Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-\frac<1> <2>– 2 = — 2\frac12$.
Точка пересечения будет $(-\frac<1><2>;- 2\frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — \frac<1> <2>= \frac<1><2>$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac<1><2>; \frac<1><2>)$.
Третий способ
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
Как найти точки пересечения графиков функций
Здравствуйте!
Как найти точки пересечения графиков функций у=2х-1 и у=5-х?
Спасибо!
Задание.
Найти точки пересечения графиков функций у=2х-1 и у=5-х.
Решение.
Точки пересечения графиков функций можно найти двумя способами.
1-й способ.
Построить оба графика на одной координатной плоскости и определить координаты их точки пересечения. Для таких простых функций, как заданы в условии, графики строятся также просто. К тому же можно воспользоваться специальными программами для построения графиков или онлайн-сервисами. 
Как видно из полученного графика, обе функции пересекаются в точке с координатами (2; 3).
Проверим с помощью второго способа, правильно ли мы определили ее координаты.
2-й способ.
Можно точки пересечения находить без построения графиков – аналитически. Для этого приравнивают правые части обоих уравнений и решают получившееся уравнение.
Итак, запишем уравнение из правых частей заданных функций:
2х – 1 = 5 – х.
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены – в правую:
2х + х = 5 + 1
3х = 6
х = 2.
Из получившегося уравнения нашли первую координату х точки пересечения графиков. Найдем вторую координату у этой точки. Для этого в любое из уравнений подставим полученное значение х:
у = 2х – 1
у = 2 * 2 – 1
у = 4 – 1
у = 3.
Итак, точка пересечения графиков функций у = 2х – 1 и у = 5 – х имеет координаты (2; 3).
Ответ. (2; 3).
Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.
Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.
Выберите язык: 
Координаты точки пересечения графиков функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:
Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:
Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:
$$ f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$
Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Случай двух нелинейных функций
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:
Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:
Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:
Найти точку пересечения графиков линейных функций
Если даны две линейные функции вида y = kx + m , то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.
Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент ( k ) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m , угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.
Если две линейные функции имеют различные k , но одинаковые m , то они пересекаются в точке (0; m ). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k , y становится равен m . Пример: y = –1.3 x + 8 и y = 2.1 x + 8.
Если две линейные функции имеют различные и k и m , то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y . Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x . Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.
Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y . Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x , при котором это равенство верно. А далее, имея x , можно вычислить y , через любую из функций. Пример:
Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 1
4x – 5 = –2x + 1
4x + 2x = 1 + 5
6x = 6
x = 1
y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1