, и соединить телефоны требуемым образом невозможно.
При решении этой задачи мы выяснили, как подсчитать число ребер графа, зная степени всех его вершин. Для этого нужно просуммировать степени вершин и полученный результат разделить на два.
Задача 2:
В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
Решение:
Общее число дорог равно 100 • 4/2 = 200.
Задача 3:
В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Решение:
Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3, 11 – степень 4, 10 – степень 5. Однако у такого графа 19 нечетных вершин, что противоречит теореме.
Задача 4:
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?
Решение:
Нельзя. Примените теорему о числе нечетных вершин.
Задача 5:
У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?
Решение:
Нет, не может. В противном случае получился бы граф соседства баронств с нечетным количеством нечетных вершин.
Задача 6:
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
Решение:
Если в государстве k городов, то дорог – 3k/2. Это число не может быть равно 100.
Задача 7:
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются 7 островов, с каждого из которых ведет 1, 3 или 5 мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
Решение:
Да, верно, иначе нарушается теорема о числе нечетных вершин.
Задача 8:
Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.
Решение:
Это в точности теорема о нечетных вершинах.
Задача 9:
Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
Решение:
Нет, нельзя. Примените теорему к графу, вершины которого – данные отрезки, а ребро соединяет две вершины тогда, когда два соответствующих отрезка пересекаются.
В графе 18 вершин, причём степень каждой вершины равна 2 или 5, вершины обеих степеней присутствуют. Сколько компонент связности может быть в таком графе?
Так как в графе есть хотя бы одна вершина степени 5, есть хотя бы одна компонента с вершиной данной степени. Рассмотрим её. Кроме вершины степени 5 в этой компоненте не менее 5 вершин. Значит, в компоненте связности с вершиной степени 5 не менее шести вершин. Аналогично, в компоненте связности с вершиной степени 2 не менее трёх вершин. Значит, компонент не более 1 + (18 — 6) : 3 = 5.
Докажем, что любое количество компонент от 1 до 5 быть может. Сперва построим пример для 5 компонент. Пусть в одной компоненте две вершины степени 5 соединены ребром, а остальные вершины — вершины степени 2, присоединённые к обоим. Итого 6 вершин на одну компоненту. Остальные компоненты связности представлены циклами длины 3 из вершин степени 2.
Если требуется от 2 до 4 компонент, «склеим» две компоненты-цикла в одну, увеличив цикл.
Если требуется одна компонента, построим компоненту из шести вершин по примеру выше, а затем вместо ребра, соединяющего вершины степени 5, проложим путь из вершин степени 2.
В однородном графе 12 вершин степень каждой вершины 5 сколько ребер в этом графе
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?
Решение
Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф, вершины которого соответствуют телефонам, а рёбра – соединяющим их проводам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна 5. Подсчитаем количество рёбер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком подсчёте каждое ребро учтено дважды (оно ведь соединяет две вершины!). Поэтому число рёбер графа должно быть равно 15·5 : 2. Но это число нецелое! Следовательно, такого графа не существует, а значит, и соединить телефоны требуемым образом невозможно.