Таблица распределения Лапласа
Таблица распределения функции Лапласа $Φ$, также называемая интегралом вероятностей, представляет собой уже вычисленные интегральные значения и является особенно удобной для использования при вычислении вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в интервал, симметричный относительно её математического ожидания.
Из-за нечётности функции Ф, её табулировали только для положительных значений. Соответственно, чтобы узнать отрицательное, достаточно помнить, что $Φ(-x)=-Φ(x)$.
Сама формула для вычислений значений выглядит так:
Таблица распределения функции Лапласа
Рисунок 1. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 2. Табличные значения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Таблица распределения функции Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример применения таблицы
После поломки швейного станка вероятность брака на швейном производстве $p=0,2$. Найти вероятность того, что среди 400 случайных изделий бракованными окажутся от 70 до 100 штук.
Таблица значений функции Лапласа
Таблица значений функции Лапласа — это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. При решении задач по теории вероятности, как правило, требуется найти значение функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента. Для этого пользуются таблицей значений функции Лапласа. Таблица значений функции Лапласа незаменима при изучении теории вероятности, так как решать интеграл (функцию Лапласа) сложно, а запомнить таблицу значений функции Лапласа просто невозможно.
Функцию Лапласа и данную таблицу чаще всего изучают на втором курсе университета, при изучении математики и теории вероятности, если Вам в данной теме, что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады вам помочь. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей на здоровье.
Функция Лапласа
При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).
Функция лапласа. Ее свойства
2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласа имеет вид:
График функции Лапласа приведен на рис.5.
Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:
2.2. Существует другие формы функции Лапласа:
и 
В отличие от этих форм функция Ф(х) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями:
ПРИМЕР 2. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами: m =3, =4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х : а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически.
Решение. а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х попадет в заданный интервал ( , ), где =2 и =6, равна:
б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение меньше 2, равна:
в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение больше 10, равна:
г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =2, равна:
С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6).
Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х
ПРИМЕР 3. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.
Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m =0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =15, равна:
ПРИМЕР 4 . Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.
Решение. Случайная величина Х — отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М ( Х )= m =0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую =0,7, равна:
Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.
ПРИМЕР 5. Доказать правило «3 ».
Решение. Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую = 3 , равна:
ПРИМЕР 6. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m =10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?
Решение. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m =10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то:
Применение локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа
В том случае, когда количество манипуляций достаточно большое, применять формулу Бернулли становится нецелесообразно. Упростить решение задачи или доказательство выражения можно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа. Данные закономерности позволяют получить результат испытаний, приближенный к итогам вычислений по формуле Бернулли, и характеризуются меньшими расчетами.
Рассматриваемые теоремы активно применяют в решении задач по данным большого количества экспериментов для нахождения приближенного значения вероятности. С помощью локальной теоремы можно вычислить определенное число явлений. Благодаря интегральной теореме Муавра-Лапласа, достаточно просто найти ответ при заданном диапазоне вероятного количества возникновения событий.
Локальная теорема Лапласа
В том случае, когда вероятность p возникновения явления A характеризуется постоянством, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , то вероятность \(P_n ( k )\) того, что событие A возникнет k раз в n экспериментах, равна приближенно (увеличивая n, получаем более точный результат испытаний и меньше погрешность) значению функции \(y=\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \frac < 1 > < \sqrt < 2\pi >> \cdot e^ < - < x^2 >/ 2 > =\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Из выражения можно сделать вывод:
\(label < eq2 >P_n ( k )\approx \frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)
Следует отметить, что функция \(\varphi ( x )=\varphi ( < -x >)\) является четной.
Свойства представленной функции:
- функция является четной;
- если аргумент обладает значением больше, чем 4, то функция будет сколь угодно мала.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
Вероятность P, что возникнет событие A, для каждого эксперимента по порядку обладает стабильным значением, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , тогда вероятность \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\) того, что явление A наступит от \(k_ < 1 >\) до \(k_ < 2 >\) раз в n опытах, равна \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\approx \frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int\limits_ < x_1 >^ < x_2 > < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz > =\Phi ( < x_2 >)-\Phi ( < x_1 >)\)
Следует отметить, что \(\Phi ( x )=\frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz >\) можно определить с помощью специальных табличных схем.
\(\Phi ( < -x >)=-\Phi ( x )\) является нечетной функцией.
Рассматриваемая функция обладает следующими основными свойствами:
- функция является нечетной;
- если аргумент больше, чем 5, то значение функции составляет 0,5.
Таблица значений для вычисления определителей
В случае применения локальной теории Лапласа целесообразно использовать специальные таблицы:
Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид:
Применительно к вероятностям распределения Пуассона сформирована таблица:
Пример решения задачи
Требуется определить, какова вероятность возникновения события А в течение 80 раз во время проведения 400 опытов. Следует учитывать вероятность появления данного события в каждом эксперименте составляет \( р = 0,2.\)
В том случае, когда р = 0,2: q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8
Ответ: вероятность равна 0,0498
По условиям задания, в процессе контроля качества выявляют 10% брака от произведенных изделий. Для этой процедуры выбирают 625 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в объеме отобранных изделий имеется не меньше 550 и не больше 575 качественных экземпляров.
В том случае, когда брак составляет 10% от изделий, то качественные экземпляры должны определяться, как 90%. При таком условии: