Как доказать что угол равен 90 градусов

Как доказать, что треугольник прямоугольный

Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />.
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы равна половины гипотенузы
2. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
3. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
4. прямой угол всегда равен 90 градусов
5. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

Как доказать что угол равен 90 градусов

Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />.
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы равна половины гипотенузы
2. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
3. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
4. прямой угол всегда равен 90 градусов
5. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

треугольник — Как доказать? (Угол 90 градусов)

В неравнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AD, ∠DAC + ∠ABC = 90o. Найдите угол ∠BAC.

задан 4 Дек ’17 0:58

Можно применить теорему синусов, и получить из неё, что угол прямой. Возможно, есть и какие-то ещё способы решения. Можно, например, основываться на том, что медиана разбивает треугольник на части равной площади.

Или воспользоваться формулой для угла между медианой и основанием: $$\cotϵ=\frac12|\cotβ−\cotγ|$$.

Уважаемый falcao, если не сложно, можно по подробнее.

Уважаемый EdwardTurJ, разъясните по подробнее пожалуйста формулу.

@Хачатур: обозначьте углы при вершинах B и C (бета и гамма). Выразите через них угол DAC. Потом примените к треугольникам ABD и ACD теорему синусов, основываясь на том, что BD=DC, а сторона AD общая. Получится тригонометрическое равенство, из которого дальше всё легко следует.

2 ответа

Проведем серединный перпендикуляр к $%BC$%. Пусть он пересекает сторону $%AB$% в точке $%C_1$%. Тогда четырехугольник $%ACDC_1 -$% вписаннный.

отвечен 5 Дек ’17 12:10

Откуда вы взяли, что точки ACDC1 лежат на одной окружности?

Уважаемый falcao, не получается ни по синусам, не по площадям.

@Хачатур: Пусть $%\angle C_1CD=\angle C_1BC=\angle 1$%. Тогда $%\angle CAD=90^ -\angle1$% по условию, а $%\angle CC_1D =90^ -\angle C_1CD=90^ -\angle1$%.

Значит, $$\angle CAD=\angle CC_1D$$ Тогда четырехугольник $%CDC_1A -$% вписанный

Уважаемый goldish09 вы изначально рисуйте треугольник АВС прямоугольным по этому все четыре точки у Вас попадают на окружность, но нам дано не равнобедренный произвольный треугольник.

@Хачатур: на рисунке может быть изображено что угодно — важно то, на чём основано доказательство. Там сначала идёт рассуждение про равенство углов. В этом момент мы не знаем, что угол А прямой, и не знаем, что 4 точки лежат на одной окружности. Она рисуется уже только после того, как доказательство завершается.

Спасибо Вам огромное, но я изначально указал что ответ 90°, мне это понятно, мне больше интересует весь процесс доказательства. В любом случай спасибо Вам всем. Я решил более интересным способом, скоро опубликую.

@Хачатур: здесь дано полное доказательство. Оно основано на установлении равенства двух углов, что было разъяснено @goldish09 в комментарии. На то, что угол прямой, в рассуждении никто не опирался. Это логически выводится из данных задачи.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$ / $	$ / $	$ / $
$cosα$	$ / $	$ / $	$ / $
$tgα$	$ / $	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$ / $

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√ $. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A= / , AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Как доказать что угол равен 90 градусов

треугольник — Как доказать? (Угол 90 градусов)

В неравнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AD, ∠DAC + ∠ABC = 90o. Найдите угол ∠BAC.

задан 4 Дек ’17 0:58

Можно применить теорему синусов, и получить из неё, что угол прямой. Возможно, есть и какие-то ещё способы решения. Можно, например, основываться на том, что медиана разбивает треугольник на части равной площади.

Или воспользоваться формулой для угла между медианой и основанием: $$\cotϵ=\frac12|\cotβ−\cotγ|$$.

Уважаемый falcao, если не сложно, можно по подробнее.

Уважаемый EdwardTurJ, разъясните по подробнее пожалуйста формулу.

@Хачатур: обозначьте углы при вершинах B и C (бета и гамма). Выразите через них угол DAC. Потом примените к треугольникам ABD и ACD теорему синусов, основываясь на том, что BD=DC, а сторона AD общая. Получится тригонометрическое равенство, из которого дальше всё легко следует.

2 ответа

Проведем серединный перпендикуляр к $%BC$%. Пусть он пересекает сторону $%AB$% в точке $%C_1$%. Тогда четырехугольник $%ACDC_1 -$% вписаннный.

отвечен 5 Дек ’17 12:10

Откуда вы взяли, что точки ACDC1 лежат на одной окружности?

Уважаемый falcao, не получается ни по синусам, не по площадям.

@Хачатур: Пусть $%\angle C_1CD=\angle C_1BC=\angle 1$%. Тогда $%\angle CAD=90^ -\angle1$% по условию, а $%\angle CC_1D =90^ -\angle C_1CD=90^ -\angle1$%.

Значит, $$\angle CAD=\angle CC_1D$$ Тогда четырехугольник $%CDC_1A -$% вписанный

Уважаемый goldish09 вы изначально рисуйте треугольник АВС прямоугольным по этому все четыре точки у Вас попадают на окружность, но нам дано не равнобедренный произвольный треугольник.

@Хачатур: на рисунке может быть изображено что угодно — важно то, на чём основано доказательство. Там сначала идёт рассуждение про равенство углов. В этом момент мы не знаем, что угол А прямой, и не знаем, что 4 точки лежат на одной окружности. Она рисуется уже только после того, как доказательство завершается.

Спасибо Вам огромное, но я изначально указал что ответ 90°, мне это понятно, мне больше интересует весь процесс доказательства. В любом случай спасибо Вам всем. Я решил более интересным способом, скоро опубликую.

@Хачатур: здесь дано полное доказательство. Оно основано на установлении равенства двух углов, что было разъяснено @goldish09 в комментарии. На то, что угол прямой, в рассуждении никто не опирался. Это логически выводится из данных задачи.

Как доказать что угол равен 90 градусов

Решение:
угол AOB=180, значит дуга ABC=ADB=180. вписанный угол ABC опирается на дугу в 180, значит по теореме о вписанном угле(вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается) ACB=180:2=90

Рисуешь окружность, треугольник и проводишь медиану (в центр окружности) У нас получается 2 равнобедренных треугольника с вершианми в центре окружности. Вспоминаем, что у равнобедренных треугольников углы при основании равны. Угол противолежащий диаметру окружности состоит из 2 углов от более мелких треуг. (равнобедренных) те углы равны углам у концов диаметра => Угол противолежащий диаметру окружности состоит из 2 других углов треугольника. Он равен 180/2=90

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это просто две прямые, которые пересекаются под углом 90°:

Перпендикулярные прямые встречаются в огромном количестве задач. Прямоугольные треугольники, координаты и даже клеточки в вашей тетради — это всё перпендикулярные прямые. Поэтому разберёмся с ними.

Урок состоит из пяти частей:

Начнём с краткой вводной: что уже нужно знать про прямые и углы в данному моменту.

1. Кратная вводная

Для работы с перпендикулярными прямыми нам потребуются два вида углов: смежные и вертикальные.

1.1.Смежные углы

Определение. Два угла называются , если одна сторона у них общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Вот пример смежных углов с общей стороной $MN$:

Основное свойство таких углов: их сумма всегда равна 180°:

Таким образом, зная один смежный угол, мы тут же найдём другой.

1.2. Вертикальные углы

Определение. Углы, которые образуются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга, называются .

На самом деле на пересечении двух прямых возникает сразу две пары таких углов:

Вертикальные углы всегда равны — и это их главное свойство. На рисунке мы видим, что $\angle 1=\angle 3$ и $\angle 2=\angle 4$.

1.3. Какие бывают углы

И вообще, нам пока известны четыре типа углов: острый, прямой, тупой и развёрнутый.

Интересное свойство прямого угла: если при пересечении двух прямых возник прямой угол, то все остальные углы (вертикальные, смежные с ним) тоже будут прямыми. И вот тут мы переходим к основной теме урока.

2. Определение перпендикулярных прямых

Определение. Если при пересечении двух прямых возникло четыре прямых угла, такие прямые называются .

Мы уже знаем, что достаточно найти на таком пересечении всего один угол в 90 градусов — остальные три угла станут прямыми автоматически:

Перпендикулярные прямые обозначают значком «$\bot $»: $AB\bot CD$, $a\bot b$ и т.д.

Часто в задачах рассматриваются не все прямые, а лишь отрезки, лежащие на этих прямых

3. Свойства перпендикулярных прямых

Сначала разберём два «стандартных» свойства, которые вы найдёте в любом учебнике геометрии 7-го класса. А затем — одно «нестандартное», но именно оно чаще всего и встречается в настоящих задачах.

3.1. Теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Прямая $AB\bot EF$ и прямая $MN\bot EF$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ не пересекаются. Проще говоря, они параллельны (см. урок «Параллельные прямые»).

3.2. Теорема о прямой, перпендикулярной данной

Теорема 2. Через каждую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.

Доказательство этой теоремы состоит из двух частей: сначала докажем, что такую прямую провести можно, а затем — что она единственная.

Прямая, перпендикулярная данной, строится очень просто. Рассмотрим прямую $a$, на которой отмечена точка $M$:

Отложим от луча $MK$ угол, равный 90°. В любую сторону: в верхнюю полуплоскость или нижнюю — не имеет значения. Получим луч $MN$:

Наконец, продолжим луч $MN$ в противоположную другую сторону (т.е. построим дополнительный луч). Получим искомую прямую $MN\bot a$:

Единственность такого построения следует либо из аксиомы о том, что нужный угол можно отложить в нужном направлении одним и только одним способом, либо из предыдущей теоремы о двух прямых, перпендикулярных данной. В самом деле, пусть есть ещё одна прямая $ML$, которая, как и $MN$, перпендикулярна прямой $a$:

Поскольку $MN\bot a$ и $ML\bot a$, по предыдущей теореме эти прямые не пересекаются. Что противоречит нашему построению, в котором у прямых $MN$ и $ML$ есть общая точка $M$. Следовательно, прямые $MN$ и $ML$ совпадают, что и требовалось доказать.

3.3. Важное свойство прямого угла

Две теоремы, которые мы рассмотрели выше, редко встречаются в реальных примерах. Зато сейчас мы рассмотрим свойство, которое действительно помогает решать многие задачи. Звучит оно очень просто:

Теорема 3. Если прямой угол разделить на две части, то сумма этих новых углов равна 90°. Другими словами, если один угол равен $\alpha $, то другой равен $ ^\circ -\alpha $:

Это утверждение может показаться очевидным. И оно действительно является таковым. Однако деление прямого угла на части встречается в задачах настолько часто, что я не мог не упомянуть об этом.

Кроме того, начинающие ученики часто не замечают такие углы на чертежах. Поэтому сейчас мы будем отрабатывать эту теорему на реальных задачах.

4. Простые задачи

Начнём с простых задач.

Задача 4. На рисунке угол $AMC$ — развёрнутый, луч $MB\bot AC$, угол $KMN= ^\circ $. Докажите, что $\angle BMN=\angle CMK$.

Решение. Пусть $\angle BMK=x$. Тогда, поскольку $AC\bot MB$, углы $BMK$ и $CMK$ в сумме дают 90°. Отсюда получаем, что

\[\angle CMK= ^\circ -x\]

С другой стороны, по условию задачи угол $NMK$ — прямой. Этот угол состоит из углов $BMN$ и $BMK$, поэтому

\[\angle BMN= ^\circ -x\]

Видим, что углы $CMK$ и $BMN$ равны одной и той же величине: $ ^\circ -x$. Следовательно, эти углы равны, что и требовалось доказать.

5. Злые задачи

Деление задач на простые и сложные весьма условно. Часто «сложными» называют многошаговые задачи и доказательства.

Задача 6. Дан прямой угол $AMB$. Луч $MC$ делит этот угол на два острых угла: $AMC$ и $BMC$. Угол между биссектрисами углов $AMC$ и $AMB$ равен 18°. Найдите углы $AMC$ и $BMC$.

Решение. Вот это уже довольно интересная задача. Взгляните на чертёж:

Красным цветом обозначена биссектриса прямого угла $AMB$. Она разбивает этого угол на два маленьких угла по 45°.

Синим цветом обозначена биссектриса искомого угла $AMC$. Обозначим половинки этого угла за $x$ (имеется в виду, что каждая из половин угла $AMC$ содержит по $x$ градусов).

Но тогда угол между биссектрисами — это часть угла между стороной $MA$ прямого угла $AMB$ и биссектрисой этого же угла. Откуда получаем уравнение

\[\begin ^\circ &=x+ ^\circ \\ x &= ^\circ — ^\circ = ^\circ \end\]

Но тогда угол $AMC$ будет вдвое больше:

\[\angle AMC=2x= ^\circ \]

А угол $BMC$, который дополняет $\angle AMC$ до прямого, можно найти по формуле

\[\begin\angle BMC &= ^\circ -\angle AMC= \\ &= ^\circ — ^\circ = ^\circ\end\]

Итого искомые углы равны 54 и 36 градусов.

Задача 7. Два равных тупых угла имеют общую сторону. Две другие стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.

Решение. Пусть два равных тупых угла содержат по $x$ градусов. Вместе с прямым углом (т.е. углом в 90 градусов) они образуют полный поворот, т.е. 360 градусов. Получаем уравнение:

\[\begin2x+ ^\circ&= ^\circ\\ 2x &= ^\circ \\ x &= ^\circ\end\]

Задача 8. Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят этот угол на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

Доказательство. Обозначим развёрнутый угол как $AOD$, а дополнительные лучи — $OB$ и $OC$. Биссектриса угла $BOC$ — это луч $MO$ (отмечен красным цветом).

Поскольку углы $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны и в сумме образуют развёрнутый угол, их градусные меры также равны и составляют треть от 180°:

\[\angle AOB=\angle BOC=\angle COD= ^\circ \]

Кроме того, поскольку $OM$ — биссектриса, то углы $BOM$ и $COM$ равны между собой:

\[\angle BOM=\angle COM= ^\circ \]

Однако угол $AOM$ составлен из углов $AOB$ и $BOM$, поэтому

\[\begin\angle AOM &=\angle AOB+\angle BOM= \\ &= ^\circ + ^\circ = ^\circ \end\]

Получили, что $OM\bot AD$, что и требовалось доказать.

Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) прямоугольного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства. Задачи и решения

Определение 1. Прямоугольный треугольник − это треугольник, один из углов которого прямой (т.е. 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c (Рис.1)). Другие стороны, т.е. стороны, прилегающие к прямому углу (стороны a и b) называются катетами .

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство . Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда . Конец доказательства.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство . Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно . Конец доказательства.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Пусть , (Рис.3). Поскольку , то по первому признаку равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как , , (Рис.4), то из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

3. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Теорема 1. Если гипотенуза и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство . Пусть и (Рис.5). Так как данные треугольники прямоугольные, то имеет место также равенство . Тогда из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники и , где , и углы C и C₁ прямые (Рис.6).

Поскольку , , , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы вершина C совместилась с верншиной C₁ а стороны CA и CB наложились на лучи C₁A₁ и C₁B₁, соответственно (Рис.7).

Так как CB=C₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Покажем, теперь, что вершина A совместится с вершиной A₁. Предположим, что они не совместятся. Тогда получим равнобедренный треугольник ABA₁, поскольку AB=A₁B₁. Но в этом случае . Но как мы видим из Рис.7 угол , острый а угол тупой (так как он является смежанным углом к острому углу BAC), что невозможно. Следовательно вершина A совместится с вершиной A₁.

Задачи и решения

Задача 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26.4см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Обозначим через b− меньший катет, а через c− гипотенузу. Из условия задачи имеем: c+b=26.4см.

Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 90°−60°=30°. Как известно, против угла 60° лежит большая сторона (катет), а против угла 30° − меньшая. Из свойства 2 следует, что меньшая сторона равна половине гипотенузы : . Тогда имеем: или . Следовательно c=17.6 см.

Задача 2. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁, углы A и A₁ прямые, BD и B₁D₁ −биссектрисы. Докажите, что , если и BD=B₁D₁.

Доказательство. Так как BD и B₁D₁ −биссектрисы и , то (Рис.8). Из и следует, что (Теорема 1).

Тогда и, следовательно, . Отсюда получим, что треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны (второй признак равенства треугольников:, , ). Следовательно (так как , ).

Как доказать что угол равен 90 градусов

Решение:
угол AOB=180, значит дуга ABC=ADB=180. вписанный угол ABC опирается на дугу в 180, значит по теореме о вписанном угле(вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается) ACB=180:2=90

Рисуешь окружность, треугольник и проводишь медиану (в центр окружности) У нас получается 2 равнобедренных треугольника с вершианми в центре окружности. Вспоминаем, что у равнобедренных треугольников углы при основании равны. Угол противолежащий диаметру окружности состоит из 2 углов от более мелких треуг. (равнобедренных) те углы равны углам у концов диаметра => Угол противолежащий диаметру окружности состоит из 2 других углов треугольника. Он равен 180/2=90