У пирамиды все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны известно что ее основанием я
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства пирамиды (касательно боковых ребер, граней, вписанной и описанной в основание окружности), сопроводив их наглядными рисунками для лучшего восприятия представленной информации.
Примечание: определение пирамиды, ее основные элементы и разновидности мы рассмотрели в отдельной публикации, поэтому здесь на них подробно останавливаться не будем.
- Свойства пирамиды
- Пирамида с равным боковыми ребрами
- Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом
Свойства пирамиды
Пирамида с равным боковыми ребрами
Свойство 1
Все углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны.
∠EAC = ∠ECA = ∠EBD = ∠EDB = α
Свойство 2
Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, центр которой будет совпадать с проекцией вершины на ее основание.
-
ТочкаF – проекция вершины E на основание ABCD; одновременно является центром этого основания.
Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом
Свойство 3
В основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой совпадает с проекцией вершины на основание фигуры.
Свойство 4
Все высоты боковых граней пирамиды равны между собой.
Примечание: для перечисленных выше свойств верны и обратные формулировки. Например, для Свойства 1: если все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания пирамиды равны, значит эти ребра имеют одинаковую длину.
Пирамида
По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Ответы к задачам по математике 5926 (Часть 6)
11.5.21. [МГУ, физ. ф-т] В треугольной пирамиде SABC все плоские
углы при вершине S прямые, SO — высота пирамиды. Известно, что
отношение площади треугольника ЛОВ к площади треугольника В ОС
равно к. Найти отношение площади треугольника AS В к площади тре
угольника BSC.
11.5.22. [СПбГУ] Дана прямая призма АВСА\ В\С\, стороны основания
которой АВВС = 1, АС — т/З. В каком отношении объем вписанного
в призму цилиндра делится плоскостью АВ\С?
11.5.23. [СПбГУ] В основании пирамиды лежит равносторонний тре
угольник со стороной а. Одна из боковых граней представляет собой
такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости осно
вания. Найти радиус описанного шара пирамиды.
11.5.24. [МГУ, мех.-мат,] Дан куб ABCDA1BiCiD\. Сфера касается
ребер AD, D D i, CD и прямой ВС\. Найти радиус сферы, если длины
ребер куба равны 1.
11.5.25. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(S — вершина) угол между боковым ребром и плоскостью основания
равен а, сторона основания равна a, SH —- высота пирамиды. Найти
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н па
раллельно ребрам SА и ВС.
11.5.26. [МГУ, геолог, ф-т] Дан куб ABCDAiB\C\D\, в нем через вер
шину С проведена диагональ. Найти отношение площади сечения этого
куба плоскостью, перпендикулярной этой диагонали и проходящей че
рез ее середину, к площади его боковой поверхности.
11.5.27. [МГУ, псих, ф-т] Через вершины А и В треугольной пирамиды
проведена сфера, пересекающая ребра AS и BS в точках М и N соот
ветственно. Через точки В и N проведена вторая сфера, пересекающая 1
ребро SC в точках Р и Q, причем PQ = ^SC. Найти, какую часть ре
бра SC составляет отрезок QC (QC < PC ), если М — середина SА и
SC — | S A
11.5.28. [МГУ, мех.-мат,] Высота пирамиды равна 5, а основанием слу
жит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плос
костей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах
основания. Найти радиус сферы.
11.5.29. [МГУ, мех.-мат.] Три параллельные прямые касаются в точках
А, В и С сферы радиусом 4 с центром в точке О. Найти угол ВАС, если
известно, что площадь треугольника ОВС равна 4, а площадь треуголь
ника АВС больше 16.
268
11.5.30. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(5 — вершина) проведено сечение плоскостью, проходящей через точки
В и С и делящей ребро SA в отношении тп : п, считая от вершины 5 .
Известно, что объем пирамиды SABC равен V, а расстояние от центра
основания АВС до плоскости сечения равно d. Найти площадь сечения.
11.5.31. [НГУ] В пирамиде ABCD ребра АС, ВС, DC попарно пер
пендикулярны и АС — ВС = DC = 4. Точка N — середина ребра АВ,
а точка М расположена на ребре AD так. что AM : MD = 3. Шар с
центром на прямой CN касается ребра AD в точке М. Найти радиус
шара.
Группа В
6. Разные задачи
11.6.1. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\B\Ci
е
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка D — середина ребра
А\С\, а точка М лежит на отрезке DB\ и DM = ^DB\. Вторая приз
ма симметрична призме ABCA\BiCi относительно прямой В М . Найти
объем общей части этих призм.
11.6.2. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\BiC\
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка Е — середина ребра
АВ, а точка М лежит на отрезке ЕС и ЕМ — ^ЕС. Вторая призма сим
метрична призме ABCA\B\Ci относительно прямой МС\. Найти объем
общей части этих призм.
11.6.3. [МФТИ] Точка М лежит на ребре DC правильной четырех
угольной пирамиды SABCD (S — вершина), DM : DC = 1 : 15. Ци
линдр касается боковой поверхностью плоскостей SAD и SCD, одно из
оснований цилиндра проходит через точку М, второе основание имеет
общую точку с ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет с вы
сотой SH пирамиды общую точку О, причем SO : SH = 1:3. Найти
отношение объемов цилиндра и пирамиды.
11.6.4. [МФТИ] Точка D лежит на ребре ВС правильной треугольной
пирамиды SABC (5 — вершина), BD : DC = 2:3. Цилиндр касается
боковой поверхностью плоскостей SAB и SBC, одно из оснований ци
линдра проходит через точку D, второе основание имеет общую точку с
ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет единственную общую
точку с ребром АС. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды.
269
11.6.5. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Е
и F выбраны на ребрах BS и ВС соответственно так, что BE = 1 BS,
BF = \ВС. Точки F и Q расположены на прямых АЕ и SF так, что
О
прямая PQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Площадь
параллелограмма ABCD равна 3, PQ = 12. Найти объем пирамиды.
11.6.6. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Р
и Q выбраны на ребрах DS и AD соответственно так, что DP — 1.DS,
DQ = ^АЛ. Точки N Vi М расположены на прямых СР и SQ так,
что прямая N M перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Пло
щадь параллелограмма ABCD равна 6, NM = 8. Найти объем пирами
ды.
11.6.7. [МГУ, мex.-мат.] Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой
лежит прямоугольник KLM N , причем KL = 1, PQ — 3. Все стороны
прямоугольника KLM N и отрезки К Р, LP, NQ, MQ, PQ касаются
некоторого шара. Найти объем этого шара.
11.6.8. [МГУ, ВМиК] В пирамиде SABC основание Н высоты SH ле
жит на медиане СМ основания АВС. Точка О, являющаяся серединой
высоты SH, находится на одинаковом расстоянии от точки 5, точки Е,
лежащей на ребре SA, и точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что
SH = 8, АВ = 16\/2, EF = 8^ | , угол SMC не больше 30°, а расстоя
ние между серединами ребер АВ и SC равно 4-\/13. Найти радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
11.6.9. [МИФИ] Через сторону PQ нижнего основания правильной тре
угольной призмы PQRP1 Q1 R1 проведена секущая плоскость, пересека
ющая ребро RRi и разбивающая призму на два многогранника. Отноше
ние объема многогранника, одной из граней которого является нижнее
основание PQR призмы, к объему отсеченного многогранника, одной из
граней которого является грань QQiP\P, равно q. Найти величину угла
наклона секущей плоскости к плоскости нижнего основания, если из
вестно, что величина угла между прямыми PQ\ и RRi равна ip.
11.6.10. [МИФИ] Правильная треугольная пирамида SKLM пересечена
плоскостью я, параллельной стороне ML основания пирамиды и ребру
S K , причем точки S и К удалены от этой плоскости на расстояние, вдвое
меньшее (каждая), чем прямая ML. Длина высоты SP боковой грани
270
M SK равна d, а боковое ребро SL образует с высотой SO пирамиды
угол величиной /?. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью тг.
11.6.11. [МФТИ] Даны правильная четырехугольная пирамида SABCD
и конус, центр основания которого лежит на прямой SO (SO — высота
пирамиды). Точка Е — середина ребра SD, точка F лежит на ребре AD,
о
причем AF = \^FD. Треугольник, являющийся одним из осевых сечений
конуса, расположен так, что две его вершины лежат на прямой CD, а
третья — на прямой EF. Найти объем конуса, если АВ = 4, SO — 3.
11.6.12. [МФТИ] Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLM N,
касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань
окружности. Найти объем пирамиды, если М К = LNM K —
LKML = 3arctg LNML = ^ — arctg
11.6.13. [МФТИ] В основании четырехугольной пирамиды SABCD ле
жит ромб ABCD с острым углом при вершине А. Высота ромба равна 4,
точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией
вершины 5 на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоско
стей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от
центра сферы до прямой АС равно %^-АВ.
11.6.14. [МГУ, мех.-мат.] В основании призмы лежит равносторонний
треугольник АВС со стороной л/З- Боковые ребра AD, BE, CF пер
пендикулярны основанию. Сфера радиуса ^ касается плоскости АВС и
продолжений отрезков АЕ, B F , CD за точки А, В и С соответственно.
Найти длину боковых ребер призмы.
13.6.15. [МГУ, физ. ф-т] В основании пирамиды TAB CD лежит тра
пеция ABCD (ВС |j AD, AD : ВС = 2). Через вершину Т пирамиды
проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отре
зок АВ в точке М такой, что AM : М В = 2. Площадь получившегося
сечения равна 5 , а расстояние от ребра В С до плоскости сечения рав
но d. Найти
1) в каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды,
2) объем пирамиды.
11.6.16. [МИФИ] Верхним основанием прямой призмы ABCAiBiCi
служит треугольник А\В\С\, у которого А\В\ = В 1С1 , а угол между
медианой B\D и стороной А\В\ равен tp. Через центр описанной около
треугольника АВС окружности и точку пересечения высот треугольни
ка А1В1 С1 проведена плоскость, параллельная прямой АС. Найти пло
щадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что диагональ
B iC боковой грани В В 1С1С имеет длину d, а 1ВВ\А = а.
271
11.6.17. [МИФИ] Длина высоты SO правильной четырехугольной пи
рамиды SPQR равна Л, боковое ребро SP наклонено к плоскости осно
вания PQRT под углом 7 . Сфера, касающаяся плоскости основания и
всех боковых ребер пирамиды, пересекается плоскостью, равноудален
ной от всех вершин этой пирамиды. Определить радиус окружности, по
которой пересекаются эти сфера и плоскость.
11.6.18. [СПбГТУ] Две касающиеся сферы вписаны в двугранный угол
величиной Пусть А —■ точка касания первой сферы с первой гранью,
В — точка касания второй сферы со второй гранью. Найти отношение
А К : КЬ^ если К и L — точки пересечения отрезка АВ с первой и
второй сферами соответственно.
11.6.19. [СПбГТУ] На плоскость положены два цилиндра, радиусы
которых г; цилиндры примыкают друг к другу по образующей. На них
положены два других касающихся по образующей цилиндра с радиусами
R и осями, перпендикулярными осям первых двух цилиндров. Найти
радиус шара, касающегося всех четырех цилиндров.
11.6.20. [МФТИ] Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду
SABCKLMK\L\Mi, у которой KL = LM — у/6, а боковое ребро КК\ лежит
на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC
параллельна плоскости LL\M\M.
11.6.21. [МФТИ] Основание прямой призмы АВСА\В\С\ — равнобе
дренный треугольник АВС, в котором АС = СВ = 2, LACB — 2 arcsin
Плоскость, перпендикулярная прямой А\ В , пересекает ребра АВ и А\ Вх
в точках К и L соответственно, причем АК — АВ, ЬВ\ = ^А\В\.
Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.
11.6.22. [МГУ, физ. ф-т] Два шара радиуса г и цилиндр радиуса R
(R > г) лежат на плоскости. Шары касаются друг друга и боковой по
верхности цилиндра. Цилиндр касается плоскости по своей образующей.
Найти радиус шара, меньшего, чем данные, касающегося обоих данных
шаров, цилиндра и плоскости.
11.6.23. [МГУ, мех.-мат.] Точки Р, Q, R и S расположены в пространстве
так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса а, отрезки
PS, PQ, QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1
каждый. Найти расстояние от точки Р до прямой QR.
11.6.24. [МФТИ] Основание прямой призмы KLM N KiLiM iN i — ромб
K LM N с углом 60° при вершине К. Точки В и F — середины ребер
LL\ и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S — вершина) лежит на прямой LN, вершины D и В — на
272
прямых MMi и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы
и пирамиды, если SA = 2АВ.
11.6.25. [МФТИ] В четырехугольной пирамиде SABCD основанием
является трапеция ABCD (ВС || AD), ВС = $AD, LASD = LCDS = |1.
О 2
Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы
сота которого равна 2, а радиус основания равен ||. Найти объем пира
миды.
11.6.26. [МГУ, ВМиК] Все высоты пирамиды EFGH, грани которой
являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Извест
но, что FG = 17, HG = 14, a LEHG = 60°. Найти длину ребра H F.
11.6.27. [МГУ, мех.-мат.] В пирамиде SABC двугранные углы при ре
брах АВ, ВС и АС равны 90°, 30° и 90° соответственно. Плоскость пе
ресекает ребра SB, SC, АС и АВ в точках К, L, М и N соответственно,
причем четырехугольник KLM N — трапеция, основание KL которой
втрое меньше основания MN. Найти площадь этой трапеции, если ее
высота равна 13 и AS = ВС = 13.
11.6.28. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDA\BiC\D\ длина ребра 9. Через
точки М, N и К, расположенные на ребрах ВС, CD и СС\ соответствен
но, проведена плоскость. Известно, что радиус окружности, вписанной
91
в треугольник М СК, равен 1 , площадь треугольника M NC равна 4^,
разность длин отрезков CN и С К равна 3 и объем пирамиды M N K C
меньше 15. Найти радиус сферы, касающейся плоскости треугольника
M N K и трех граней куба с общей точкой А\.
11.6.29. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDAiBiCiDi длина ребра равна 1.
Точки К и N являются серединами ребер DC и ВС соответственно.
О
Точка М лежит на ребре СС\ и М С = Найти максимальное зна
чение радиусов сфер, проходящих через точки М, N , К и касающихся
плоскости BB\D\D.У пирамиды все углы, образованные боковыми рёбрами и высотой пирамиды, равны. Известно, что её основанием является прямоугольный треугольник. Куда проецируется вершина данной пирамиды?
Вершина данной пирамиды проецируется в точку пересечения серединных перпендикуляров.
Пирамида, у которой равны боковые рёбра
Если у пирамиды боковые рёбра с плоскостью основания образуют равные углы, тогда боковые рёбра пирамиды равны и вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
У пирамиды могут быть боковые рёбра равны, если вокруг многоугольника основания можно описать окружность.
У любого треугольника центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения серединных перпендикуляров находится в середине гипотенузы.
Узнать ещё
Рассмотрим свойства пирамид, в которых все боковые ребра равны, с соответствующими чертежами.
Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.
Прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, боковыми ребрами и их проекциями (равными радиусу описанной окружности), равны. Поэтому также
— все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
— все углы, которые боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равны.
Решение задач на пирамиду, в которой все боковые ребра равны (либо все боковые ребра образуют равные углы с основанием пирамиды или с высотой пирамиды) начинается с чертежа.
Если основание пирамиды — треугольник.
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.
Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
На рисунке тупой угол — это угол B.
Радиус окружности, описанной около произвольного остроугольного либо тупоугольного треугольника ABC, можно найти по следствию из теоремы синусов:
![\[R = \frac{{AB}}{{2\sin \angle C}} = \frac{{BC}}{{2\sin \angle A}} = \frac{{AC}}{{2\sin \angle B}}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2ddd7065e3c94cc6bd24bd0a331c129_l3.png)
либо по формуле
![\[ R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S_{\Delta ABC} }} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d4e759af8536421e777c392e70a5172_l3.png)
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиус описанной около основания окружности в этом случае равен
![\[R = \frac{c}{2}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e0858a9779297746fa754f0903dc423_l3.png)
где c — гипотенуза.
Отсюда для данного треугольника ABC с прямым углом B
![\[R = OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2b756dea57f00491d3f4639d49fd8b5_l3.png)
Если основание пирамиды — параллелограмм
Из всех параллелограммов описать окружность можем только около прямоугольника (квадрат — его частный случай). Поэтому, если в задаче сказано, что пирамиде все боковые ребра равны, либо все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, либо все боковые ребра образуют с высотой пирамиды равные углы, а в основании — параллелограмм, то это может быть только прямоугольник (квадрат).
Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей. Соответственно, радиус R равен половине диагонали прямоугольника.
Если основание пирамиды -трапеция
Из всех трапеций описать окружность можно только около равнобочной трапеции.
Радиус описанной окружности ищем как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC или ACD по одной из формул, приведенных выше.
Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне
боковые ребра пирамиды равны
В этом случае центр описанной около трапеции окружности лежит на середине большего основания, а высота пирамиды лежит в боковой грани, содержащей это большее основание.
Радиус R в этом случае — половина гипотенузы прямоугольного треугольника ACD.
Если основание пирамиды — произвольный четырехугольник
Радиус описанной около основания окружности находим как радиус окружности, описанной около одного из треугольников основания: ABC, BCD, ACD или ABD.
Поскольку описать около четырехугольника окружность можно только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180 градусов, то
Упирамиды все углы, образованные боковыми рёбрами и высотой пирамиды, равны. известно, что её основанием является прямоугольный треугольник. куда проектируется вершина данной пирамиды? 1)в точку пересечения высот 2)в середину большей стороны 3)это зависит от данных величин 4)в точку пересечения биссектрис
Пусть точка М лежит на стороне АВ, точка К на стороне ВС, точка Р на FM, а точка Е на FK Соединим точки М и К получился отрезок МК и прямоугльный ∆ВМК, у которого с ∆АВС общий прямой угол В и ВМ и ВК — катеты, а МК — гипотенуза. Так как точки М и К взяты с середин сторон, то ВМ=6÷2=3см, а ВК=8÷2=4см. Найдём гипотенузу МК по теореме Пифагора:
Рассмотрим полученный ∆МFE. Так как Р и Е — середины отрезков FM и FK, то РЕ параллельна МК и является её средней линией, и по свойствам средней линией треугольника РЕ=½МК=5/2=2,5см
екскурсіюГоверла є найвищою вершиною Українських Карпат і водночас найвищою точкою України. Розташована ця знаменита гора у масиві Чорногора, а саме на межі Івано-Франківської та Закарпатської областей. Крім того, й до українсько-румунського кордону від неї, як кажуть, рукою подати. Невідомо, хто й коли . Міжгірський (Синевирський) перевал Міжгірський р-н., Закарпатська обл., Україна13039 я був27я хочу сюди6 Замовити екскурсіюМіжгірський (Синевирський) перевал, висота якого 793 метри над рівнем моря, вважають воротами до рівнинного Закарпаття. Розвинена транспортна мережа перетворює перевал в улюблене місце туристів. Кожного сезону тисячі мандрівників зупиняються, аби на фото зберегти неймовірний краєвид, який звідси . Полонина Боржава Полонинський хребет, Закарпатська обл., Україна18065 я був15я хочу сюди14 Замовити екскурсіюБоржава – це гірський масив завдовжки близько 50 кілометрів на Полонинському хребті в Українських Карпатах. Є найдовшою полониною Закарпатської області і сміливо може претендувати на звання наймальовничішої. Поверхня гір тут трав`яниста, вкрита чорницями (яфинами), місцями . Гора Драгобрат Рахівський р-н, Закарпатська обл., Україна8419 я був3я хочу сюди2 Замовити екскурсіюМогутні гори Карпат, оповиті буковими лісами і таємницями предків, ваблять до себе не одного туриста. Гора Драгобрат не є винятком. Велич цієї вершини вражає. Десятки сміливців з усього світу приїжджають, щоб підкорити цю вершину і насолодиться відмінними гірськолижними трасами. Про горі . Гора Стримба с. Колочава 90043, Міжгірський р-н, Закарпатська обл., Україна6297 я був3я хочу сюди2 Замовити екскурсіюГора Стримба – одна з найвищих вершин Українських Карпат – розташована в масиві Ґорґани на території Закарпатської області. Якщо точніше, то однойменний хребет, на якому вона височить, є природною межею між Тячівським та Міжгірським районами. Піднятися на вершину нелегко, хоча й занадто складним . Урочище «Красний», Синевирська Поляна с. Синевирська Поляна, Міжгірський р-н, Закарпатська обл., Україна7577 я був15я хочу сюди7 Замовити екскурсіюУрочище «Красний», розташоване за кілька сотень метрів від озера Синевир, є одним із мальовничих куточків Міжгірського району Закарпаття. Ця місцевість адміністративно належить до села Синевирська Поляна. Більшість тих, хто прямує до славнозвісного озера, повертають до нього на захід, а саме тут, . Гора Брецкул с. Луги, Рахівський р-н, Закарпатська обл., Україна5817 я був7я хочу сюди3 Замовити екскурсіюГора Брецкул – одне з найважливіших гірських утворень, яке часто відвідують в комплексі з найвищою гірською вершиною України – Говерлою. Брецкул є однією з вершим гірського масиву Чорногора. Розташовані гори дуже близько, Брецкул поступається Говерлі лише своєю висотою, яка дорівнює 1911 . Гора Петрос (Чорногора) Рахівський р-н, Закарпатська обл., Україна19004 я був13я хочу сюди11 Замовити екскурсіюГора Петрос у Карпатах є однією із найцікавіших вершин для сходження. Того, хто подолає круті схили гори на вершині чекатиме сюрприз – звідси відкривається чудовий краєвид на весь Чорногірський хребет, Говерлу та Піп Іван. Гора Петрос – передостання у Чорногірському хребті. Покоряти вершину можна у . Гора Кам’янка с. Синевирська Поляна, Міжгірський р-н, Закарпатська обл., Україна3470 я був3я хочу сюди3 Замовити екскурсіюГора Кам’янка, з майже лисою 1578-метровою вершиною, вабить до себе кожного мандрівника, який прагне бути в гармонії з природою, побачити її красу з висоти, а також перевірити та оцінити свої можливості – і фізичні, і духовні. Розташована гора Кам’янка у Міжгірському районі Закарпатської області, .