Способы сравнения дробей
Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.
Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?
Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.
Просмотр содержимого документа
«Способы сравнения дробей»
Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.
Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?
Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.
1. Сравните 
и 
.
2. Сравните числа 
и 
.
Как видите, случай более сложный.
Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?
Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.
Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем
Сравним теперь 
и 
.
Для этого достаточно сравнить 
и 2 или 
и 
.
Но 
, а 
.
Теперь получаем цепочку неравенств :
3. Сравните числа 
и 
.
Воспользуемся следующим свойством радикалов: если 
, то 
, где 
.
Сравним 
и 
.
Оценим их отношение:
Таким образом, 
.
1) В данном случае степени и невелики, а именно
, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:
Поэтому, 
2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, 
и 
, то можно использовать неравенство:
верно при любых 
, и поступить так:
при всех натуральных 
.
Можно доказать самостоятельно 
.
Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:
“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.
Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е. 
, где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.
Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение 
(1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно 
. (2)
Для произвольного положительного числа а существует 
.
Из равенства (2) вытекает равенство
,
или, что то же самое,
. (3)
Полагая в тождестве (3) х=3, получаем
, (4)
а принимая во внимание, что 
, получим, что 
.
Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.
Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование
Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.
Что представляют собой степенные выражения?
В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.
Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.
Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.
Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , ( 2 + 1 ) 5 , ( − 0 , 1 ) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , ( a 2 ) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , ( a + 1 ) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: ( 0 , 5 ) 2 + ( 0 , 5 ) — 2 2 .
Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .
В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .
С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.
Основные виды преобразований степенных выражений
В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.
Вычислите значение степенного выражения 2 3 · ( 4 2 − 12 ) .
Решение
Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 2 3 · ( 16 − 12 ) = 2 3 · 4 .
Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.
Ответ: 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 32 .
Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .
Решение
Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.
Решение
Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:
9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1
Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .
А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.
Работа с основанием и показателем степени
Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 и ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.
Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.
Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · ( x + 1 ) .
Использование свойств степеней
Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:
- a r · a s = a r + s ;
- a r : a s = a r − s ;
- ( a · b ) r = a r · b r ;
- ( a : b ) r = a r : b r ;
- ( a r ) s = a r · s .
В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .
Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.
При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».
Представьте выражение a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .
Решение
Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель ( a 2 ) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:
a 2 , 5 · a − 6 : a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − ( − 5 , 5 ) = a 2 .
Ответ: a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 = a 2 .
Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.
Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Решение
Если мы применим равенство ( a · b ) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .
Есть еще один способ провести преобразования:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · ( 3 · 7 ) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .
Решение
Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени ( a r ) s = a r · s справа налево и получим ( a 0 , 5 ) 3 : a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = ( a 0 , 5 ) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .
Ответ: t 3 − t − 6 .
Преобразование дробей, содержащих степени
Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.
Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .
Решение
Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2
Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2
Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2
Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.
Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .
Решение
а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.
Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :
a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a
б) Обратим внимание на знаменатель:
x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2
Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2
Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Сократите дробь: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .
Решение
а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .
30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 )
б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Ответ: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.
Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Решение
Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:
x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1
x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2
Теперь умножаем дроби:
4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2
Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .
Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .
Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1
Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение
Мы можем произвести сокращение дроби на ( x 2 , 7 + 1 ) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .
Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .
Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение ( x + 1 ) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · ( x + 1 ) 0 , 2 .
Преобразование выражений с корнями и степенями
В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.
Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.
Решение
Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞ ) .
На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Преобразование степеней с переменными в показателе
Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .
Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:
5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .
Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:
5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0
Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .
Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .
Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Преобразование выражений со степенями и логарифмами
Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 ( 1 — log 3 5 ) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».
Степень с рациональным показателем
Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.
При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:
Подставим в эту формулу следующие значения переменных:
Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:
Подставляем эти значения:
(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3
Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:
С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:
Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:
(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a
Значит, по определению корня n-ой степени
Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.
Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а m / n ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:
C учетом этого выполним преобразование:
В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!
Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:
Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:
Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5
Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:
Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:
Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81 0,25 . По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81 0,25 можно так:
Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:
0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4
Теперь вычисления будет более простыми:
Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:
Свойства дробных степеней и операции с ними
Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.
Например, справедливы следующие действия:
5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125
19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361
29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36
Вот несколько примеров подобных вычислений:
17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1
4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64
20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2
Проиллюстрируем это правило примерами:
(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36
(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729
(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5
Покажем, как можно применять данное правило:
4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2
0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125
4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7
Это правило можно применять следующим образом:
360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6
500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000
6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5
Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если
то верное и обратное:
То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.
Пример. Вычислите значение выражения
Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями
Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:
(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =
=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3
Пример. Упростите выражение
(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25
Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:
81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n
С учетом этого можно записать:
(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =
= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n
Ответ: 2•81 0,25 n .
Сравнение степеней
Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:
Отсюда следует вывод, что если a<b, то
теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:
Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):
В частности, справедливы следующие неравенства:
0,008 0,002 < 0,008 0,002
Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:
a – n = 1/a n = (1/а) n
Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:
20 –3,14 и 50 –3,14
Решение. Избавимся от знака минус в показателе:
20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14
50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14
Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что
0,02 3,14 < 0,05 3,14
Это означает, что
Ответ: 50 –3,14 < 20 –3,14 .
Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:
9,36 0 = 9,37 0 = 1
18,3546 0 = 12,3647 0 = 1
Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.
На основании этого правила можно записать, что:
45 –0,563 < 45 0,001
1,235 –5,623 < 1,235 –4,958
Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:
1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1
Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5 7,6 и 0,5 8,9 . Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:
0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1
Итак, 0,5 = 2 –1 . Тогда можно записать, что:
0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6
0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9
Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как
Следовательно, 0,5 7,6 > 0,5 8,9 .
Например, справедливы неравенства:
0,57 15,36 > 0,57 16,47
0,49 0,04 > 0,49 0,05
Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.
Пример. Докажите, что
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 < 28 1/3
Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.
Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.
Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 27 1/3 :
Также ясно, что 27 1/3 < 28 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 < 27 1/3 (1)
Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 < 27 1/3 < 28 1/3
Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 <3 (2)
Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,8 0,8 < 0,9 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 < 0,9 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:
0,8 0,8 < 0,9 0,8 <0,9 0,7
или просто 0,8 0,8 <0,9 0,7 . Абсолютно аналогично можно записать, что
0,7 0,8 < 0,9 0,7 <0,9 0,7
Или 0,7 0,8 <0,9 0,7 . Наконец, в силу правила (3), 0,9 0,9 <0,9 0,7 . Итак, имеем три неравенства:
Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):
0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 <3
Поделим обе части на 3:
Заменим единицу равным ему выражением 1 0,7 :
Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.
Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Действия с дробями
Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.
Обыкновенная дробь – дробь вида
где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:
1 2 ; 6 5 ; 3 1 ; 7 15 .
Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:
Дробь называется правильной , если числитель ( a ) меньше знаменателя ( b ) .
Примеры:
Дробь называется неправильной , если числитель ( a ) больше знаменателя ( b ) .
Примеры:
Основное свойство обыкновенной дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.
Дробь называется сократимой , если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:
12 16 = 3 ? 4 4 ? 4 = 3 4
21 14 = 3 ? 7 2 ? 7 = 3 2
Дробь называется несократимой , если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:
2 5 ; 9 11 ; 125 126 .
Дробь называется смешанной , если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:
3 1 2 ; 2 7 8 ; 90 12 77 .
Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.
3 1 2 = 3 ⋅ 2 + 1 2 = 7 2
2 7 8 = 2 ⋅ 8 + 7 8 = 23 8
90 12 77 = 90 ⋅ 77 + 12 77 = 6942 77
Дробь называется десятичной , если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:
56,002 ; 4,125 ; 12,3 ; 0,01 .
Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.
Перевод в смешанные дроби:
56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500
56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500
Перевод в обыкновенные дроби:
12 , 3 = 12 3 10 = 12 ⋅ 10 + 3 10 = 123 10 0 , 01 = 1 100
Сложение и вычитание дробей.
Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:
- превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть,
например: \[2\frac<7><8>= \frac<<2 \cdot 8 + 7>><8>= \frac<<23>><8>\] - найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
- произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
(1) 2 1 6 + 1 7 8 = 2 ⋅ 6 + 1 6 + 1 ⋅ 8 + 7 8 = 13 6 + 15 8 = 13 ⋅ 4 6 ⋅ 4 + 15 ⋅ 3 8 ⋅ 3 = 52 + 45 24 = 97 24 = 4 1 24
(2) 3 7 12 − 2 3 16 = 3 ⋅ 12 + 7 12 − 2 ⋅ 16 + 3 16 = 43 12 − 35 16 = 43 ⋅ 4 12 ⋅ 4 − 35 ⋅ 3 16 ⋅ 3 = 172 − 105 48 = 67 48 = 1 19 48
(3) 2 3 14 − 0,6 = 2 ⋅ 14 + 3 14 − 6 10 = 31 14 − 3 5 = 31 ⋅ 5 14 ⋅ 5 − 3 ⋅ 14 5 ⋅ 14 = 155 − 42 70 = 113 70 = 1 43 70
Умножение и деление дробей.
При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:
Чтобы умножить дробь на число , необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:
При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:
Чтобы разделить дробь на число , необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:
(1) 2 3 4 ⋅ 8 11 ÷ 0,5 = 11 1 4 1 ⋅ 8 2 11 1 ÷ 5 1 10 2 = 2 ÷ 1 2 = 2 ⋅ 2 1 = 4
(2) 6 ÷ 2,25 ⋅ 1,5 = 6 1 ÷ 2 1 4 ⋅ 1 5 1 10 2 = 6 1 ÷ 9 4 ⋅ 3 2 = 6 3 1 ⋅ 4 9 3 ⋅ 3 1 2 1 = 4
Сравнение дробей.
Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:
\[\frac<4> <7>< \frac<5><7>;\;\;\;\; \frac<3><<14>> > \frac<1><<14>>;\;\;\;\; \frac<2> <3>< \frac<<55>><3>.\] Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:
\[\frac<2> <7>< \frac<2><5>;\;\;\;\; \frac<7> <6>> \frac<7><<11>>;\;\;\;\; \frac<5> <4>> \frac<5><5>.\] Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:
Приводим дроби к общему знаменателю:
Приходим к выводу, что:
Приводим дроби к общему знаменателю:
Приходим к выводу, что:
Действия со степенями.
$a^n$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.
$a$ — основание степени, $n$ — показатель.
a n = a ⋅ a ⋅ . ⋅ a ︸ n р а з — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.
Любое число $a$ можно представить в виде $a=a^1$. То есть $2=2^1$, $15=15^1$ и так далее.
Единицу можно представить, как произвольное число в степени $0$, то есть $1=2^0=15^0\dotsc$
Единицу можно возводить в любую степень, то есть $1=1^n=1^0=1^1=1^8=1^<146>\dotsc$
Ноль в любой натуральной степени есть ноль, то есть: $0 = <0^n>= <0^1>= <0^<15>> = <0^<179>>\dotsc$ где $n \ne 0$.
Запись 0 0 в математике не имеет смысла.
Свойства степеней с натуральным показателем:
(1) a m ⋅ a n = a m + n
(2) a m a n = a m − n
(3) ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n
(4) ( a b ) n = a n b n
(5) ( a m ) n = a m ⋅ n
Возведение отрицательных чисел в степень
Отрицательное число , возведенное в нечётную степень есть число отрицательное
Примеры:
Отрицательное число , возведенное в чётную степень есть число положительное
Примеры: