3.7. Диагонализация матрицы линейного оператора
Пусть линейный оператор 
. Рассмотрим в 
произвольный базис 
. Пусть в этом базисе линейному оператору 
соответствует матрица 
. Существует ли такой базис в пространстве 
, в котором матрица линейного оператора была бы диагональной?
Очевидно, если такой базис существует, то по Свойству 1 (п. 3.6) диагонализация матрицы 
произойдет в результате преобразование подобия.
Имеет место следующая
Теорема. Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора 
то матрица 
линейного оператора будет диагональной в этом базисе.
Выясним, при каких условиях существует базис из собственных векторов линейного оператора.
Пусть 
– собственные значения линейного оператора кратностей 
, причём 
. Если для каждого 
существует 
собственных векторов – решений ФСР соответствующей однородной СЛАУ, то существует базис из собственных векторов, а значит, матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду. В частности, если 
, т. е. спектр линейного оператора простой, то базис из собственных векторов существует. Однако, если среди корней характеристического уравнения найдётся хотя бы одна пара комплексно-сопряжённых, то в вещественном линейном пространстве не существует базиса из собственных векторов.
Покажем, например, что, если спектр простой, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет диагональной.
Рассмотрим квадратную матрицу 
, в столбцах которой стоят координаты собственных векторов 
, соответствующих собственным значениям 
. Это означает, что матрица является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Очевидно, в этом случае 
, т. е. матрица – невырожденная, и для неё существует обратная – 
Из определения собственных векторов линейного оператора следует, что
(16)
Где 
– векторы-столбцы, соответствующие собственным векторам линейного оператора 
. Равенство (16) можно записать в более компактной форме:
(17)
Где 
– диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены собственные числа 
т. е.
Умножим обе части равенства (17) слева на матрицу 
:
или 
(18)
Это означает, что матрица линейного оператора при переходе к базису из собственных векторов станет диагональной в результате преобразования подобия (18).
Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, заданного в некотором базисе матрицей 
. Построить, если это возможно, базис из собственных векторов линейного оператора и найти матрицу 
линейного оператора в этом базисе. Выполнить проверку.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Найдём собственные векторы линейного оператора:
;
Т. е. 
Собственные значения линейного оператора различны, значит, собственные векторы 
линейно независимы, т. е. образуют базис. В этом базисе матрица линейного оператора будет диагональной:
.
Матрица перехода к базису из собственных векторов 
.
Проверим правильность проведенных вычислений. По формуле (7) 
Найдём 
:
.
Ответ: .
Пример 15. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей 
Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора ?
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Собственные значения линейного оператора 
Найдём соответствующие им собственные векторы: 
Т. е. 
. Все остальные собственные векторы имеют вид 
. Это означает, что базис из собственных векторов не существует.
Пример 16. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей 
. Можно ли привести матрицу 
к диагональному виду?
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Т. е. 
Или 
Собственные значения линейного оператора 
Найдём собственные векторы:
Эта система эквивалентна следующей:
Т. е. ФСР этой системы состоит из одного решения, например, 
Собственным значениям 
и 
соответствует собственный вектор 
. Другие собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , могут быть получены из умножением на произвольное вещественное число. Например, 
.
Так как 
, то 
значит, 
линейно зависимы, значит, совокупность собственных векторов 
также линейно зависима, т. е. собственные векторы линейного оператора не образуют базис в 
. Поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
Как следует из теоремы 13.1, матрица линейного оператора зависит от базиса пространства. Как подобрать этот базис, чтобы матрица линейного оператора в нем имела наиболее простой вид? На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теоремa 14.1. Для того чтобы матрица линейного оператора A: R n ® R n в некотором базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов линейного оператора A.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица линейного оператора A в некотором базисе е l , е 2 . е n диагональная, т. е.
Тогда, очевидно, справедливы равенства Aе j = L е j = lj е j , j = 1, 2. n, из которых следует, что lj – собственные значения, а е j – соответствующие им собственные векторы оператора A.
Достаточность. Предположим, что базис пространства состоит из собственных векторов x 1 , x 2 ,…, x n , а l 1, l 2,…, ln – соответствующие им собственные значения оператора A. Тогда Ax j = lj x j , j = 1, 2. n. Отсюда следует, что L = = diag (l 1, l 2,…, ln) – матрица линейного оператора A в базисе x 1 , x 2 ,…, x n . ¨
Определение 14.1. Если существует базис пространства R n , состоящий из собственных векторов x 1 , x 2 ,…, x n линейного оператора A: R n ® R n с матрицей А в некотором базисе пространства R n , и Т – матрица перехода от этого базиса к базису x 1 , x 2 ,…, x n , то справедливо равенство
где L – диагональная матрица с собственными значениями, соответствующими собственным векторам оператора A, на главной диагонали. В этом случае матрица А линейного оператора A называется диагонализируемой.
Пример 1. Привести к диагональному виду матрицу
Решение. Для этой матрицы в примере 1 из §12.2 найдены собственные векторы x 1 = (–1, 1, 1), x 2 = (11, 1, –14)и x 3 = (1, 1, 1), соответствующие собственным значениям l 1 = 1, l 2 = – 2 и l 3 = 3. Поскольку все собственные значения попарно различны, векторы x 1 , x 2 , x 3 образуют базис пространства R 3 согласно теореме 12.1. Значит, согласно определению 14.1 матрица А диагонализируема.
Составим матрицу перехода Т к базису x 1 , x 2 , x 3 , столбцами которой будут координаты данных базисных векторов.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
3.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
Пусть L – произвольное конечномерное линейное пространство.
Теорема. Матрица линейного оператора A : L → L в некотором
базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A .
Докажем эту теорему.
1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = ( e 1 , e 2 . e n ) имеет
i -й столбец матрицы линейного
координат вектора Ae i ,
Ae 1 = ( a 11 ,0. 0) = a 11 e 1 ,
Ae 2 = (0, a 22 . 0) = a 22 e 2 ,
Ae n = (0,0. a nn ) = a nn e n .
вектор e 1 является собственным вектором
отвечающим собственному значению a 22 , …, вектор e n – собственным вектором, отвечающим собственному значению a nn .
e 2 . e n ) являются собственными
векторами оператора A ,
отвечающими собственным значениям λ 1 , λ 2 . λ n
Тогда Ae 1 = λ 1 e 1 = ( λ 1 ,0. 0) , Ae 2 = λ 2 e 2 = (0, λ 2 . 0) , …,
Ae n = λ n e n = (0,0. λ n ) .
Матрица линейного оператора в
Замечание. Если матрица
оператора A : L → L в
e = ( e 1 , e 2 . e n )
то на ее диагонали расположены
собственные значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.
Следствие 1. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n -мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица линейного оператора является диагональной.
Замечание. Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, в котором матрица линейного оператора будет диагональной.
Диагональная форма матрицы оператора
Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной:
Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора .
Пример. Привести к диагональному виду матрицу .
Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:
Найдем собственные векторы, подставляя найденные собственные значения в матричное уравнение . Для получаем
отсюда . Полагая произвольной константой, получаем собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к уравнению
Откуда , полагая получаем второй собственный вектор матрицы : . Поскольку и — произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины.
Поскольку собственные значения этой матрицы , подобная ей диагональная матрица имеет вид:
Проверим это по формуле . Составим матрицу , столбцами которой являются собственные векторы:
Найдем определитель матрицы , а обратная матрица имеет вид:
По формуле получаем:
4.6. Квадратичные формы.
4.6.1. Основные сведения о квадратичных формах.
Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы — действительные числа, причем .
Будем называть симметрическую матрицу
матрицей квадратичной формы (50). Квадратичная форма (50) может быть представлена в матричной форме:
где и — вектор-строка и вектор-столбец переменных.
Пример. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде.
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нее недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно:
4.6.2. Преобразование квадратичных форм.
Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.
Пусть векторы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением
где , есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма
Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид
Пример. Для квадратичной формы предыдущего примера найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием , , .
Решение. Матрица данного линейного преобразования имеет вид:
Применяя формулу (53) к матрице из предыдущего примера получаем:
т.е. квадратичная форма принимает вид:
4.6.3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.
Определение. Квадратичная форма называется канонической или имеет канонический вид, если все ее коэффициенты при :
т.е. матрица является диагональной.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Определение. Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее каноническом виде все коэффициенты равны 1 или -1.
Существуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один из них
Метод Лагранжа. Заключается в выделении полных квадратов: сначала формируется полный квадрат из слагаемых, содержащих , затем из слагаемых, содержащих и т.д. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму
Решение. Применяя метод Лагранжа, получаем:
где , , . При приведении к нормальному виду в этой квадратичной форме нужно использовать замену переменных , , . Тогда получаем:
Теорема. (Закон инерции квадратичных форм). При любом способе приведения квадратичной формы (50) с действительными коэффициентами к нормальному виду число квадратов с коэффициентами 1 получается одно и то же, как и число квадратов с коэффициентами -1.
4.6.4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.
Определение. Квадратичная форма (50) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , не равных одновременно нулю, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения.
Оба этих случая объединены под названием знакоопределенных форм. Если квадратичная форма (50) как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.
Квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, если ее нормальный вид содержит ровно квадратов, т.е. имеет вид . Понятно, что все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть положительными.
Аналогично в нормальный вид отрицательно определенной все квадратов должны входить со знаком минус, т.е. все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть отрицательными.
называются главными минорами матрицы квадратичной формы (50).
Теорема. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (50) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия
Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .
Пример. Найти по критерию Сильвестра знакоопределенность квадратичной формы .
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:
Последовательно вычисляем ее миноры
Поскольку критерий Сильвестра не соблюден, то данная квадратичная форма является знакопеременной.