Из числа n вычитается остаток от деления n на 8 после чего прибавляется остаток от деления n на 2

ЕГЭ по информатике 2022 — Задание 5 (Линейный алгоритм)

Привет! В этой статье будут различные примеры решения задач из 5-ого задания ЕГЭ по информатике 2022.

Задание 5 решается не сложно, но, как всегда, нужно потренироваться решать подобные задачи, чтобы уверенно себя чувствовать на ЕГЭ по информатике 2022.

Рассмотрим классический пример.

Задача (Классическая)

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R по следующему принципу.

1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:
а) Складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописываются в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001.
б) Над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает 42 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение на Python.

Программа будет выводить различные числа, но нас интересует самое маленькое. В ответе получается 46. Чтобы остановить поток чисел, можно нажать сочетание Ctrl + C.

В программе перебираем натуральные числа от 1 до 1000 с помощью цикла for. Каждое число подставляем в описанный алгоритм, в надежде получить в результате число r, удовлетворяющие условию задачи.

С помощью функции format переводим число n в двоичный вид. Получаем результат в виде строки s.

Чтобы найти сумму цифр получившейся двоичной записи, достаточно подсчитать количество единиц в строке s. Ведь только единицы в двоичной записи дают в сумму результат. Это можно сделать, применив функцию .count() к строке s.

Добавляем справа к строке s остаток от деления суммы цифр на 2. Остаток нужно превратить в строковый тип данных, чтобы «присоединить» к строке s справа.

Повторяем пункт Б, скопировав строку с пунктом А.

Чтобы обратно превратить строку двоичной записи в десятичное число, используем функцию int(), указав параметр 2.

В конце программы пропишем условие. Если r больше 42, то будем печатать эти значения. Остаётся выбрать минимальное число r.

Решение с помощью рассуждений.

Алгоритму на вход приходит обычное натуральное число N.

Это число преобразуется в двоичную запись (пункт 1).

Во втором пункте правил формирования нового числа сказано, что к числу, полученному в первом пункте, дописываются справа ещё два дополнительных разряда.

Про 1 дополнительный разряд указано в подпункте а): «Складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописываются в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001.»

Если по простому сказать, то мы подсчитываем количество единиц в двоичном представлении числа N. Если количество единиц чётное, то пишем в 1 дополнительный разряд ноль, если нечётное, то пишем в 1 дополнительный разряд единицу.

Со вторым дополнительным разрядом происходит всё тоже самое, что и с первым разрядом, только когда подсчитываем количество единиц, мы так же подсчитываем и в 1-ом дополнительном разряде.

В вопросе просят указать входящее наименьшее число N, чтобы автомат выдал число R больше 42.

Возьмём наименьшее число, которое больше 42 (т.е. 43) и переведём его в двоичную систему. Это можно сделать с помощью стандартного windows калькулятора.

Вызываем калькулятор, выбираем Вид->Программист. Кликаем на отметку Dec (это означает, что мы находимся в десятичной системе) и набираем число 43. Затем кликаем на отметку Bin

Проверим число 101011₂. Может ли оно быть результатом работы нашего алгоритма?

Отделяем два дополнительных разряда справа. У нас, не считая двух дополнительных разрядов, количество единиц равно двум. Количество чётное, значит, в первом дополнительном разряде должен стоять 0. А у нас стоит 1.

Следовательно, число 101011₂ не может являться результатом работы алгоритма. И это число не подходит.

Проверим последующие числа. На калькуляторе можно прибавлять по 1 и получать следующее число в двоичной системе. Мы проверяем последовательно числа, чтобы не пропустить самое маленькое число.

Подходит число 101110₂. Количество единиц без двух дополнительных разрядов равно трём. Число нечётное. Значит, в первом дополнительном разряде должна стоять 1. В этом числе как раз стоит 1.

Количество единиц вместе с дополнительным разрядом равно 4. Число чётное, значит, во втором дополнительном разряде должен стоять 0. У нас и стоит во втором дополнительном разряде 0. Следовательно, число 101110₂ подходит по всем правилам и является наименьшим.

В десятичной системе это число 46.

Рассмотрим ещё одну интересную задачу для подготовки к ЕГЭ по информатике 2022.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.
2) Каждый разряд этой записи заменяется двумя разрядами по следующему правилу: если в разряде стоит 0, то вместо него пишется 01; если в разряде стоит 1, то 1 заменяется на 10.
Например, двоичная запись 1010 числа 10 будет преобразована в 10011001.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите максимальное нечётное число R, меньшее 256, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение на Python.

Получается наибольшее число 169.

Здесь после того, как построена строка, содержащая двоичную запись числа n, мы с помощью цикла for перебираем каждый символ и анализируем его.

Предварительно создав переменную s2 для новой строки, мы записываем в неё ’01’ , если анализируемый символ является нулём, и ’10’ , если единицей.

Добавляем заменённые символы справа к строке s2, таким образом, самый первые символы окажутся постепенно слева, как положено.

Далее, делаем, как в прошлой задаче.

Решение с помощью рассуждений.

В этой задаче в начале строится двоичная запись числа N.

Каждый разряд превращается в два разряда! Единица превращается в 10. Ноль превращается в 01. На рисунке показан пример, как будет преобразовано число 10 = 1010₂.

Оценим первое число, которое меньше, чем 256. Это число 255.

Здесь количество разрядов равно 8. Это чётное число, значит, такое количество разрядов может быть в результате работы алгоритма. Только чётное количество разрядов может получится в результате работы алгоритма .

В старших двух разрядах должны быть цифры 10, т.к. исходное число N не может начинаться с нуля.

В остальных парах попробуем написать 10, чтобы число было как можно больше.

Получается, что число 10101010₂ удовлетворяет всем правилам алгоритма, является наибольшим, и оно меньше 256.

Но важный момент, нас просили в ответ записать нечётное число.

В двоичной системе число, которое оканчивается на ноль, является чётным.

В двоичной системе число, которое оканчивается на единицу, является нечётным.

Чтобы число было нечётным, изменим последние разряды на 01.

10101001₂ = 169
Ответ: 169

Набираем обороты в решении 5 задания из ЕГЭ по информатике 2022.

Задача(Классическая, закрепление)

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если N чётное, в конце числа справа дописываются два нуля, в противном случае справа дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1101 будет преобразована в 110111.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа — результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет больше 130. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Решение на Python.

Минимальное число n получается 33.

Обратите внимание, что здесь уже анализируем число n. Если оно чётное, то к переменной s справа дописываем ’00’ , иначе ’11’ . Так же в этой задаче мы печатаем в ответе само число n.

Решение с помощью рассуждений.

После перевода в двоичную систему исходного числа N, алгоритм строит новое число по следующему правилу:

Бордовым прямоугольником показаны дополнительные разряды.

Нужно найти минимальное число больше 130. Будем проверять последовательно числа, начиная с 131.

Подходит число 135. В ответе нужно указать число N. Отбросим от числа 10000111₂ дополнительные разряды и переведём в десятичную систему.

100001₂ = 33
Ответ: 33

Похожие задачи встречались в сборнике С. С. Крылова для подготовке к ЕГЭ по информатике.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2. Строится двоичная запись полученного результата.

3. К это записи справа дописываются ещё два дополнительных разряда по следующему правилу:

а) Складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописываются в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001.

б) Над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью числа R.

Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше 47. В ответе число N укажите в десятичной системе.

Первый способ. Число R должно быть меньше 47. Переведём число 46 в двоичную систему.

Результат от второго пункта не должен превышать 1011₂. Если результат от второго пункта будет превышать это число, то после добавления дополнительных разрядов получится число R, которое не меньше 47.

Проверим число 1011₂ = 11. Видим, что это число не может являться результатом пункта 2.

11 + 0 = 11 ( остаток при делении 11 на 4 равен 3 ) —
11 + 1 = 12 ( остаток при делении 12 на 4 равен 0 ) —
11 + 2 = 13 ( остаток при делении 13 на 4 равен 1 ) —
11 + 3 = 14 ( остаток при делении 13 на 4 равен 2 ) —

Здесь мы перебираем все остатки при делении на 4. Чтобы число 11 могло являться результатом пункта 2, число, помеченное зелёным цветом , должно совпадать с числом, помеченное оранжевым цветом . Стоит заметить, что если в первой строчке не совпадают числа, то и в остальных они тоже не совпадут. Верно и обратное. Если в первой строчке совпадут числа, то и для остальных остатков тоже числа будут совпадать.

Найдём, число, для которого будут совпадать эти числа, отмеченные зелёным и оранжевым цветом.

10 + 0 = 10 ( остаток при делении 10 на 4 равен 2 ) Не подходит
9 + 0 = 9 ( остаток при делении 9 на 4 равен 1 ) Не подходит
8 + 0 = 8 ( остаток при делении 8 на 4 равен 0 ) Подходит!

Значит, число 8 нам подходит. Число 8 — это результат работы алгоритма в первом пункте. Нас просят найти максимальное число. Следовательно, возьмём остаток 3, чтобы исходное число N было как можно больше. Тогда N будет:

Ответ получается 11.

Второй способ. Решим задачу с помощью Python’а.

Перебираем числа от 100 до 1 с помощью цикла for. Третий параметр «-1» в цикле for говорит о том, что мы перебираем числа в обратном порядке.

В этой программе запрограммировали алгоритм, который указан в задаче. Если значение переменной r (результат работы алгоритма) меньше 47, то печатаем это значение на экран. Первое распечатанное число и есть ответ к задаче.

В переменную n по очереди подставляются числа из нашего диапазона (100-1). Команда % находит остаток от деления.

Функция count, в данном случае, подсчитывает количество единиц в строке, которая находится в переменной n.

Ответ: 11

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

a) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 1000₂ = 8₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, большее 40. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Здесь мы пишем программу, как было написано в уроке видеокурса ЕГЭ по информатике. Но, действительно, встречается и новый приём. Нужно изменить левые символы нашей строки s. Это можно сделать с помощью такой конструкции s[2:]. Таким образом, мы берём всю строку, кроме двух первых символов. Например, s=’football’, то s[2:] будет обозначать ‘otball’.

Повторим основные идеи такого подхода при решении пятого задания из ЕГЭ по информатике с помощью программирования. Перебираем числа от 1 до 999 с помощью цикла for. В этом диапазоне надеемся найти наш ответ. С помощью команды format() превращаем число в строку уже в двоичной системе. Сумма цифр в строке зависит только от количества единиц. Нули ничего не дают в сумму. Поэтому применяем функцию .count. Дальше всё делаем, как написано в условии задачи. Команда int(s, 2) превращает строку в двоичной системе в число опять в десятичной системе счисления.

Задача (Решаем с помощью Python)

Автомат обрабатывает натуральное число N > 1 по следующему алгоритму:

1) Строится двоичная запись числа N.
2) В конец записи (справа) дописывается вторая справа цифра двоичной записи.
3) В конец записи (справа) дописывается вторая слева цифра двоичной записи.
4) Результат переводится в десятичную систему.

Пример. Дано число N = 11. Алгоритм работает следующим образом.
1) Двоичная запись числа N: 11 = 10112
2) Вторая справа цифра 1, новая запись 101112.
3) Вторая слева цифра 0, новая запись 1011102.
4) Десятичное значение полученного числа 46.

При каком наименьшем числе N в результате работы алгоритма получится R > 170? В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Напишем программу на Python.

Получается наименьшее число 43. К последнему символу можем обратится s[-1], к предпоследнему s[-2]. Но счёт слева начинается с нуля. Первый символ это s[0], второй символ s[1] и т.д.

Обратите внимание, что перебирать числа n в этой задаче начинаем с 2.

Задача(Восьмибитное число)

Автомат обрабатывает натуральное число N (1≤N≤255) по следующему алгоритму:

1) Строится восьмибитная двоичная запись числа N.
2) Удаляется последняя цифра двоичной записи.
3) Запись «переворачивается», то есть читается справа налево.
4) Полученное число переводится в десятичную запись и выводится на экран.

Каково наибольшее число, меньшее 100, которое после обработки автоматом не изменится?

Ответ получается 90.

Восьмибитное число имеет длину 8 символов. После того, как перевели число n в двоичный вид, с помощью цикла while добисываем нули слева к строке s, пока длина этой строки меньше 8.

Удалить последнюю цифру можно с помощью конструкции s[:-1]. Здесь мы оставляем все цифры, начиная с первой до последней (не включительно).

Перевернуть строку можно с помощью конструкции s[::-1].

Далее решаем как обычно. Число не изменится, если входное число n равно выходному числу r.

Разберём задачу, которая была в пробном варианте от 3.02.23 в одном из регионов.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

a) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 1;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11;

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 100₂ = 4₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀.

Укажите число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается наименьшее значение R, большее 49. В ответе запишите это число в десятичной системе.

Напишем программу на языке Python.

Хитрость задачки заключается в том, что числа r возрастают неравномерно.

Нам необходимо глазами найти наименьше число r (первое число). Это число 50, а n для него равно 57.

При желании программу можно переписать следующим образом:

Здесь ищется минимальное число r автоматически и для него запоминается значение n, которое пойдет в ответ.

Боковой вариант 5-ого задания из ЕГЭ по информатике.

Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам:

1. Перемножаются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 2465. Суммы: 2 * 4 = 8; 6 * 5 = 30. Результат: 308. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 124.

В подобных задачах из ЕГЭ по информатике нумерация происходит начиная со старшего разряда.

Первое правило можно представить следующим образом:

Второе правило заключается в том, что мы «соединяем» два числа, полученных в первом пункте, причём, сначала идёт большее число, а затем меньшее.

Проанализируем число 124.

Чтобы четырёхзначное число было наибольшим, выгодно, чтобы в старшем разряде стояла 9. Но, не у числа 12, не у числа 4, нет такого делителя. Какой наибольший делитель мы можем получить? Это число 6. Число 6 является делителем 12-ти. Значит, первая цифра будет 6, а вторая цифра будет 2 (6*2=12).

Рассмотрим второе число 4. Третий разряд тоже желательно сделать побольше. Значит, в четвёртый разряд поставим 4, а в младший разряд 1 (4*1=4).

Из числа n вычитается остаток от деления n на 8 после чего прибавляется остаток от деления n на 2

Найти наименьшее натуральное n такое, что остаток от деления x на 8 на 5 больше остатка от деления x на 5 и в 2 раза больше остатка от деления x на 7.

Свел в одну систему, пытался решать как диофантовые уравнения, что то выразить, но не получилось.

задан 24 Янв ’17 15:15

1 ответ

Остаток от деления x на 8 на 5 больше некоторого неотрицательного числа. Значит, он равен 5, 6 или 7. Поскольку он вдвое больше целого, остаток чётен и равен 6. Тогда остаток от деления x на 5 равен 1, а остаток от деления на 7 равен 3.

Получается такая система сравнений: x=6(8), x=1(5), x=3(7). Из первого условия записываем x=8y+6, где y целое, и подставляем в остальные условия. Упрощения дают 3y=0(5) и y=4(7).

Ясно, что y кратно 5, откуда y=5z. В последнем условии получается 5z=4=-10(7), что равносильно z=-2=5(7). Полагаем z=7k+5, и далее y=35k+25, x=8(35k+25)+6=280k+206. Наименьшее натуральное значение равно 206.

Можно сделать проверку на всякий случай: остатки от деления на 8, 5, 7 равны 6, 1, 3 соответственно, и все условия выполняются.

отвечен 24 Янв ’17 15:53

Можно поподробнее, пожалуйста?

@Profy: А что тут подробнее расписывать? Уважаемый @falcao всё расписал. Сначала с помощью ограничений однозначно находим остатки при делении на 8, 5 и 7. Далее решаем стандартную систему с помощью Китайской теоремы об остатках.

@Profy: меня всегда поражают просьбы подробнее изложить вещи, которые изложены максимально подробно, включая даже мелкие арифметические вычисления, которые чаще всего опускают при изложении.

Задание 5. Выполнение, анализ и поиск алгоритмов

За правильное выполненное задание получишь 1 балл. На решение отводится примерно 4 минуты.

Для выполнения задания 5 по информатике необходимо знать:

• Сумма двух цифр в десятичной системе счисления находится в диапазоне от 0 до 18 (9+9)
• В некоторых задачах нужно иметь представление о системах счисления (могут использоваться цифры восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления)
• Бит чётности – это дополнительный контрольный бит, который добавляется к двоичному коду так, чтобы количество единиц в полученном двоичном коде стало чётным; если в исходном коде уже было чётное количество единиц, дописывается 0, если нечётное – дописывается 1.

Задачи для тренировки

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.
2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы её цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.
Укажите минимальное число R, которое превышает число 83 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Базовый уровень, время – 4 мин)

· бит чётности – это дополнительный контрольный бит, который добавляется к двоичному коду так, чтобы количество единиц в полученном двоичном коде стало чётным; если в исходном коде уже было чётное количество единиц, дописывается 0, если нечётное – дописывается 1.

· при добавлении к двоичной записи числа нуля справа число увеличивается в 2 раза

Пример задания:

Р-12. Автомат обрабатывает трёхзначное натуральное число N по следующему алгоритму.

1. Из цифр, образующих десятичную запись N, строятся наибольшее и наименьшее
возможные двузначные числа (числа не могут начинаться с нуля).

2. На экран выводится разность полученных двузначных чисел.

Пример. Дано число N = 351. Алгоритм работает следующим образом.

1. Наибольшее двузначное число из заданных цифр – 53, наименьшее – 13.

2. На экран выводится разность 53 – 13 = 40.

Чему равно наименьшее возможное трёхзначное число N, в результате обработки которого на экране автомата появится число 40?

1) расставим цифры числа в порядке возрастания: a, b, c (среди них могут быть и одинаковые)

2) сначала рассмотрим случай, когда a = b = 0, c ¹ 0; при этом максимальное и минимальное двузначные числа совпадают и равны 10c, а их разность равна 0

3) пусть теперь a = 0, b ¹ 0 и c ¹ 0; тогда максимальное двузначное число – 10c + b, а минимальное – 10b; их разность равна 10(c – b) + b; чтобы эта разность была равна 40, необходимо, чтобы b = 0, а это противоречит исходному предположению

4) остаётся один случай – среди цифр нет нулей; тогда максимальное двузначное число – 10c + b, а минимальное – 10a + b;

5) их разность равна 10(c – a); чтобы эта разность была равна 40, необходимо, чтобы c – a = 4, то есть минимальные значения цифр – c = 5, a = 1; поскольку все цифры ненулевые, то b = 1

6) для получения минимального числа цифры 5, 1 и 1 нужно расставить в порядке неубывания

Ещё пример задания:

Р-11. Автомат обрабатывает натуральное число N по следующему алгоритму.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Удаляются первая слева единица и все следующие непосредственно за

ней нули. Если после этого в числе не остаётся цифр, результат этого

действия считается равным нулю.

3. Полученное число переводится в десятичную запись.

4. Новое число вычитается из исходного, полученная разность выводится на экран.

Пример. Дано число N = 11. Алгоритм работает следующим образом.

1. Двоичная запись числа N: 1011.

2. Удаляется первая единица и следующий за ней ноль: 11.

3. Десятичное значение полученного числа 3.

4. На экран выводится число 11 – 3 = 8.

Сколько разных значений будет показано на экране автомата при последовательном вводе всех натуральных чисел от 500 до 5000?.

1) при удалении первой единицы и всех стоящих сразу за ней нулей фактически из числа вычитается 2 в степени, равной номеру старшего разряда в двоичной записи числа

2) именно это число и будет выведено на экран

3) таким образом, нужно найти количество степеней числа 2, которые находятся между заданными начальным и конечным значениями

4) если начальное число не равно степени числа 2, в двоичной записи первых чисел старший разряд будет соответствовать предыдущей степени двойки, которая не входит в заданный диапазон, поэтому к результату необходимо добавить 1

5) на заданном отрезке [500; 5000] находятся следующие степени числа 2: 512 = 2 9 , 1024 = 2 10 , 2048 = 2 11 , 4096 = 2 12 – всего 4 числа

6) так как 500 – не степень двойки, добавляем ещё одну степень 256 = 2 8

Пример задания:

Р-10. Автомат получает на вход натуральное число X. По этому числу строится трёхзначное число Y по следующим правилам.

1. Первая цифра числа Y (разряд сотен) – остаток от деления X на 2.

2. Вторая цифра числа Y (разряд десятков) – остаток от деления X на 3.

3. Третья цифра числа Y (разряд единиц) – остаток от деления X на 5.

Пример. Исходное число: 55. Остаток от деления на 2 равен 1; остаток от деления на 3 равен 1; остаток от деления на 5 равен 0. Результат работы автомата: 110.

Укажите наименьшее двузначное число, при обработке которого автомат выдаёт результат 104.

Решение (метод подбора, П.Е. Финкель, г. Тимашевск):

1) обозначим искомое число через N

2) остаток от деления на 2, равный 1, говорит о том, что число нечётное

3) таким образом, нужно найти нечётное число, которое делится на 3 и при делении на 5 даёт остаток 4

4) перебираем нечётные двузначные числа, которые при делении на 5 дают остаток 4 и находим для каждого остаток от деления на 3:

N	19	29	39	…
N mod 3	1	2	0

Решение (использование уравнений):

1) обозначим искомое число через N

2) если остаток от деления числа N на число d равен r, то справедливо равенство

где k – целое число

3) тогда из п. 1-3 условия получаем

1. N = 2× k + 1 (N – нечётное)

2. N = 3× m,

3. N = 5× q + 4,

где k, m, q – целые числа

4) наибольшие ограничения накладывает последнее условие (заданный остаток от деления на наибольшее число), поэтому начнём с него

5) объединим второе условие с третьим:

N = 3× m = 5× q + 4,

Мы получили диофантово уравнение в целых числах, оно имеет бесконечно много решений. Найдём перебором одно из решений, а потом, если оно не подошло, будем перебирать остальные, пока не решим задачу.

6) из написанного выше уравнения имеем

7) мы должны получить целое m, используем метод перебора: подставляем в эту формулу разные значения q = 0, 1, 2, … до тех пор, пока не получится целое m; это случится при q = 1, тогда m = 3 и N = 9, но это однозначное число (не подходит по условию, нужно двузначное)

8) продолжаем перебор: поскольку нужно сохранить делимость на 3, далее проверяем значения q = 1+3, 1+2×3, 1+3×3 и т.д

9) при q = 4 получаем m = 8 и N = 24, но это чётное число (не выполняется условие 1)

10) при q = 7 получаем m = 13 и N = 39, это число двузначное и нечётное, это и есть ответ

Ещё пример задания:

Р-09. Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму:

1) вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и четвёртой цифр;

2) из полученных сумм отбрасывается наименьшая;

3) остальные записываются в порядке неубывания.

Пример. Исходное число:1284. Суммы: 1 + 2 = 3; 2 + 8 = 10; 8 + 4 = 12. Отбрасывается наименьшая сумма 3. Результат: 1012. Укажите наименьшее и наибольшее число, при вводе которых автомат выдаёт значение 511.

1) число 511 разбивается на две суммы, расположенные в порядке неубывания (возрастания) однозначно – 5 и 11

2) сначала определим наименьшее возможное число; для этого все цифры с больши́ми значениями нужно «загонять» в конец числа, а все маленькие – в начало

3) первая сумма должна быть наименьшей – она будет отброшена

4) наименьшая возможная первая цифра – 1 (0 выбирать нельзя, иначе число не будет 4-значным); число принимает вид 10**, где * обозначает ещё не определённую цифру

5) второй цифрой можно выбрать наименьшую возможную – 0, при этом сумму второй и третьей можно сделать равной 5, выбрав третью цифру 5; число соответствует шаблону 105*

6) сумма двух последних цифр должна быть равна 11, поэтому последняя цифра = 11 – 5 = 6

7) Ответ: минимальное число – 1056.

8) теперь построим наибольшее число: все «большие» суммы и, соответственно, «большие» цифры сдвигаем влево, к началу числа

9) сначала получим сумму 11 из первых двух цифр; наибольшее число получится, если выбрать старшую цифру 9, а вторую 11 – 9 = 2; получаем число 92**

10) вторая сумма должна быть равна 5, поэтому третья цифра 5 – 2 = 3, получаем 923*

11) последнюю сумму нужно сделать не больше, чем 5 (она будет отброшена), поэтому наибольшее число получается при последней цифре 2 (последняя сумма равна 5)

12) Ответ: максимальное число – 9232.

Ещё пример задания:

Р-08. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число, большее, чем 137. В ответе это число запишите в десятичной системе.

1) фактически к числу дважды дописывается бит чётности, причем уже после шага «а» у нас всегда получится чётное число единиц, поэтому шаг «б» всегда добавит ноль

2) если в конце двоичной записи числа стоит 0, значит, оно чётное; поэтому мы в результате работы алгоритма должно обязательно получиться чётное число

3) по условию, мы должны получить чётное число, большее 137; числа-кандидаты – 138, 140, 142, 144, …

4) проверяем число 138: после выполнения шага 2б оно увеличилось вдвое (приписали 0), поэтому до выполнения этого шага у нас было число 138 : 2 = 69 = 1000101₂; в этом двоичном коде нечётное число единиц (3), поэтому оно не подходит по условию (после шага 2а количество единиц должно стать чётным, так как мы добавили бит чётности)

5) проверяем следующее число-кандидат: 140 : 2 = 70 = 1000110₂, тут тоже 3 единицы, оно тоже не подходит

6) следующее чётное число, 142, при делении на 2 даёт число 71 = 1000111_2, которое содержит чётное число единиц, поэтому оно могло быть получено после шага «а» алгоритма; на этом шаге к нему был добавлен бит чётности, выделенный жёлтым фоном

7) убираем последний бит числа 71 (бит чётности), получаем 35 = 100011₂

Ещё пример задания:

Р-07. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Укажите минимальное число R, которое превышает 43 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

1) фактически к числу дважды дописывается бит чётности, причем уже после шага «а» у нас всегда получится чётное число единиц, поэтому шаг «б» всегда добавит ноль

2) если в конце двоичной записи числа стоит 0, значит, оно чётное

3) минимальное чётное число, которое превышает 43, это 44, но число, полученное из 44 отбрасыванием последнего нуля в двоичной записи (то есть, делением на 2!), 22 = 10110₂, содержит нечётное число единиц, что не допускается по условию – после шага «а» число единиц двоичной записи должно быть чётным

4) следующее чётное число, 46, при делении на 2 даёт число 23 = 10111_2, которое содержит чётное число единиц, поэтому оно могло быть получено после шага «а» алгоритма.

Решение (Р.Р. Нугуманов, г. Альметьевск):

1) Минимальное чётное число, которое превышает 43, это 44, в двоичной системе счисления оно выглядит как 101100₂. В результате работы автомата такое число не может быть получено, потому что содержит нечётное число единиц.

2) Два последних разряда добавляются в результате работы алгоритма. Значит число N, которое было на входе – это 101100₂ без двух последних нулей, то есть 1011₂.

3) Применяем алгоритм к двоичному числу 1011₂:

а) 1011₂ – остаток от деления количества единиц на 2 равен 1, дописываем единицу – 10111₂;

б) 10111₂ – остаток от деления количества единиц на 2 равен 0, дописываем ноль – 101110₂.

4) Переводим в десятичную систему счисления двоичное число 101110₂, полученное в результате работы автомата: 101110₂ = 46.

Ещё пример задания:

Р-06. Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4; 6 + 5 = 11. Результат: 114.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 1311.

1) единственный способ разбить запись 1311 на два числа – это 13 и 11 (числа 131 и 311 не могут образоваться в результате сложения значений двух десятичных цифр)

2) сумма первой и второй цифр должна быть наименьшей (тогда и число будет меньше!), она равна 11; тогда сумма значений двух последних цифр равна 13

3) для того чтобы всё число было минимально, числа, составленные из первых двух и последних двух цифр должны быть минимальными соответственно для сумм 11 и 13

4) минимальное двузначное число, у которого сумма значений цифр равна 11, — это 29, с этих двух цифр начинается исходное четырёхзначное число

5) сумма двух последних цифр – 13, минимальное двузначное число с такой суммой цифр – 49.

Ещё пример задания:

Р-05. В некоторой информационной системе информация кодируется двоичными шестиразрядными словами. При передаче данных возможны их искажения, поэтому в конец каждого слова добавляется седьмой (контрольный) разряд таким образом, чтобы сумма разрядов нового слова, считая контрольный, была чётной. Например, к слову 110011 справа будет добавлен 0, а к слову 101100 – 1.

После приёма слова производится его обработка. При этом проверяется сумма его разрядов, включая контрольный. Если она нечётна, это означает, что при передаче этого слова произошёл сбой, и оно автоматически заменяется на зарезервированное слово 0000000. Если она чётна, это означает, что сбоя не было или сбоев было больше одного. В этом случае

принятое слово не изменяется.

Исходное сообщение

1100101 1001011 0011000

было принято в виде

1100111 1001110 0011000.

Как будет выглядеть принятое сообщение после обработки?

1) 1100111 1001011 0011000

2) 1100111 1001110 0000000

3) 0000000 0000000 0011000

4) 0000000 1001110 0011000

1) по условию в правильно принятом блоке число единиц должно быть чётное

2) в принятом сообщении 1100111 1001110 0011000 нечётное число единиц (5) только в первом блоке, поэтому он будет заменён на нули

Возможные ловушки проблемы: · не нужно сравнивать полученное сообщение с исходным; если при передаче блока произошло чётное число ошибок, то приёмник не сможет обнаружить ошибку и будет считать этот блок правильным

Ещё пример задания:

Р-04. Учитель предлагает детям три цифры. Ученики должны сначала найти сумму

первой и второй цифр, потом – сумму второй и третьей цифр. Затем полученные числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (правое число меньше или равно левому).

Пример. Исходные цифры: 6, 3, 9. Суммы: 6 + 3 = 9; 3 + 9 = 12. Результат: 129.

Укажите, какая из следующих последовательностей символов может быть получена в результате.

1) 1915 2) 1815 3) 188 4) 1518

1) число записано в десятичной системе счисления, поэтому все цифры меньше или равны 9, так что при сложении двух таких чисел может получиться сумма от 0 до 18

2) в первом варианте ответа 4 цифры, это два двузначных числа, записанные подряд; заметим, что первое число – 19, такая сумма не могла получиться, поэтому это неправильный ответ

3) в ответе 4 тоже две суммы, 15 и 18, но они стоят в порядке возрастания, поэтому это тоже неверный ответ

4) в ответах 2 и 3 два числа стоят в порядке убывания (18 и 15 в ответе 2, 18 и 8 в ответе 3), это соответствует условию

5) чтобы выбрать между ответами 2 и 3, нужно вспомнить, что вторая цифра по условию входит в обе суммы

6) заметим, что если сумма равна 18, то обе цифры (в том числе вторая) равны 9, поэтому другая сумма не может получиться меньше 9; это означает, что ответ 3 (188) неверный

Ещё пример задания:

Р-03. Автомат получает на вход два двузначных шестнадцатеричных числа. В этих

числах все цифры не превосходят цифру 6 (если в числе есть цифра больше 6, автомат отказывается работать). По этим числам строится новое

шестнадцатеричное число по следующим правилам.

1. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма старших разрядов полученных чисел и сумма младших разрядов этих чисел.

2. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходные числа: 66, 43. Поразрядные суммы: A, 9. Результат: 9A.

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 9F 2) 911 3) 42 4) 7A

1) по условию обе цифры числа меньше или равны 6, поэтому при сложении двух таких чисел может получиться сумма от 0 до 12 = C­₁₆

2) из п. 1 сразу делаем вывод, что цифры F в записи числа быть не может, вариант 1 не подходит

3) каждая из двух сумм находится в интервале 0..12, поэтому записывается одной шестнадцатеричной цифрой, так что результат работы автомата всегда состоит ровно из двух цифр

4) из п. 2 следует, что вариант 2, состоящий из трех цифр, не подходит

5) по условию цифры записаны в порядке возрастания, поэтому вариант 3 не подходит

6) остается вариант 4, в котором все условия соблюдаются

Ещё пример задания:

Р-02. Автомат получает на вход два трехзначных числа. По этим числам строится новое число по следующим правилам. Вычисляются три числа – сумма старших разрядов заданных трехзначных чисел, сумма средних разрядов этих чисел, сумма младших разрядов.

Полученные три числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример.

Исходные трехзначные числа: 835, 196. Поразрядные суммы: 9, 12, 11. Результат: 12119

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 151303 2) 161410 3) 191615 4) 121613

1) итак, число строится из трех чисел, каждое из которых может быть однозначным (от 0 до 9) или двузначным (от 10 до 9 + 9 = 18)

2) если в числе 6 цифр, значит соединены три двузначных числа; в первом числе одно из них записывается как «03», что недопустимо (в этом случае правильное число было бы записано как 15133)

3) в третьем числе тоже 6 цифр: три двузначных числа, первое из которых равно 19, чего не может быть (никакие два однозначных числа не могут дать такую сумму)

4) в четвертом числе тоже 6 цифр: три числа 12, 16 и 13 расположены НЕ в порядке убывания, поэтому этот вариант неверен

5) во втором варианте никаких противоречий с условием нет

6) таким образом, ответ: 2.

Еще пример задания:

Р-01. Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, сумму значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 141819 2) 171418 3) 141802 4) 171814

1) заметим, что сумма двух однозначных чисел – это число от 0 до 18 включительно

2) все предложенные числа шестизначные, поэтому все суммы, из которых составлены числа, должны быть двузначными

1) 141819 2) 171418 3) 141802 4) 171814

3) поскольку числа 19 быть не может (его не получить суммой двух однозначных чисел), этот вариант не подходит

4) из условия (2) следует, что первые два двузначных числа должны быть расположены по возрастанию (неубыванию), поэтому вариант 2 не подходит

5) при записи числа 2 ноль впереди не добавляется (в условии про это ничего не сказано), поэтому третий вариант тоже не подходит

6) вариант 4 удовлетворяет всем условиям.

7) таким образом, ответ: 4.

Ещё пример задания:

Р-00. Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1) CBB 2) EAC 3)BCD 4) BCB

Решение (краткий вариант):

1) проверяем первое условие: «В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C». Ему не удовлетворяет цепочка BCD, ее можно вычеркнуть:

1) CBB 2) EAC 3)BCD 4) BCB

2) проверяем второе условие: «На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем месте». Ему не удовлетворяют цепочки EAC (на первом месте – E) и BCB (на первом и третьем местах стоит буква B), поэтому остается только вариант CBB:

3) проверяем третье условие: «В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте». К счастью, оставшаяся цепочка CBB ему удовлетворяет.

4) таким образом, правильный ответ – 1.

Возможные проблемы: · не все могут сделать подобный анализ в уме

Решение (подробный вариант):

1) правило содержит три условия, обозначим их так:

У1: третья бусина – A, B или C

У2-3: первая бусина – B, D или C, не совпадающая с третьей

У4-5: вторая бусина – A, B, C или E, не совпадающая с первой

2) фактически условия У2-3 и У4-5 сложные, их можно разбить на два, так что получится всего пять условий

У1: третья бусина – A, B или C

У2: первая бусина – B, D или C

У3: первая и третья бусины – разные

У4: вторая бусина – A, B, C или E

У5: первая и вторая бусины – разные

3) теперь для каждого из ответов проверим выполнение всех условий; в таблице красный крестик обозначает, что условие не выполняется для данного варианта; зеленым цветом выделена строка, где нет ни одного крестика, то есть все условия выполняются:

4) таким образом, правильный ответ – 1.

Задачи для тренировки[1]:

1) В формировании цепочки из четырех бусин используются некоторые правила: В конце цепочки стоит одна из бусин Р, N, Т, O. На первом – одна из бусин P, R, T, O, которой нет на третьем месте. На третьем месте – одна из бусин O, P, T, не стоящая в цепочке последней. Какая из перечисленных цепочек могла быть создана с учетом этих правил?

1) PORT 2) TTTO 3)TTOO 4) OOPO

2) Для составления цепочек разрешается использовать бусины 5 типов, обозначаемых буквами А, Б, В, Е, И. Каждая цепочка должна состоять из трех бусин, при этом должны соблюдаться следующие правила:

а) на первом месте стоит одна из букв: А, Е, И,

б) после гласной буквы в цепочке не может снова идти гласная, а после согласной – согласная,

в) последней буквой не может быть А.

Какая из цепочек построена по этим правилам?

1)АИБ 2) ЕВА 3) БИВ 4) ИБИ

3) Для составления цепочек используются бусины, помеченные буквами: A, B, C, D, E. На первом месте в цепочке стоит одна из бусин A, C, E. На втором – любая гласная, если первая буква согласная, и любая согласная, если первая гласная. На третьем месте – одна из бусин C, D, E, не стоящая в цепочке на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1) CBE 2) ADD 3) ECE 4) EAD

4) Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу: На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, Б, В. На втором – одна из бусин Б, В, Г. На третьем месте – одна из бусин А, В, Г, не стоящая в цепочке на первом или втором месте. Какая из следующих цепочек создана по этому правилу:

1) АГБ 2) ВАГ 3) БГГ 4) ББГ

5) Для составления 4-значных чисел используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, при этом соблюдаются следующие правила:

· На первом месте стоит одна из цифр 1, 2 или 3.

· После каждой четной цифры идет нечетная, а после каждой нечетной — четная

· Третьей цифрой не может быть цифра 5.

Какое из перечисленных чисел получено по этим правилам?

1) 4325 2) 1432 3) 1241 4) 3452

6) Для составления цепочек используются разные бусины, которые условно обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Каждая такая цепочка состоит из 4 бусин, при этом соблюдаются следующие правила построения цепочек:

· На первом месте стоит одна из бусин 1, 4 или 5.

· После четной цифры в цепочке не может идти снова четная, а после нечетной – нечетная.

· Последней цифрой не может быть цифра 3.

Какая из перечисленных цепочек создана по этим правилам?

1) 4325 2) 4123 3) 1241 4) 3452

7) Для составления цепочек используются разноцветные бусины: темные – синяя (С), зеленая (3) и светлые – желтая (Ж), белая (Б), голубая (Г). На первом месте в цепочке стоит бусина синего или желтого цвета. В середине цепочки – любая из светлых бусин, если первая бусина темная, и любая из темных бусин, если первая бусина светлая. На последнем месте – одна из бусин белого, голубого или зеленого цвета, не стоящая в цепочке в середине. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1) ЖСГ 2) БГЗ 3) СГЖ 4) ЖБС

8) Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу: на первом месте стоит одна из бусин Б, В, Г. На втором – одна из бусин А, Б, В. На третьем месте – одна из бусин А, В, Г, не стоящая в цепочке на первом или втором месте. Какая из цепочек создана по этому правилу?

1) АГБ 2) ВАА 3) БГВ 4) ГБА

9) Для составления цепочек используются разноцветные бусины: темные – красная (К), синяя (С), зеленая (3), и светлые – желтая (Ж), белая (Б). На первом месте в цепочке стоит бусина красного, синего или белого цвета. В середине цепочки — любая из светлых бусин, если первая бусина темная, и любая из темных бусин, если первая бусина светлая. На последнем месте – одна из бусин белого, желтого или синего цвета, не стоящая в цепочке в середине. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1) КЖС 2) БКЗ 3) СЗЖ 4) ЗКС

10) Для составления цепочек используются разные бусины, которые условно обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Каждая такая цепочка состоит из 4 бусин, при этом соблюдаются следующие правила построения цепочек: На втором месте стоит одна из бусин 2, 3 или 4. После четной цифры в цепочке не может идти снова четная, а после нечетной – нечетная. Последней цифрой не может быть цифра 2. Какая из перечисленных цепочек создана по этим правилам?

1) 4321 2) 4123 3) 1241 4) 3452

11) Джентльмен пригласил даму в гости, но вместо кода цифрового замка своего подъезда отправил ей такое сообщение: «В последовательности 52186 все четные цифры нужно разделить на 2, а из нечетных вычесть 1. Затем удалить из полученной последовательности первую и последнюю цифры». Определите код цифрового замка.

1) 104 2) 107 3) 218 4) 401

12) Кассир забыл пароль к сейфу, но помнил алгоритм его получения из строки «AYY1YABC55»: если последовательно удалить из строки цепочки символов «YY» и «ABC», а затем поменять местами символы A и Y, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) A1Y55 2) A155 3) A55Y1 4) Y1A55

13) Вася забыл пароль к Windows XP, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «B265C42GC4»: если все последовательности символов «C4» заменить на «F16», а затем из получившейся строки удалить все трехзначные числа, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) BFGF16 2) BF42GF16 3) BFGF4 4) BF16GF

14) Вася забыл пароль к Windows XP, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «23ABN12QR8N»: если последовательности символов «AB» и «QR» поменять местами, а затем из получившейся строки удалить все символы «N», то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) 23AB12QR8 2) 23QR12AB8 3) 23QRAB8 4) 23QR128

15) Шифровальщику нужно восстановить забытое кодовое слово. Он помнит, что на третьем месте стоит одна из букв Д, З, Е. на четвертом месте – И, К или Е, не стоящая на третьем месте. На первом месте – одна из букв Д, З, К, И, не стоящая в слове на втором или четвертом месте. На втором месте стоит любая согласная, если третья буква гласная, и любая гласная, если третья согласная. Определите кодовое слово:

1) ДИЕК 2) КДЕК 3) ИЗЕЕ 4) ДИДЕ

16) Витя пригласил своего друга Сергея в гости, но не сказал ему код от цифрового замка своего подъезда, а послал следующее SMS-сообщение: «в последовательности чисел 3, 1, 8, 2, 6 все числа больше 5 разделить на 2, а затем удалить из полученной последовательности все четные числа». Выполнив указанные в сообщении действия, Сергей получил следующий код для цифрового замка:

1) 3, 1 2) 1, 1, 3 3) 3, 1, 3 4) 3, 3, 1

17) Вася забыл пароль для запуска компьютера, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «Q3RXWEQ3Q»: если все последовательности символов «RXW» заменить на «14», «Q3» на «SD3», а затем из получившейся строки удалить три последних символа, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) SD314ES 2) SD314E 3) Q314ESD3Q 4) SD314S

18) Маша забыла пароль для запуска компьютера, но помнила алгоритм его получения из строки подсказки «0B212W0B0»: если все последовательности символов «212» заменить на «RP», «0B0» на «QRQR», а затем из получившейся строки удалить три последних символа, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) 0BRPWQ 2) QRQRRPWQ 3) 0BRPW 4) 0BWQRQR

19) Глаша забыла пароль для запуска компьютера, но помнила алгоритм его получения из строки подсказки «0987309871»: если все последовательности символов «0987» заменить на «00», а затем из получившейся строки удалить сочетания символов «30», то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

1) 30001 2) 001 3) 000 4) 0001

20) При составлении расписания на вторник учителя высказали свои пожелания по поводу расположения первых пяти уроков. Учитель химии (Х) хочет иметь второй или третий урок, учитель литературы (Л) – первый или второй, учитель информатики (И) – первый или четвертый, учитель технологии (Т) – третий или четвертый, учителя английского языка (А) устраивают только четвертый или пятый уроки. Какое расписание устроит всех учителей?

1) ИЛТХА 2) ЛХТИА 3) ЛХИТА 4) ИХТЛА

21) Цепочка строится из бусин четырех типов, обозначенных буквами А, Б, В, И. Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу: 1) цепочка начинается согласной буквой; 2) после гласной буквы не может снова стоять гласная, а после согласной – согласная; 3) последней буквой не может быть А или В. Какая из следующих цепочек создана по этому правилу:

1) БВИ 2) АВИ 3) БАВ 4) БИБ

22) Лена забыла пароль для входа в Windows XP, но помнила алгоритм получения из символов «A153B42FB4» в строке подсказки: последовательность символов «В4» заменить на «B52» и из получившейся строки удалить все трехзначные числа, то полученная последовательность будет паролем:

1) ABFB52 2) AB42FB52 3) ABFB4 4) AB52FB

23) При составлении четырехзначных чисел используются цифры 1, 2, 3, 4 и 5. При этом соблюдаются следующие правила:

а) на первом месте стоит одна из цифр 1, 2 или 3;

б) после каждой четной цифры идет нечетная, после каждой нечетной – четная;

в) третьей не может быть цифра 5.

Какое из перечисленных чисел создано по этим правилам:

1) 4325 2) 1432 3) 1241 4) 3452

24) При составлении расписания на вторник учителя высказали свои пожелания по поводу расположения первых пяти уроков. Учитель математики (М) хочет иметь первый или второй урок, учитель физики (Ф) – второй или третий, учитель информатики (И) – первый или четвертый, учитель биологии (Б) – третий или четвертый. Какое расписание устроит всех учителей?

1) ИМБФ 2) МИФБ 3) МФБИ 4) МБФИ

25) Пятизначное число формируется из цифр 0, 1, 3, 5, 7, 9. Известно, что число строится по следующим правилам: а) число делится без остатка на 10; б) модуль разности любых двух соседних цифр не менее 1. Какое из следующих чисел удовлетворяет всем условиям?

1) 56710 2) 19910 3) 75310 4) 11110

26) Из букв русского алфавита формируется слово. Известно, что слово строится по следующим правилам: а) в слове нет повторяющихся букв; б) все буквы слова идут в прямом или обратном алфавитном порядке, исключая, возможно, первую. Какое из следующих слов удовлетворяет всем условиям?

1) ИРА 2) ОЛЬГА 3) СОНЯ 4) ЗИНА

27) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 91311 2) 111319 3) 1401 4) 131118

28) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 131214 2) 172114 3) 131712 4) 121407

29) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 131703 2) 151710 3) 17513 4) 191715

30) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 141215 2) 121514 3) 141519 4) 112112

31) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 141310 2) 102113 3) 101421 4) 101413

32) Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трехзначными десятичными числами:

1) Записывается результат сложения старших разрядов этих чисел.

2) К нему дописывается результат сложения средних разрядов по такому правилу: если он меньше первой суммы, то полученное число приписывается к первому слева, иначе – справа.

3) Итоговое число получают приписыванием справа к числу, полученному после второго шага, суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Какое из перечисленных чисел могло быть построено по этому правилу?

1) 141819 2) 171814 3) 171418 4) 141802

33) Автомат получает на вход два двузначных шестнадцатеричных числа. В этих числах все цифры не превосходят цифру 6 (если в числе есть цифра больше 6, автомат отказывается работать). По этим числам строится новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

1) Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма старших разрядов заданных чисел и сумма младших разрядов этих чисел.

2) Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходные числа: 66, 43. Поразрядные суммы: A, 9. Результат: 9A.

Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом работы автомата:

1) AF 2) 410 3) 8B 4) 76

34) Автомат получает на вход два двузначных шестнадцатеричных числа. В этих числах все цифры не превосходят цифру 5 (если в числе есть цифра больше 5, автомат отказывается работать). По этим числам строится новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

1) Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма старших разрядов заданных чисел и сумма младших разрядов этих чисел.

2) Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходные числа: 55, 43. Поразрядные суммы: 9, 8. Результат: 89.

Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом работы автомата:

1) 8A 2) 410 3) 9C 4) 76

35) (http://ege.yandex.ru) Автомат получает на вход два двузначных восьмеричных числа. По этим числам строится новое восьмеричное число по следующим правилам.

1) Вычисляются два восьмеричных числа – сумма старших разрядов заданных чисел и сумма младших разрядов этих чисел.

2) Полученные два восьмеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходные числа: 66₈, 43₈. Поразрядные суммы: 12₈, 11₈. Результат: 1112.
Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом работы автомата.

1) 1121 2) 112 3) 73 4) 28

36) (http://ege.yandex.ru) Саша и Женя играют в такую игру. Саша пишет слово русского языка. Женя заменяет в нем каждую букву на другую букву так, чтобы были выполнены такие правила.

a. Гласная буква меняется на согласную, согласная – на гласную.

b. В получившемся слове буквы следуют в алфавитном порядке.

Пример. Саша написала: ЖЕНЯ. Женя может написать, например, ЕНОТ или АБУЧ. Но не может написать МАМА или ИВАН.

Для справки. В алфавите буквы идут в таком порядке: АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

Саша написала: КОТ. Укажите, какое из следующих слов может написать Женя.

1) ЭЛЬ 2) ЕНОТ 3) АНЯ 4) ЭЛЯ

37) (http://ege.yandex.ru) Коля и Саша играют в игру с числами. Коля записывает четырехзначное десятичное число, в котором нет нечетных цифр, т.е. цифр 1, 3, 5, 7, 9. Саша строит из него новое число по следующим правилам.

a. Вычисляются два числа – сумма крайних разрядов Колиного числа и сумма средних разрядов Колиного числа.

b. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Колино число: 2864. Поразрядные суммы: 6, 14. Сашин результат: 146.

Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Колином числе.

1) 112 2) 121 3) 124 4) 222

38) (http://ege.yandex.ru) Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 5. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

a. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа.

b. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Женино число: 5532. Поразрядные суммы: A, 5. Сашин результат: 5A.

Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе.

1) 210 2) 59 3) 5B 4) A4

39) Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 6. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

a. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа.

b. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Женино число: 6543. Поразрядные суммы: B, 7. Сашин результат: 7B.

Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе.

1) 4E 2) 67 3) 710 4) A6

40) Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 6. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

a. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа.

b. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Женино число: 3456. Поразрядные суммы: 7, B. Сашин результат: B7.

Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе.

1) 93 2) D5 3) 119 4) 6B

41) Автомат получает на вход трехзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1) Перемножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры числа.

2) Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 157. Произведения: 1*5=5, 5*7=35. Результат: 535.
Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом работы автомата.

1) 197 2) 1218 3) 186 4) 777

42) Автомат получает на вход трехзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1) Перемножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры числа.

2) Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 157. Произведения: 1*5=5, 5*7=35. Результат: 535.
Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом работы автомата.

1) 1214 2) 1612 3) 2433 4) 244

43) Автомат получает на вход четырехзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей)

Пример. Исходное число: 8754. Суммы: 8+7 = 15; 5+4 = 9. Результат: 915.

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата

1) 219 2) 118 3) 1411 4) 151

44) Автомат получает на вход четырехзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей)

Пример. Исходное число: 8754. Суммы: 8+7 = 15; 5+4 = 9. Результат: 159.

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата

1) 112 2) 191 3) 1114 4) 1519

45) Автомат получает на вход четырёхзначное восьмеричное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 4531. Суммы: 4+5 = 11₈; 3+1 = 4. Результат: 411. Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 117 2) 1213 3) 1511 4) 1517

46) Автомат получает на вход четырёхзначное восьмеричное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 4531. Суммы: 4+5 = 11₈; 3+1 = 4. Результат: 411. Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 811 2) 717 3) 1511 4) 1214

47) Учитель предложил детям потренироваться в действиях с шестнадцатеричными цифрами и поиграть в такую игру. Он предлагает детям три шестнадцатеричные цифры, следующие в порядке невозрастания. Ученики должны сначала найти разность первой и второй цифр, потом — разности второй и третьей цифр. Обе разности должны быть записаны как десятичные числа. Затем эти числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (правое число меньше или равно левому).

Укажите, какая из следующих последовательностей символов может быть получена в результате.

1) 131 2) 133 3) 212 4) D1

48) Учитель предложил детям потренироваться в действиях с шестнадцатеричными цифрами и поиграть в такую игру. Он предлагает детям три шестнадцатеричные цифры, следующие в порядке невозрастания. Ученики должны сначала найти разность первой и второй цифр, потом — разности второй и третьей цифр. Обе разности должны быть записаны как десятичные числа. Затем эти числа записываются друг за другом в порядке неубывания (правое число больше или равно левому).

Укажите, какая из следующих последовательностей символов может быть получена в результате.

1) 122 2) 212 3) 313 4) 3А

49) Автомат получает на вход четырёхзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 8754. Суммы: 8+7 = 15; 5+4 = 9. Результат: 915. Определите, сколько из приведённых ниже чисел могут быть получены, как результат работы автомата.

1419 1518 406 911

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

50) Автомат получает на вход четырёхзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 5487. Суммы: 5+4 = 9; 8+7 = 15. Результат: 159. Определите, сколько из приведённых ниже чисел могут быть получены, как результат работы автомата.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

51) (http://ege.yandex.ru) Автомат получает на вход трехзначное десятичное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Перемножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное трехзначное числа: 157. Произведения: 1*5=5; 5*7=35. Результат: 355.

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 1014 2) 1812 3) 4512 4) 777

52) Учитель предлагает детям три цифры. Ученики должны сначала найти сумму первой и второй цифр, потом – сумму второй и третьей цифр. Затем полученные числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (правое число меньше или равно левому).

Пример. Исходные цифры: 4, 3, 8. Суммы: 4 + 3 = 7; 3 + 8 = 11. Результат: 117.

Укажите, какая из следующих последовательностей символов может быть получена в результате.

1) 1916 2) 176 3) 1716 4) 34

53) Учитель предлагает детям три цифры. Ученики должны сначала найти сумму первой и второй цифр, потом – сумму второй и третьей цифр. Затем полученные числа записываются друг за другом в порядке неубывания (правое число больше или равно левому).

Пример. Исходные цифры: 4, 3, 8. Суммы: 4 + 3 = 7; 3 + 8 = 11. Результат: 711.

Укажите, какая из следующих последовательностей символов может быть получена в результате.

1) 1619 2) 515 3) 75 4) 815

54) (ege.yandex.ru) Учитель предложил детям потренироваться в действиях с шестнадцатеричными цифрами и поиграть в такую игру. Учитель предлагает детям три шестнадцатеричные цифры. Ученики должны сначала найти сумму первой и второй цифр, потом — сумму второй и третьей цифр. Обе суммы должны быть записаны, как шестнадцатеричные числа. Затем эти числа записываются друг за другом в порядке убывания.

Пример. Исходные цифры: A, A, 3. Суммы: A + A = 14; A + 3 = D. Результат: 14D. Укажите, какое из следующих чисел может быть получено в результате.

1) 214 2) 904 3) F4 4) G4

55) Учитель предложил детям потренироваться в действиях с шестнадцатеричными цифрами и поиграть в такую игру. Учитель предлагает детям три шестнадцатеричные цифры. Ученики должны сначала найти разность первой и второй цифр, потом — разность второй и третьей цифр. Обе разности должны быть записаны, как десятичные числа. Затем эти числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (правое число меньше или равно левому).

Пример. Исходные цифры: A, A, 3. Разности: A₁₆ — A₁₆ = 0; A₁₆ — 3₁₆ = 10 – 3 = 7. Результат: 70. Укажите, какое из следующих чисел может быть получено в результате.

1) 131 2) 133 3) 212 4) D1

56) Учитель предложил детям потренироваться в действиях с шестнадцатеричными цифрами и поиграть в такую игру. Учитель предлагает детям три шестнадцатеричные цифры. Ученики должны сначала найти разность первой и второй цифр, потом — разность второй и третьей цифр. Обе разности должны быть записаны, как десятичные числа. Затем эти числа записываются друг за другом в порядке неубывания (правое число больше или равно левому).

Пример. Исходные цифры: A, A, 3. Разности: A₁₆ — A₁₆ = 0; A₁₆ — 3₁₆ = 10 – 3 = 7. Результат: 07. Укажите, какое из следующих чисел может быть получено в результате.

1) 122 2) 212 3) 313 4) 3A

57) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4; 6 + 5 = 11. Результат: 114.

Укажите максимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 1412.

58) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4; 6 + 5 = 11. Результат: 114.

Укажите минимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 1412.

59) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4; 6 + 5 = 11. Результат: 411.

Укажите максимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 912.

60) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4; 6 + 5 = 11. Результат: 411.

Укажите минимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 79.

61) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и третья, а также вторая и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 6 = 9; 1 + 5 = 6. Результат: 69.

Укажите минимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 1113.

62) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и третья, а также вторая и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 6 = 9; 1 + 5 = 6. Результат: 69.

Укажите максимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 1315.

63) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и третья, а также вторая и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 6 = 9; 1 + 5 = 6. Результат: 69.

Укажите максимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 35.

64) Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Складываются первая и третья, а также вторая и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 6 = 9; 1 + 5 = 6. Результат: 69.

Укажите минимальное число, в результате обработки которого, автомат выдаст число 58.

65) Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое

число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 348. Суммы: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Результат: 127.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 157.

66) Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое

число по следующим правилам.

1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа.

Из числа n вычитается остаток от деления n на 8 после чего прибавляется остаток от деления n на 2

На вход алгоритма подаётся натуральное число N . Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N .
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:
а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;
б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N ) является двоичной записью искомого числа R .
Укажите минимальное число R , которое превышает 43 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N . Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N .
2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:
а) складываются все цифры двоичной записи числа N , и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;
б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N ) является двоичной записью результирующего числа R .
Укажите такое наименьшее число N , для которого результат работы алгоритма больше числа 77. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Из числа n вычитается остаток от деления n на 8 после чего прибавляется остаток от деления n на 2

ВАРИАНТ 1

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Далее если исходное число четное, то справа к построенной двоичной записи числа N приписывается 0, если нечетное, то приписывается 1.

3) Далее полученная на втором шаге алгоритма запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если количество единиц в двоичной записи кратно трем, то в этой записи два левых разряда заменяются на 11;

б) если количество единиц в двоичной записи некратно трем, то в этой записи два левых разряда заменяются на 10.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6 ₁₀ = 110 ₂ результатом является число 1000 ₂ = 8 ₁₀ , а для исходного числа 3 ₁₀ = 11 ₂ , результатом является число 111 ₂ = 7 ₁₀ .

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, не меньшее чем 26. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(1,30): #перебираем х
N=str(bin(x)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b
if N[-1]== ‘0’: # преобразование 2 шага
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’

if N.count(‘1’)%3 == 0: # преобразование 3 шага
R=N.replace(N[:2],’11’, 1)
else:
R=N.replace(N[:2],’10’, 1)

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы значений видим, что наименьшее N = 9 для R = 27

Ответ: 9

ВАРИАНТ 2

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Далее если исходное число четное, то справа к построенной двоичной записи числа N приписывается 0, если нечетное, то приписывается 1.

3) Далее полученная на втором шаге алгоритма запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если количество единиц в двоичной записи кратно трем, то в этой записи два левых разряда заменяются на 11;

б) если количество единиц в двоичной записи некратно трем, то в этой записи два левых разряда заменяются на 10.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 1000₂ = 8₁₀, а для исходного числа 3₁₀ = 11₂, результатом является число 111₂ = 7₁₀.

Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, не большее чем 37. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(1,30): #перебираем х
N=str(bin(x)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b
if N[-1]== ‘0’: # преобразование 2 шага
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’

if N.count(‘1’)%3 == 0: # преобразование 3 шага
R=N.replace(N[:2],’11’, 1)
else:
R=N.replace(N[:2],’10’, 1)

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы значений видим, что наибольшее N = 25 для R = 35

Ответ: 25

ВАРИАНТ 3

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если количество значащих цифр в двоичной записи числа четное, то к этой записи в середину дописывается 1;

б) если количество значащих цифр в двоичной записи числа нечетное, то запись не изменяется.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 5₁₀ = 101₂ результатом является число 101₂ = 5₁₀, а для исходного числа 2₁₀ = 10₂, результатом является число 110₂ = 6₁₀.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, не меньшее чем 26. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы значений видим, что наименьшее N = 12 для R = 28

Ответ: 12

ВАРИАНТ 4

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если количество значащих цифр в двоичной записи числа четное, то к этой записи в середину дописывается 1;

б) если количество значащих цифр в двоичной записи числа нечетное, то запись не изменяется.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 5₁₀ = 101₂ результатом является число 101₂ = 5₁₀, а для исходного числа 2₁₀ = 10₂, результатом является число 110₂ = 6₁₀.

Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, не большее чем 26. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы значений видим, что наибольшее N = 26 для R = 26

Ответ: 26

ВАРИАНТ 5

Автомат получает на вход трехзначное число. По этому число строится новое число по следующим правилам:

1. Вычисляются суммы квадратов первой и второй, а также второй и третьей цифр исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 621. Суммы квадратов цифр: 6 2 + 2 2 = 40; 2 2 + 1 2 = 5. Результат: 405. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 9752.

if (a ** 2 + b**2 == 97 and b**2 + c**2 == 52) or (a ** 2 + b**2 == 52 and b**2 + c**2 == 97):
c, a = sorted((a, c))

print(a*100 +b*10+c)
break

Ответ: 946

ВАРИАНТ 6

Автомат получает на вход трехзначное число. По этому число строится новое число по следующим правилам:

1. Вычисляются суммы квадратов первой и второй, а также второй и третьей цифр исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 621. Суммы квадратов цифр: 6 2 + 2 2 = 40; 2 2 + 1 2 = 5. Результат: 405. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 7434.

a= x//100
b = (x//10)%10
c = x % 10

if (a ** 2 + b**2 == 74 and b**2 + c**2 == 34) or (a ** 2 + b**2 == 34 and b**2 + c**2 == 74):
c, a = sorted((a, c))

print(a*100 +b*10+c)
break

Ответ: 753

ВАРИАНТ 7

Автомат получает на вход трехзначное число. По этому число строится новое число по следующим правилам:

1. Перемножаются все цифры исходного числа.

2. Суммируются все цифры исходного числа.

3. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 621. Произведение цифр 6х2х1 = 12. Суммы цифр: 6 + 2 + 1 = 9 Результат: 129. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 33621.

for x in range(100,1000):
a= x//100
b = (x//10)%10
c = x % 10
p = a * b * c
s = a + b + c

if p == 336 and s == 21:
c,b,a = sorted((a,b,c))
print(a*100 + b*10 + c)
break

Ответ: 876

ВАРИАНТ 8

Автомат получает на вход трехзначное число. По этому число строится новое число по следующим правилам:

1. Перемножаются все цифры исходного числа.

2. Суммируются все цифры исходного числа.

3. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 621. Произведение цифр 6х2х1 = 12. Суммы цифр: 6 + 2 + 1 = 9 Результат: 129. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 24019.

for x in range(100,1000):
a= x//100
b = (x//10)%10
c = x % 10
p = a * b * c
s = a + b + c

if p == 240 and s == 19:
c,b,a = sorted((a,b,c))
print(a*100 + b*10 + c)
break

Ответ: 865

ВАРИАНТ 9

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, большее 56, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(5,20): #перебираем х
N = x — x % 4
N=str(bin(N)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b

if N.count(‘1’)%2 == 0:
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’
if N.count(‘1’)%2 == 0:
R = N + ‘0’
else:
R = N + ‘1’

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Ответ: 66

ВАРИАНТ 10

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, большее 100, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(20,35): #перебираем х

N = x — x % 4
N=str(bin(N)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b

if N.count(‘1’)%2 == 0:
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’
if N.count(‘1’)%2 == 0:
R = N + ‘0’
else:
R = N + ‘1’

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что минимальное больше 100, R=114.

Ответ: 114

ВАРИАНТ 11

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше числа 64. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(10,35): #перебираем х
N = x — x % 4
N=str(bin(N)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b

if N.count(‘1’)%2 == 0:
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’
if N.count(‘1’)%2 == 0:
R = N + ‘0’
else:
R = N + ‘1’

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что наибольшее N=15, соответствует R=48

Ответ: 15

ВАРИАНТ 12

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше числа 47. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Из таблицы полученных значений мы видим, что наибольшее N=11, соответствует R=34.

Ответ: 11

ВАРИАНТ 13

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 8, после чего прибавляется остаток от деления N на 2.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, большее 90, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(10,35): #перебираем х
N = x — x % 8
N = N + N % 2
N=str(bin(N)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b

if N.count(‘1’)%2 == 0:
N = N + ‘0’
else:
N = N + ‘1’

if N.count(‘1’)%2 == 0:
R = N + ‘0’
else:
R = N + ‘1’

print(x, int(R,2)) # переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что наименьшее, большее 90, R=96.

Ответ: 96

ВАРИАНТ 14

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Из числа N вычитается остаток от деления N на 8, после чего прибавляется остаток от деления N на 2.

2) Строится двоичная запись полученного результата.

3) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры построенной двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы ее цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, большее 97, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Из таблицы полученных значений мы видим, что наименьшее, большее 97, R=130.

Ответ: 130

ВАРИАНТ 15

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Каждый разряд этой записи заменяется двумя разрядами по следующему правилу: если в разряде стоит 0, то вместо него пишется 00; если в разряде стоит 1, то 1 заменяется на 11.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 11000011.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число R, большее 32 которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(1,50): #перебираем х
N=str(bin(x)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b
N = N.replace(‘0′,’00’)
N = N.replace(‘1′,’11’)

R = int(N,2)# переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что наименьшее, большее 32, R = 48.

Ответ: 48

ВАРИАНТ 16

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Каждый разряд этой записи заменяется двумя разрядами по следующему правилу: если в разряде стоит 0, то вместо него пишется 00; если в разряде стоит 1, то 1 заменяется на 11.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 11000011.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число R, большее 63 которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Из таблицы полученных значений мы видим, что наименьшее, большее 63, R = 192.

Ответ: 192

ВАРИАНТ 17

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Каждый разряд этой записи заменяется двумя разрядами по следующему правилу: если в разряде стоит 0, то вместо него пишется 01; если в разряде стоит 1, то 1 заменяется на 10.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 10010110.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число R, большее 63 которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(5,20): #перебираем х
N=str(bin(x)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b
N = N.replace(‘1′,’xx’)
N = N.replace(‘0′,’yy’)
N = N.replace(‘xx’,’10’)
N = N.replace(‘yy’,’01’)

print(N)
R = int(N,2)# переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что наименьшее, большее 63, R = 149.

Ответ: 149

ВАРИАНТ 18

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) Каждый разряд этой записи заменяется двумя разрядами по следующему правилу: если в разряде стоит 0, то вместо него пишется 01; если в разряде стоит 1, то 1 заменяется на 10.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 10010110.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите максимальное нечетное число R, меньшее 256 которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Из таблицы полученных значений мы видим, что максимальное нечетное , меньшее 256, R = 169.

Ответ: 169

ВАРИАНТ 19

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу: если N делится нацело на 4, в конец числа (справа) дописывается сначала 0, а затем еще один 0; если N при делении на 4 дает остаток 1, то в конец числа (справа) дописывается сначала 0, потом 1; если N при делении на 4 дает остаток 2, то в конец числа (справа) дописывается сначала 1, потом 0; если N при делении на 4 дает остаток 3, то в конец числа (справа) дописывается сначала 1, затем еще 1.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 100101, а двоичная запись 1100 числа 12 будет преобразована в 110000.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите максимальное число R, которое меньше 100 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for x in range(5,30): #перебираем х
N = str(bin(x)[2:]) #получаем двоичную запись, убираем первые 2 символа 0b
if x % 4 == 0:
N += ’00’
if x % 4 == 1:
N += ’01’
if x % 4 == 2:
N += ’10’
if x % 4 == 3:
N += ’11’

R = int(N,2)# переводим R в десятичную систему счисления

Из таблицы полученных значений мы видим, что наибольшее R, меньшее 100, равно 96.

Ответ: 96

ВАРИАНТ 20

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа еще два разряда по следующему правилу: если N делится нацело на 4, в конец числа (справа) дописывается сначала 0, а затем еще один 0; если N при делении на 4 дает остаток 1, то в конец числа (справа) дописывается сначала 0, потом 1; если N при делении на 4 дает остаток 2, то в конец числа (справа) дописывается сначала 1, потом 0; если N при делении на 4 дает остаток 3, то в конец числа (справа) дописывается сначала 1, затем еще 1.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 100101, а двоичная запись 1100 числа 12 будет преобразована в 110000.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите максимальное число R, которое меньше 111 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Из таблицы полученных значений мы видим, что максимальное R, меньшее 111, равно 106.